15. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ B+∠ C=90°$，$AD=5$，$BC=13$，$∠ B=30°$.
求梯形$ABCD$的周长.

解：
过点$A$作$AE// DC$，交$BC$于点$E$。
因为$AD// BC$，$AE// DC$，
所以四边形$AECD$是平行四边形，
所以$AD=EC=5$，$AE=DC$。
所以$BE=BC-EC=13-5=8$。
因为$∠ B+∠ C=90°$，$AE// DC$，
所以$∠ AEB=∠ C$，
所以$∠ B+∠ AEB=90°$，即$∠ BAE=90°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ B=30°$，$BE=8$，
所以$AE=\frac{1}{2}BE=4$，
$AB=\sqrt{BE^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
所以$DC=AE=4$。
梯形$ABCD$的周长为：$AB+BC+CD+DA=4\sqrt{3}+13+4+5=22+4\sqrt{3}$。

16. 如图，在矩形$ABCD$中，$M$，$N$分别为$AD$，$BC$的中点，$E$，$F$分别为$BM$，$CM$的中点.
(1)求证：$△ ABM≌△ DCM$.
(2)判断四边形$MENF$是什么特殊四边形？并证明你的结论.
(3)当$AB:AD=$时，四边形$MENF$是正方形.(只写结论，不需要证明)

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵ M为AD的中点，
∴ AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\{\begin{array}{l}AB=DC\\∠A=∠D\\AM=DM\end{array} $
∴ △ABM≌△DCM（SAS）。
(2) 四边形MENF是菱形，证明如下：
∵ E，F分别为BM，CM的中点，N为BC的中点，
∴ EN是△BMC的中位线，FN是△BMC的中位线，
∴ EN//MC，EN=$\frac{1}{2}$MC，FN//BM，FN=$\frac{1}{2}$BM，
∴ 四边形MENF是平行四边形，
由(1)知△ABM≌△DCM，
∴ BM=CM，
∴ EN=FN，
∴ 平行四边形MENF是菱形。
(3) $\boldsymbol{1:2}$

17. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，$D$，$E$分别是边$AB$，$BC$的中点，$F$，$G$是边$AC$的三等分点，$DF$，$EG$的延长线相交于点$H$，连接$HA$，$HC$.
（1）求证：四边形$FBGH$是菱形.
（2）判断四边形$ABCH$的形状，并证明你的结论.

（1）证明：
连接$BF$、$BG$。
$\because AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$。
$\because F$、$G$是$AC$的三等分点，
$\therefore AF=FG=GC$。
在$△ ABF$和$△ CBG$中，
$\begin{cases}AB=BC \\∠ BAF=∠ BCG \\AF=CG\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CBG$（$\mathrm{SAS}$），
$\therefore BF=BG$。
$\because D$是$AB$中点，$AF=FG$，
$\therefore DF$是$△ ABG$的中位线，
$\therefore DF // BG$，即$FH // BG$。
$\because E$是$BC$中点，$FG=GC$，
$\therefore EG$是$△ CBF$的中位线，
$\therefore EG // BF$，即$GH // BF$。
$\therefore$ 四边形$FBGH$是平行四边形。
又$\because BF=BG$，
$\therefore$ 平行四边形$FBGH$是菱形。
（2）证明：
连接$BH$，交$AC$于点$O$。
$\because$ 四边形$FBGH$是菱形，
$\therefore BH ⊥ AC$，且$AO=OC$，$BO=OH$，
$\therefore$ 四边形$ABCH$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCH$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
$\because AB=BC$，
$\therefore$ 矩形$ABCH$是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。