22. 随着夏季空调销售旺季的来临，某商场购进$A$型、$B$型两种型号的空调共$100$台用于销售，其中购进的$B$型空调数量不超过$A$型空调数量的$2$倍.调研发现，商场每销售一台$A$型空调可获利$300$元，销售一台$B$型空调可获利$400$元.设商场购进$A$型空调$x$台，这批空调全部销售完的总利润为$y$元.
（1）直接写出$y$与$x$之间的函数关系式，并写出$x$的取值范围.
（2）求这批空调全部售完后的最大利润，以及此时$A$型、$B$型两种型号的空调购进台数.
（3）在实际进货时，空调厂家对$A$型空调出厂价每台下调$m(100 ＜ m ＜ 150)$元，且两种空调的销售价格保持不变.若商场购进$B$型空调不少于$45$台，且空调全部售出后所获的最大利润为$41320$元，求$m$的值.

解：
（1）由题意得：
$y=300x+400(100-x)=-100x+40000$
根据题意，$\begin{cases}100-x≤2x \\ x≥0 \\ 100-x≥0\end{cases}$
解得$\frac{100}{3}≤ x≤100$，又$x$为正整数，故$x$的取值范围是$34≤ x≤100$，且$x$为整数。
（2）$\because y=-100x+40000$，$k=-100＜0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=34$时，$y$取得最大值，
$y_{最大}=-100×34+40000=36600$，
此时$100-x=100-34=66$。
（3）调整后，每台A型空调获利$(300+m)$元，
则$y=(300+m)x+400(100-x)=(m-100)x+40000$，
由题意得$100-x≥45$，解得$x≤55$，
结合$x≥34$，得$34≤ x≤55$，且$x$为整数，
$\because100＜m＜150$，$\therefore m-100＞0$，
$\therefore y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=55$时，$y$取得最大值，
代入得：$(m-100)×55+40000=41320$，
$55(m-100)=1320$，
$m-100=24$，
$m=124$。
答：（1）$y=-100x+40000$，$x$的取值范围是$34≤ x≤100$且$x$为整数；
（2）这批空调全部售完后的最大利润为36600元，此时购进A型空调34台，B型空调66台；
（3）$m$的值为124。

23. 如图，直线$l:y = - 2x + 4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，且与直线$m$相交于点$M(1,2)$.已知直线$m$经过点$C(-1,0)$，且与$y$轴交于点$D$.
（1）求点$A$，$B$的坐标及直线$m$的解析式.
（2）若$P$为直线$m$上一动点，$S_{△ APM} = 2S_{△ BDM}$，求点$P$的坐标.
（3）在$x$轴上是否存在一个动点$Q$，使得$△ ABQ$为等腰三角形？若存在，请求出点$Q$的所有坐标；若不存在，请说明理由.

解：
（1）对于直线$l:y=-2x+4$，
令$y=0$，则$-2x+4=0$，解得$x=2$，故$A(2,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故$B(0,4)$。
设直线$m$的解析式为$y=kx+b$，
将$M(1,2)$，$C(-1,0)$代入得：
$\begin{cases}k+b=2\\-k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$
故直线$m$的解析式为$y=x+1$。
（2）对于直线$m:y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，故$D(0,1)$。
$BD=4-1=3$，点$M$到$y$轴的距离为$1$，
则$S_{△ BDM}=\frac{1}{2}× BD×1=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，
故$S_{△ APM}=2×\frac{3}{2}=3$。
设$P(x,x+1)$，由三角形面积公式：
$S_{△ APM}=\frac{1}{2}\left|(2×2 + 1×(x+1) + x×0) - (0×1 + 2× x + (x+1)×2)\right|=3$
化简得：$\frac{1}{2}\left|3-3x\right|=3$，即$|x-1|=2$，
解得$x=3$或$x=-1$。
当$x=3$时，$y=3+1=4$，$P(3,4)$；
当$x=-1$时，$y=-1+1=0$，$P(-1,0)$。
故点$P$的坐标为$(3,4)$或$(-1,0)$。
（3）设$Q(q,0)$，$AB=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$，分三种情况：
①当$AB=AQ$时，$|q-2|=2\sqrt{5}$，
解得$q=2+2\sqrt{5}$或$q=2-2\sqrt{5}$，
故$Q(2+2\sqrt{5},0)$或$(2-2\sqrt{5},0)$；
②当$AB=BQ$时，$\sqrt{q^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$q^2+16=20$，$q^2=4$，解得$q=2$或$q=-2$，
$q=2$时，$Q$与$A$重合，无法构成三角形，舍去，
故$Q(-2,0)$；
③当$AQ=BQ$时，$|q-2|=\sqrt{q^2+16}$，
两边平方得：$(q-2)^2=q^2+16$，
$q^2-4q+4=q^2+16$，解得$q=-3$，
故$Q(-3,0)$。
综上，点$Q$的坐标为$(2+2\sqrt{5},0)$，$(2-2\sqrt{5},0)$，$(-2,0)$，$(-3,0)$。