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12. 已知 $x = \dfrac{1}{\sqrt{3} + 1}$，$y = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}$，求下列各式的值：
(1) $x^{2} + 2xy + y^{2}$；
(2) $x^{2} - y^{2}$.
(1) $x^{2} + 2xy + y^{2}$；
(2) $x^{2} - y^{2}$.
答案
12. (1) 3 (2) $-\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先，观察到已知的x、y是分母含二次根式的式子，需先对其进行分母有理化化简。接着分析所求代数式：(1)式是完全平方公式的形式，可转化为$(x+y)^2$；(2)式是平方差公式的形式，可转化为$(x+y)(x-y)$。这样通过先计算$x+y$和$x-y$的值，再整体代入计算，能大幅简化运算，避免直接计算$x^2$、$y^2$带来的繁琐步骤。
【解析】
步骤1：对x、y进行分母有理化
化简$x$：
$x = \dfrac{1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
化简$y$：
$y = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$
步骤2：计算$x+y$和$x-y$的值
$x+y = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$x-y = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} - \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 1)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$
步骤3：代入公式计算所求代数式
(1) $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
(2) $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = \sqrt{3} × (-1) = -\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-\sqrt{3}}$
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式求值，通过运用乘法公式将所求式子变形，采用整体代入的方法简化计算，既降低了运算难度，又提高了准确率。解题关键在于熟练掌握分母有理化的方法和乘法公式的逆用。
【难度系数】
0.6
首先，观察到已知的x、y是分母含二次根式的式子，需先对其进行分母有理化化简。接着分析所求代数式：(1)式是完全平方公式的形式，可转化为$(x+y)^2$；(2)式是平方差公式的形式，可转化为$(x+y)(x-y)$。这样通过先计算$x+y$和$x-y$的值，再整体代入计算，能大幅简化运算，避免直接计算$x^2$、$y^2$带来的繁琐步骤。
【解析】
步骤1：对x、y进行分母有理化
化简$x$：
$x = \dfrac{1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
化简$y$：
$y = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$
步骤2：计算$x+y$和$x-y$的值
$x+y = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$x-y = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} - \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 1)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$
步骤3：代入公式计算所求代数式
(1) $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
(2) $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = \sqrt{3} × (-1) = -\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-\sqrt{3}}$
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式求值，通过运用乘法公式将所求式子变形，采用整体代入的方法简化计算，既降低了运算难度，又提高了准确率。解题关键在于熟练掌握分母有理化的方法和乘法公式的逆用。
【难度系数】
0.6
13. 某居民小区中有一块长方形绿地，现进行如下改造：将长方形绿地的长减少 $\sqrt{34}\ \mathrm{m}$，宽增加 $\sqrt{34}\ \mathrm{m}$，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的 2 倍.求改造后的正方形绿地的边长是多少米.
答案
13. 设改造后正方形绿地的边长为 $a$ m，则改造前长方形绿地的长为 $(a + \sqrt{34})$ m，宽为 $(a - \sqrt{34})$ m，由题意，得 $a^2 = 2(a + \sqrt{34})(a - \sqrt{34})$，整理，得 $a^2 = 68$，$a = 2\sqrt{17}$。改造后正方形绿地的边长为 $2\sqrt{17}$ m
解析
【分析】
这道题的关键是抓住改造前后图形的边长与面积关系来建立方程。首先，改造后是正方形，我们可以设其边长为未知数，根据“长减少$\sqrt{34}\ \mathrm{m}$、宽增加$\sqrt{34}\ \mathrm{m}$得到正方形”，能反推出原长方形的长为正方形边长加$\sqrt{34}$，宽为正方形边长减$\sqrt{34}$。再结合“正方形面积是原长方形的2倍”这个等量关系列出方程，利用平方差公式简化计算，同时注意边长为正数，舍去负根即可。
【解析】
设改造后正方形绿地的边长为$a\ \mathrm{m}$。
由题意可知，改造前长方形绿地的长为$(a + \sqrt{34})\ \mathrm{m}$，宽为$(a - \sqrt{34})\ \mathrm{m}$。
根据正方形面积是原长方形绿地面积的2倍，列方程：
$a^2 = 2(a + \sqrt{34})(a - \sqrt{34})$
利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$展开右边，得：
$a^2 = 2(a^2 - (\sqrt{34})^2)$
计算$(\sqrt{34})^2=34$，整理方程：
$a^2 = 2(a^2 - 34)$
去括号：
$a^2 = 2a^2 - 68$
移项合并同类项：
$a^2 = 68$
因为边长$a＞0$，所以$a = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$米
【知识点】
一元二次方程的应用、平方差公式、长方形与正方形面积公式
【点评】
本题是方程思想在几何面积问题中的典型应用，解题核心是通过设未知数准确表示出改造前后图形的边长，利用平方差公式简化运算，求解时需结合实际意义舍去负根，提升了对几何等量关系的分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
这道题的关键是抓住改造前后图形的边长与面积关系来建立方程。首先，改造后是正方形，我们可以设其边长为未知数，根据“长减少$\sqrt{34}\ \mathrm{m}$、宽增加$\sqrt{34}\ \mathrm{m}$得到正方形”，能反推出原长方形的长为正方形边长加$\sqrt{34}$，宽为正方形边长减$\sqrt{34}$。再结合“正方形面积是原长方形的2倍”这个等量关系列出方程，利用平方差公式简化计算，同时注意边长为正数，舍去负根即可。
【解析】
设改造后正方形绿地的边长为$a\ \mathrm{m}$。
由题意可知，改造前长方形绿地的长为$(a + \sqrt{34})\ \mathrm{m}$，宽为$(a - \sqrt{34})\ \mathrm{m}$。
根据正方形面积是原长方形绿地面积的2倍，列方程：
$a^2 = 2(a + \sqrt{34})(a - \sqrt{34})$
利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$展开右边，得：
$a^2 = 2(a^2 - (\sqrt{34})^2)$
计算$(\sqrt{34})^2=34$，整理方程：
$a^2 = 2(a^2 - 34)$
去括号：
$a^2 = 2a^2 - 68$
移项合并同类项：
$a^2 = 68$
因为边长$a＞0$，所以$a = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$米
【知识点】
一元二次方程的应用、平方差公式、长方形与正方形面积公式
【点评】
本题是方程思想在几何面积问题中的典型应用，解题核心是通过设未知数准确表示出改造前后图形的边长，利用平方差公式简化运算，求解时需结合实际意义舍去负根，提升了对几何等量关系的分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
