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9. 如图，菱形$ABCD$的周长为$8$，$BC$的垂直平分线经过点$A$，则对角线$BD$的长为.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
1. 菱形$ABCD$周长为8，可得边长$AB=BC=8÷4=2$；
2. 因为$BC$的垂直平分线经过点$A$，所以$AB=AC=2$，则$△ ABC$为等边三角形，$AC=2$；
3. 菱形对角线互相垂直平分，设$AC$与$BD$交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC=1$，$∠ AOB=90°$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，故$BD=2BO=2\sqrt{3}$。
2. 因为$BC$的垂直平分线经过点$A$，所以$AB=AC=2$，则$△ ABC$为等边三角形，$AC=2$；
3. 菱形对角线互相垂直平分，设$AC$与$BD$交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC=1$，$∠ AOB=90°$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，故$BD=2BO=2\sqrt{3}$。
10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$P$是$AB$上任意一点，$PD⊥ AC$，$PE⊥ BC$，垂足分别为$D$，$E$，则$DE$的最小值为.
答案
$\frac{24}{5}$（或4.8）
解析
1. 由$PD⊥AC$，$PE⊥BC$，$∠C=90°$，可得四边形$CDPE$是矩形，故$DE=CP$；
2. 根据垂线段最短，当$CP⊥AB$时，$CP$取得最小值，即$DE$取得最小值；
3. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$；
4. 利用三角形面积公式：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，解得$CP=\frac{24}{5}$，即$DE$的最小值为$\frac{24}{5}$。
2. 根据垂线段最短，当$CP⊥AB$时，$CP$取得最小值，即$DE$取得最小值；
3. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$；
4. 利用三角形面积公式：$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，解得$CP=\frac{24}{5}$，即$DE$的最小值为$\frac{24}{5}$。
11. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ ABC=60°$，$AB=3$，$E$是对角线$AC$上一点，过点$E$作$EF⊥ AB$，垂足为$F$，连接$DE$.若$CE=AF$，则$DE$的长为.
答案
√7
解析
1. 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=3，故△ABC和△ADC为等边三角形，AC=AB=3，∠DAC=∠BAC=60°。
2. 设AF=CE=x，则AE=AC-CE=3-x。
3. 因EF⊥AB，∠EAF=60°，在Rt△AEF中，∠AEF=30°，得AF=½AE，即x=½(3-x)，解得x=1，故AE=2。
4. 过D作DH⊥AC于H，在等边△ADC中，AH=½AC=1.5，DH=AD·sin60°=3×(√3/2)= (3√3)/2。
5. 计算EH=AE-AH=2-1.5=0.5，在Rt△DHE中，由勾股定理得：
DE=√(DH²+EH²)=√[( (3√3)/2 )² + (1/2)²]=√(27/4 + 1/4)=√7。
2. 设AF=CE=x，则AE=AC-CE=3-x。
3. 因EF⊥AB，∠EAF=60°，在Rt△AEF中，∠AEF=30°，得AF=½AE，即x=½(3-x)，解得x=1，故AE=2。
4. 过D作DH⊥AC于H，在等边△ADC中，AH=½AC=1.5，DH=AD·sin60°=3×(√3/2)= (3√3)/2。
5. 计算EH=AE-AH=2-1.5=0.5，在Rt△DHE中，由勾股定理得：
DE=√(DH²+EH²)=√[( (3√3)/2 )² + (1/2)²]=√(27/4 + 1/4)=√7。
12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=3$，$E$是$AC$的中点，$F$是直线$AB$上一点，将$△ AEF$沿$EF$所在的直线翻折，点$A$落在对称点$A'$处.当$A'E// AD$时，$AF$的长为.
答案
$\frac{5}{4}$或5
解析
1. 在矩形$ABCD$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因为$E$是$AC$中点，所以$AE=\frac{5}{2}$。
2. 过$E$作$EG⊥ AB$于$G$，由中位线性质得$EG=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$，$AG=\frac{AB}{2}=2$。
3. 分两种情况：
情况一：$A'$在$AB$上方，因$A'E// AD$，$AD⊥ AB$，故$A'E⊥ AB$，$A'$、$E$、$G$共线，$A'G=A'E-EG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。设$AF=x$，则$A'F=x$，$FG=|x-2|$，在$Rt△ A'FG$中，由勾股定理得$x^2=(x-2)^2+1^2$，解得$x=\frac{5}{4}$。
情况二：$A'$在$AB$下方，同理$A'G=A'E+EG=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，设$AF=x$，在$Rt△ A'FG$中，由勾股定理得$x^2=(x-2)^2+4^2$，解得$x=5$。
4. 综上，$AF$的长为$\frac{5}{4}$或$5$。
2. 过$E$作$EG⊥ AB$于$G$，由中位线性质得$EG=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$，$AG=\frac{AB}{2}=2$。
3. 分两种情况：
情况一：$A'$在$AB$上方，因$A'E// AD$，$AD⊥ AB$，故$A'E⊥ AB$，$A'$、$E$、$G$共线，$A'G=A'E-EG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。设$AF=x$，则$A'F=x$，$FG=|x-2|$，在$Rt△ A'FG$中，由勾股定理得$x^2=(x-2)^2+1^2$，解得$x=\frac{5}{4}$。
情况二：$A'$在$AB$下方，同理$A'G=A'E+EG=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，设$AF=x$，在$Rt△ A'FG$中，由勾股定理得$x^2=(x-2)^2+4^2$，解得$x=5$。
4. 综上，$AF$的长为$\frac{5}{4}$或$5$。
13. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ B=90°$，$O$是边$AB$的中点，$∠ AOD=∠ BOC$.
求证：四边形$ABCD$是矩形.
求证：四边形$ABCD$是矩形.
答案
证明：
∵ O是AB的中点，
∴ AO = BO.
∵ ∠A = ∠B = 90°，∠AOD = ∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B \\AO = BO \\∠AOD = ∠BOC\end{array} $
∴ △AOD ≌ △BOC（ASA）.
∴ AD = BC.
∵ ∠A = ∠B = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
又∵ ∠A = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
∵ O是AB的中点，
∴ AO = BO.
∵ ∠A = ∠B = 90°，∠AOD = ∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B \\AO = BO \\∠AOD = ∠BOC\end{array} $
∴ △AOD ≌ △BOC（ASA）.
∴ AD = BC.
∵ ∠A = ∠B = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
又∵ ∠A = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
14. 如图，在$□ ABCD$中，$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$，$CF$平分$∠ ACD$交$AD$于点$F$.
（1）求证：$△ ABE≌△ CDF$.
（2）当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$AECF$是矩形？请写出证明过程.
（1）求证：$△ ABE≌△ CDF$.
（2）当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$AECF$是矩形？请写出证明过程.
答案
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，∠B=∠D，AB//CD，
∴ ∠BAC=∠ACD，
∵ AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴ ∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴ ∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D\\AB=CD\\∠BAE=∠DCF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（ASA）。
（2）当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是矩形。
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即AF//EC，
由（1）知∠EAC=∠FCA，
∴ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵ ∠ACB=90°，AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=90°，
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，∠B=∠D，AB//CD，
∴ ∠BAC=∠ACD，
∵ AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴ ∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴ ∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D\\AB=CD\\∠BAE=∠DCF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（ASA）。
（2）当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是矩形。
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即AF//EC，
由（1）知∠EAC=∠FCA，
∴ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵ ∠ACB=90°，AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=90°，
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
