1. 下列命题中,真命题是()

A.内角为80°,100°,80°和100°的四边形是平行四边形
B.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形

B

A.内角为80°,100°,80°,100°的四边形，未明确角的位置关系，若邻角相等则不是平行四边形，故A是假命题；B.已知四边形一组对边平行，一组对角相等，可利用平行线性质及同旁内角互补推出另一组对边平行，故是平行四边形，B是真命题；C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故C是假命题；D.一条对角线被另一条对角线平分，未说明互相平分，故D是假命题。

2. 下面给出四边形ABCD中的∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,能判定四边形ABCD是平行四边形的是()

A.3:5:5:3
B.1:1:2:2
C.1:2:3:4
D.3:5:3:5

D

平行四边形的两组对角分别相等，在四边形中角A与角C为对角，角B与角D为对角，所以当四边形ABCD中∠A:∠B:∠C:∠D的度数之比中，角A与角C度数占比相同，角B与角D度数占比相同时，该四边形是平行四边形。
选项A中$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 3:5:5:3$，$∠ A=∠ C$不成立（这里是比例中对应位置数值相等体现对角相等，实际是数值代表的角占比情况相同），从比例看是$∠ A$与$∠ C$数值不对应相等关系不符合平行四边形对角相等性质；
选项B中$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 1:1:2:2$，$∠ A=∠ C$与$∠ B = ∠ D$都不成立；
选项C中$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 1:2:3:4$，$∠ A=∠ C$与$∠ B=∠ D$都不成立；
选项D中$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 3:5:3:5$，满足$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$，能判定四边形ABCD是平行四边形。

3. 如图,点A,B在直线l上,D为直线l外一点，连接AD,以点B为圆心,AD的长为半径画弧,再以点D为圆心,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形.理由是.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

由作图可知，BC=AD，CD=AB。根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。

4. 如图,在四边形ABCD中,AC为对角线,∠D=2∠B.

(1)用无刻度直尺和圆规在线段BC上求作一点E,使得AE=BE,连接AE；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若∠CAD=∠ACB,小米在证明(1)中得到的四边形AECD是平行四边形时,考虑先用等边对等角与等量代换,得到一组角相等,进而证明两个三角形全等,再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,得到四边形AECD是平行四边形.请根据小米的证明思路补充以下证明过程.
证明:∵EA=EB,
∴①,
∴∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B.
∵∠D=2∠B,
∴②.
在△ACE和△CAD中,
$\{\begin{array}{l} ∠AEC=∠D,\\ ∠ACE=∠CAD,\\ ③\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
∴△ACE≌△CAD(AAS),
∴AE=CD,CE=AD,
∴四边形AECD是④.

1. 解：
①：$∠ EAB = ∠ B$（等边对等角）。
②：$∠ AEC=∠ D$（等量代换）。
③：$AC = CA$（公共边）。
④：平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
故答案依次为：$∠ EAB = ∠ B$；$∠ AEC=∠ D$；$AC = CA$；平行四边形。

5. 如图,在□ABCD中,过B点作BM⊥AC于点E,交CD于点M,过D点作DN⊥AC于点F,交AB于点N.
(1)求证:四边形BMDN是平行四边形；
(2)已知AF=12,MC=13,求FN的长.

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD。
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴BM//DN（垂直于同一直线的两直线平行）。
又
∵AB//CD，即BN//DM，
∴四边形BMDN是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE。
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠AFD=∠CEB=90°。
在△ADF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠BCE\\∠AFD=∠CEB\\AD=BC\end{array} $，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE=12。
在Rt△CEM中，MC=13，CE=12，
∴EM=$\sqrt{MC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
∵四边形BMDN是平行四边形，
∴FN=EM=5。
答案：(2)5

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD。
∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴BM//DN（垂直于同一直线的两直线平行）。
又∵AB//CD，即BN//DM，∴四边形BMDN是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠DAF=∠BCE。
∵DN⊥AC，BM⊥AC，∴∠AFD=∠CEB=90°。
在△ADF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠BCE\\∠AFD=∠CEB\\AD=BC\end{array} $，
∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF=CE=12。
在Rt△CEM中，MC=13，CE=12，
∴EM=$\sqrt{MC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
∵四边形BMDN是平行四边形，∴FN=EM=5。