11. 求不等式组 $ \begin{cases} 5x - 1 ＜ 3x + 5, \\ \dfrac{x + 1}{3} ≤ \dfrac{3x - 1}{2} - 1 \end{cases} $ 的整数解.

11. $\dfrac{11}{7}≤ x＜3$,故整数解为$x=2$.

12. 已知 $ a $ 是不等式组 $ \begin{cases} 5a - 1 ＞ 3(a + 1), \\ \dfrac{1}{2}a - 1 ＜ 7 - \dfrac{3}{2}a \end{cases} $ 的整数解，$ x $，$ y $ 满足方程组 $ \begin{cases} ax - 2y = -7, \\ 2x + 3y = 4. \end{cases} $ 求 $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) $ 的值.

12. 解不等式组得$2＜ a＜4$,$\because a$为整数,$\therefore a=3$,
$\therefore\begin{cases}3x - 2y = - 7\\2x + 3y = 4\end{cases}$,解此方程组得$\begin{cases}x = - 1\\y = 2\end{cases}$.
$\therefore(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})=(-1 + 2)×[(-1)^{2}-(-1)×2 + 2^{2}]=7$.

13. 如图，在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD = 4 \mathrm{ cm} $，$ BC = 3 \mathrm{ cm} $，动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以 $ 1.5 \mathrm{ cm/s} $ 的速度沿 $ A \to B \to C $ 运动，到点 $ C $ 停止运动，设点 $ P $ 运动的时间为 $ t \mathrm{ s} $.
(1)当 $ t $ 为何值时，$ △ BPD $ 的面积为 $ 3 \mathrm{ cm}^2 $？
(2)若动点 $ Q $ 从点 $ C $ 处与动点 $ P $ 同时出发，以 $ 1 \mathrm{ cm/s} $ 的速度沿 $ C \to B \to A $ 运动，并且当点 $ P $ 停止运动时，点 $ Q $ 也随之停止运动，问：是否存在这样的 $ t $，使得 $ △ BPD $ 的面积大于 $ △ QDC $ 面积的一半？如果存在，请求出 $ t $ 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

13. (1)$t$的值为$\dfrac{4}{3}$或$\dfrac{11}{3}$时,$△ BPD$的面积为$3\mathrm{cm^{2}}$.
(2)存在.点$P$运动的时间$t$满足$0＜ t≤\dfrac{14}{3}$.
当点$P$在$AB$上,点$Q$在$BC$上时,由题意得$\dfrac{1}{2}×(4 - 1.5t)×3＞\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×4× t$,解得$t＜\dfrac{24}{13}$.
当点$P$在$BC$上,点$Q$在$AB$上时,由题意得$\dfrac{1}{2}×(1.5t - 4)×4＞\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×4×3$,解得$t＞\dfrac{11}{3}$.
综上所述,当$0＜ t＜\dfrac{24}{13}$或$\dfrac{11}{3}＜ t≤\dfrac{14}{3}$时,$△ BPD$的面积大于$△ QDC$的面积的一半.