9. 计算：
(1) $(\sqrt{9})^{2}$；
(2) $-(\sqrt{3})^{2}$；
(3) $(\frac{1}{2}\sqrt{6})^{2}$；
(4) $(-3\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}$。

(1)
解：根据二次根式的性质 $(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，
因为 $9＞0$，所以 $(\sqrt{9})^{2}=9$。
(2)
解：先根据二次根式的性质计算 $(\sqrt{3})^{2}$，由 $(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，可得 $(\sqrt{3})^{2}=3$，
所以 $-(\sqrt{3})^{2}=-3$。
(3)
解：根据积的乘方公式 $(ab)^n = a^n b^n$，
$(\frac{1}{2}\sqrt{6})^{2}=(\frac{1}{2})^{2}×(\sqrt{6})^{2}$
因为 $(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$(\sqrt{6})^{2}=6$，
则 $(\frac{1}{2})^{2}×(\sqrt{6})^{2}=\frac{1}{4}×6 = \frac{3}{2}$。
(4)
解：根据积的乘方公式 $(ab)^n = a^n b^n$，
$(-3\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}=(-3)^{2}×(\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}$
因为 $(-3)^{2}=9$，$(\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}=\frac{2}{3}$，
则 $(-3)^{2}×(\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}=9×\frac{2}{3}=6$。
综上，答案依次为：(1)$9$；(2)$-3$；(3)$\frac{3}{2}$；(4)$6$。

10. 已知$\sqrt{12 - n}$的值是一个整数，试求自然数$n$的值。

要使$\sqrt{12 - n}$的值是整数，设$\sqrt{12 - n} = k$（$k$为非负整数），则$12 - n = k^2$，即$n = 12 - k^2$。
因为$n$是自然数，所以$n ≥ 0$，即$12 - k^2 ≥ 0$，$k^2 ≤ 12$。
$k$为非负整数，所以$k$的可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$。
当$k = 0$时，$n = 12 - 0^2 = 12$；
当$k = 1$时，$n = 12 - 1^2 = 11$；
当$k = 2$时，$n = 12 - 2^2 = 8$；
当$k = 3$时，$n = 12 - 3^2 = 3$。
综上，自然数$n$的值为$3$，$8$，$11$，$12$。

11. 计算：
(1) $(-2\sqrt{\frac{1}{3}})^{2} + \sqrt{(-2\frac{1}{3})^{2}}$；
(2) $(\frac{1}{2})^{-1} + (π - \sqrt{10})^{0} - \sqrt{(\sqrt{6} - 3)^{2}}$。

(1) $(-2\sqrt{\frac{1}{3}})^{2} + \sqrt{(-2\frac{1}{3})^{2}}$
$=(-2)^2×(\sqrt{\frac{1}{3}})^2 + \left|-2\frac{1}{3}\right|$
$=4×\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3}$
$=\frac{4}{3} + \frac{7}{3}$
$=\frac{11}{3}$
(2) $(\frac{1}{2})^{-1} + (π - \sqrt{10})^{0} - \sqrt{(\sqrt{6} - 3)^{2}}$
$=2 + 1 - |\sqrt{6} - 3|$
$=3 - (3 - \sqrt{6})$
$=3 - 3 + \sqrt{6}$
$=\sqrt{6}$

12. 已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，若$\sqrt{(a - b + c)^{2}} + \sqrt{(c - a - b)^{2}} = 6$，求$a$的值。

因为$\sqrt{(a - b + c)^{2}} + \sqrt{(c - a - b)^{2}} = 6$，
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，可得：
$\vert a - b + c\vert + \vert c - a - b\vert = 6$，
即$\vert a + c - b\vert + \vert a + b - c\vert = 6$，
因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
所以$a + c - b＞ 0$，$a + b - c＞ 0$，
则原式可化为：
$(a + c - b)+(a + b - c)=6$，
$a + c - b+a + b - c = 6$，
$2a = 6$，
$a = 3$。
综上，$a$的值为$3$。

13. 在实数范围内分解下列因式：
(1) $x^{2} - 2$；
(2) $x^{4} - 9$。

(1) $x^{2} - 2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$2$写成$(\sqrt{2})^2$，有：
$x^{2} - 2 = x^{2} - (\sqrt{2})^{2} = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$。

(2) $x^{4} - 9$
先利用平方差公式，将原式看作$(x^2)^2 - 3^2$，有：
$x^{4} - 9 = (x^{2} + 3)(x^{2} - 3)$，
接着对$x^{2} - 3$再次应用平方差公式，将$3$写成$(\sqrt{3})^2$，有：
$x^{2} - 3 = x^{2} - (\sqrt{3})^{2} = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$，
所以：
$x^{4} - 9 = (x^{2} + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$。

14. 实践与探索：
(1) 填空：$\sqrt{3^{2}} =$，$\sqrt{(-5)^{2}} =$。
(2) 观察第(1)问的结果填空：当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}} =$；当$a ＜ 0$时，$\sqrt{a^{2}} =$。
(3) 利用你总结的规律计算：$\sqrt{(x - 2)^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2}}$，其中$2 ＜ x ＜ 3$。

(1) $3$；$5$；(2) $a$；$-a$；(3)（此处填最后计算结果对应的选项无，直接写答案数值相关内容不涉及选项，按题目要求）1（在题目中无对应选项形式，按规则书写计算结果）。若按照整体题目要求给最终计算题答案相关，在规定格式下，此题无选项，我们可理解为在要求下，对于(3)答案写为$1$ 。

(1) 根据二次根式性质，$\sqrt{3^{2}} = \sqrt{9} = 3$，$\sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5$。
(2) 观察(1)中结果，当$a ≥ 0$时，$\sqrt{a^{2}} = a$；当$a ＜ 0$时，$\sqrt{a^{2}} = -a$。
(3) 已知$2 ＜ x ＜ 3$，则$x - 2 ＞ 0$，$x - 3 ＜ 0$。
所以$\sqrt{(x - 2)^{2}} = x - 2$，$\sqrt{(x - 3)^{2}} = -(x - 3) = 3 - x$。
则$\sqrt{(x - 2)^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2}}=(x - 2)+(3 - x)=1$。