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【例1】若分式$\frac{(x - 1)^0}{\sqrt{x + 1}}$有意义，则$x$的取值范围是(
A.$x ＞ -1$，且$x≠1$
B.$x ≥ -1$，且$x≠1$
C.$x ＜ -1$
D.$x ≤ -1$
A
)A.$x ＞ -1$，且$x≠1$
B.$x ≥ -1$，且$x≠1$
C.$x ＜ -1$
D.$x ≤ -1$
答案
【例 1】A
解析
【解析】
要使分式$\frac{(x - 1)^0}{\sqrt{x + 1}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 零指数幂的底数不为0：$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$；
2. 二次根式作分母时，被开方数需大于0：$x + 1 ＞ 0$，即$x ＞ -1$。
综上，$x$的取值范围是$x ＞ -1$且$x≠1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂有意义条件、二次根式有意义条件、分式有意义条件
【点评】
本题综合考查零指数幂、二次根式及分式有意义的条件，需注意零指数幂底数不能为0，二次根式作分母时被开方数需大于0，需同时满足多个条件确定取值范围。
【难度系数】
0.8
要使分式$\frac{(x - 1)^0}{\sqrt{x + 1}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 零指数幂的底数不为0：$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$；
2. 二次根式作分母时，被开方数需大于0：$x + 1 ＞ 0$，即$x ＞ -1$。
综上，$x$的取值范围是$x ＞ -1$且$x≠1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂有意义条件、二次根式有意义条件、分式有意义条件
【点评】
本题综合考查零指数幂、二次根式及分式有意义的条件，需注意零指数幂底数不能为0，二次根式作分母时被开方数需大于0，需同时满足多个条件确定取值范围。
【难度系数】
0.8
【例2】若$\sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$在实数范围内有意义，则$x$应满足$\_\_\_\_\_\_$。
答案
【例 2】$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$
解析
【解析】
要使$\sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$在实数范围内有意义，需满足：
1. 二次根式$\sqrt{3 - x}$有意义：$3 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 3$；
2. 分式$\frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$有意义：分母$\sqrt{2x - 1} ≠ 0$且根号内的数大于0，即$2x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$。
综合两个条件，可得$x$的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$。
【答案】
$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解一元一次不等式组
【点评】
本题综合考查二次根式和分式有意义的条件，需分别根据两类式子的意义列出不等式，再通过解不等式组得到$x$的取值范围，注意分母中的二次根式，其被开方数需大于0（不能等于0）。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$在实数范围内有意义，需满足：
1. 二次根式$\sqrt{3 - x}$有意义：$3 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 3$；
2. 分式$\frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$有意义：分母$\sqrt{2x - 1} ≠ 0$且根号内的数大于0，即$2x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$。
综合两个条件，可得$x$的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$。
【答案】
$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解一元一次不等式组
【点评】
本题综合考查二次根式和分式有意义的条件，需分别根据两类式子的意义列出不等式，再通过解不等式组得到$x$的取值范围，注意分母中的二次根式，其被开方数需大于0（不能等于0）。
【难度系数】
0.8
【例3】如果实数$a$，$b$满足$\sqrt{2a + b^2} + |b^2 - 10| = 0$，那么$a + b = \_\_\_\_\_\_$。
答案
【例 3】$-5 \pm \sqrt{10}$
解析
【解析】
因为$\sqrt{2a + b^2} ≥ 0$，$|b^2 - 10| ≥ 0$，且$\sqrt{2a + b^2} + |b^2 - 10| = 0$，根据非负数的性质，得：
$\begin{cases}2a + b^2 = 0 \\ b^2 - 10 = 0\end{cases}$
由$b^2 - 10 = 0$，解得$b^2 = 10$，即$b = \pm\sqrt{10}$。
将$b^2 = 10$代入$2a + b^2 = 0$，得$2a + 10 = 0$，解得$a = -5$。
因此$a + b = -5 \pm \sqrt{10}$。
【答案】
$-5 \pm \sqrt{10}$
【知识点】
1. 非负数的性质；2. 实数的开方运算
【点评】
本题主要考查非负数的性质，关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”构建方程求解，需注意$b^2=10$时$b$有两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.6
因为$\sqrt{2a + b^2} ≥ 0$，$|b^2 - 10| ≥ 0$，且$\sqrt{2a + b^2} + |b^2 - 10| = 0$，根据非负数的性质，得：
$\begin{cases}2a + b^2 = 0 \\ b^2 - 10 = 0\end{cases}$
由$b^2 - 10 = 0$，解得$b^2 = 10$，即$b = \pm\sqrt{10}$。
将$b^2 = 10$代入$2a + b^2 = 0$，得$2a + 10 = 0$，解得$a = -5$。
因此$a + b = -5 \pm \sqrt{10}$。
【答案】
$-5 \pm \sqrt{10}$
【知识点】
1. 非负数的性质；2. 实数的开方运算
【点评】
本题主要考查非负数的性质，关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”构建方程求解，需注意$b^2=10$时$b$有两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.6
【例4】如果实数$a$，$b$满足$\sqrt{2a - 3b} + (2a - b - 1)^2 = 0$，那么$\sqrt{ab} · \sqrt{\frac{a}{b}} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
【例 4】$\frac{3}{4}$
解析
【解析】
因为算术平方根与平方数均为非负数，且$\sqrt{2a - 3b} + (2a - b - 1)^2 = 0$，所以可得方程组：
$\begin{cases}2a - 3b = 0 \\2a - b - 1 = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：
$(2a - b - 1) - (2a - 3b) = 0 - 0$
解得$2b - 1 = 0$，即$b = \frac{1}{2}$
将$b = \frac{1}{2}$代入$2a - 3b = 0$，得$2a - 3×\frac{1}{2}=0$，解得$a = \frac{3}{4}$
计算$\sqrt{ab} · \sqrt{\frac{a}{b}}$：
根据二次根式乘法法则，$\sqrt{ab} · \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{ab·\frac{a}{b}} = \sqrt{a^2} = |a|$
因为$a = \frac{3}{4} ＞ 0$，所以$|a| = \frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
非负数的性质，二次根式运算，解二元一次方程组
【点评】
本题考查非负数的性质、二次根式的化简运算及二元一次方程组的解法，解题关键是利用非负数的性质建立方程组求出$a$、$b$的值，再准确进行二次根式的化简计算。
【难度系数】
0.6
因为算术平方根与平方数均为非负数，且$\sqrt{2a - 3b} + (2a - b - 1)^2 = 0$，所以可得方程组：
$\begin{cases}2a - 3b = 0 \\2a - b - 1 = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：
$(2a - b - 1) - (2a - 3b) = 0 - 0$
解得$2b - 1 = 0$，即$b = \frac{1}{2}$
将$b = \frac{1}{2}$代入$2a - 3b = 0$，得$2a - 3×\frac{1}{2}=0$，解得$a = \frac{3}{4}$
计算$\sqrt{ab} · \sqrt{\frac{a}{b}}$：
根据二次根式乘法法则，$\sqrt{ab} · \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{ab·\frac{a}{b}} = \sqrt{a^2} = |a|$
因为$a = \frac{3}{4} ＞ 0$，所以$|a| = \frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
非负数的性质，二次根式运算，解二元一次方程组
【点评】
本题考查非负数的性质、二次根式的化简运算及二元一次方程组的解法，解题关键是利用非负数的性质建立方程组求出$a$、$b$的值，再准确进行二次根式的化简计算。
【难度系数】
0.6
