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5. 【问题情境】在学习图形的平移与旋转时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图3-5 $ \textcircled{1} $ D为等边三角形ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转 $ 6 0° $得到线段AE，连接CE。
(1) 【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明。
(2) 【探究应用】如图3-5 $ \textcircled{2} $ ，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转 $ 60° $得到线段AE，连接CE，若B，D，E三点共线，求证：EB平分 $ ∠ A E C。 $
(3) 【拓展提升】如图3-5 $ \textcircled{3} $ ，若 $ △ ABC $是边长为2的等边三角形，D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转 $ 60° $得到线段DE，连接CE。点D在运动过程中， $ △ DEC $的周长的最小值为_______。
(1) 【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明。
(2) 【探究应用】如图3-5 $ \textcircled{2} $ ，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转 $ 60° $得到线段AE，连接CE，若B，D，E三点共线，求证：EB平分 $ ∠ A E C。 $
(3) 【拓展提升】如图3-5 $ \textcircled{3} $ ，若 $ △ ABC $是边长为2的等边三角形，D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转 $ 60° $得到线段DE，连接CE。点D在运动过程中， $ △ DEC $的周长的最小值为_______。
答案
5. (1)解：$BD=CE$。
证明：$\because$将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$AE$，
$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=60°=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$。
(2)证明：$\because$将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$AE$，
$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$\therefore ∠ ADE=∠ AED=60°$。
$\therefore ∠ ADB=120°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=60°=∠ DAE$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$。
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=120°$。
$\therefore ∠ BEC=60°$。
$\therefore ∠ BEC=∠ AED=60°$。
$\therefore EB$平分$∠ AEC$。
(3)$2+\sqrt{3}$
证明：$\because$将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$AE$，
$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=60°=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$。
(2)证明：$\because$将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$AE$，
$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
$\therefore ∠ ADE=∠ AED=60°$。
$\therefore ∠ ADB=120°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=60°=∠ DAE$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$。
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=120°$。
$\therefore ∠ BEC=60°$。
$\therefore ∠ BEC=∠ AED=60°$。
$\therefore EB$平分$∠ AEC$。
(3)$2+\sqrt{3}$
6. 请梳理本章学习过的知识及方法，并用思维导图或其他形式表示出来。
答案
解：
┌─── 分式
│ ├── 定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子
│ ├── 基本性质：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$（C≠0，C为整式）
│ ├── 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式
│ └── 通分：依据分式基本性质，将异分母分式化为同分母分式
├─── 分式的运算
│ ├── 乘除：$\frac{A}{B}·\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$；$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}·\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$（B、C、D≠0）
│ ├── 加减：同分母$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}$；异分母先通分再按同分母分式加减法则计算
│ └── 乘方：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（n为正整数，B≠0）
├─── 分式方程
│ ├── 定义：分母中含有未知数的方程
│ ├── 解法：①去分母转化为整式方程；②解整式方程；③检验（代入最简公分母，不为0则是原方程的解，否则为增根）
│ └── 应用：审清题意→设未知数→列分式方程→解方程→检验（验根且验实际意义）→作答
└─── 核心方法
├── 类比法：类比分数的性质与运算学习分式相关内容
├── 转化法：将分式方程转化为整式方程求解
└── 建模法：建立分式方程模型解决实际问题
┌─── 分式
│ ├── 定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子
│ ├── 基本性质：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$（C≠0，C为整式）
│ ├── 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式
│ └── 通分：依据分式基本性质，将异分母分式化为同分母分式
├─── 分式的运算
│ ├── 乘除：$\frac{A}{B}·\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$；$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}·\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$（B、C、D≠0）
│ ├── 加减：同分母$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}$；异分母先通分再按同分母分式加减法则计算
│ └── 乘方：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（n为正整数，B≠0）
├─── 分式方程
│ ├── 定义：分母中含有未知数的方程
│ ├── 解法：①去分母转化为整式方程；②解整式方程；③检验（代入最简公分母，不为0则是原方程的解，否则为增根）
│ └── 应用：审清题意→设未知数→列分式方程→解方程→检验（验根且验实际意义）→作答
└─── 核心方法
├── 类比法：类比分数的性质与运算学习分式相关内容
├── 转化法：将分式方程转化为整式方程求解
└── 建模法：建立分式方程模型解决实际问题
1. 如图3-6， $ △ A O B $为等腰三角形， $ A O=A B $，顶点 A的坐标为（2， $ \sqrt{5} $），底边 OB在 x轴上。 $ \textcircled{1} $将 $ △ A O B $绕点 B按顺时针方向旋转一定角度后得 $ △ A^{\prime} O^{\prime} B $，点 A的对应点 $ A^{\prime} $在 x轴上； $ \textcircled{2} $将 $ △ A^{\prime} O^{\prime} B $绕点 $ A^{\prime} $按顺时针方向旋转一定角度后得 $ △ A^{\prime} O^{\prime \prime} B^{\prime} $，点 $ O^{\prime} $的对应点
$ O^{\prime \prime} $在 x轴上，则点 $ B^{\prime} $的坐标为（ ）。
A.$ (10, 4\sqrt{5}) $
B.$ (\frac{20}{3}, \frac{4\sqrt{5}}{3}) $
C.$ (\frac{22}{3}, \frac{4\sqrt{5}}{3}) $
D.$ (\frac{22}{3}, 4\sqrt{5}) $
$ O^{\prime \prime} $在 x轴上，则点 $ B^{\prime} $的坐标为（ ）。
A.$ (10, 4\sqrt{5}) $
B.$ (\frac{20}{3}, \frac{4\sqrt{5}}{3}) $
C.$ (\frac{22}{3}, \frac{4\sqrt{5}}{3}) $
D.$ (\frac{22}{3}, 4\sqrt{5}) $
答案
1. C
