登录
15. 如图，用细线拴着一个质量为 $ 0.2 \, \mathrm{kg} $ 的实心小球，小球的密度为 $ 2.5 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $。把小球挂在弹簧测力计上，弹簧测力计挂在支架上，并将小球放到烧杯内，且与杯底紧密接触。调节支架的高度，使弹簧测力计的示数为 $ 1 \, \mathrm{N} $。
(1) 若往烧杯内注水，且把小球浸没，求注水前、后烧杯对小球的支持力。
(2) 若把烧杯内的水换成另一种液体，且仍把小球浸没，此时弹簧测力计的示数为 $ 0.8 \, \mathrm{N} $，求这种液体的密度。
(1) 若往烧杯内注水，且把小球浸没，求注水前、后烧杯对小球的支持力。
(2) 若把烧杯内的水换成另一种液体，且仍把小球浸没，此时弹簧测力计的示数为 $ 0.8 \, \mathrm{N} $，求这种液体的密度。
答案
15. 解：(1)小球受到的重力：
G=mg=0.2 kg×10 N/kg=2 N，
注水前，烧杯对小球的支持力：
N=G-F=2 N-1 N=1 N，
由$ ρ=\frac{m}{V}$可得，当往烧杯内注水且把小球浸没时，
$V_{排}=V=\frac{m}{ρ}=\frac{0.2 kg}{2.5×10³ kg/m³}=8×10^{-5} m³$，
小球受到的浮力：
$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10³ kg/m³×10 N/kg×8×10^{-5} m³=0.8 N$，
由于浮力小于原来的支持力，则此时烧杯对小球的支持力：
$N'=N-F_{浮}=1 N-0.8 N=0.2 N$。
(2)根据弹簧的性质，显示 1 N 和 0.8 N 的时候伸缩量是不一样的。1 N 的时候和杯底接触，小球受到重力、浮力、拉力的同时还受到杯底的支持力，但是在示数为 0.8 N 时，弹簧回缩，小球不再和杯底接触，支持力不存在，此时小球受到的力有重力、拉力以及浮力，用重力减去弹簧的拉力就可以得到：
$F'_{浮}=G-F_{2}=2 N-0.8 N=1.2 N$；
根据$ F_{浮}=ρgV_{排}$可得液体的密度：
$ρ_{液}=\frac{F_{浮}}{gV_{排}}=\frac{1.2 N}{10 N/kg×8×10^{-5} m³}=1.5×10³ kg/m³$。
G=mg=0.2 kg×10 N/kg=2 N，
注水前，烧杯对小球的支持力：
N=G-F=2 N-1 N=1 N，
由$ ρ=\frac{m}{V}$可得，当往烧杯内注水且把小球浸没时，
$V_{排}=V=\frac{m}{ρ}=\frac{0.2 kg}{2.5×10³ kg/m³}=8×10^{-5} m³$，
小球受到的浮力：
$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10³ kg/m³×10 N/kg×8×10^{-5} m³=0.8 N$，
由于浮力小于原来的支持力，则此时烧杯对小球的支持力：
$N'=N-F_{浮}=1 N-0.8 N=0.2 N$。
(2)根据弹簧的性质，显示 1 N 和 0.8 N 的时候伸缩量是不一样的。1 N 的时候和杯底接触，小球受到重力、浮力、拉力的同时还受到杯底的支持力，但是在示数为 0.8 N 时，弹簧回缩，小球不再和杯底接触，支持力不存在，此时小球受到的力有重力、拉力以及浮力，用重力减去弹簧的拉力就可以得到：
$F'_{浮}=G-F_{2}=2 N-0.8 N=1.2 N$；
根据$ F_{浮}=ρgV_{排}$可得液体的密度：
$ρ_{液}=\frac{F_{浮}}{gV_{排}}=\frac{1.2 N}{10 N/kg×8×10^{-5} m³}=1.5×10³ kg/m³$。
解析
【分析】
(1) 首先根据重力公式计算小球的重力，注水前小球静止，受力平衡，受到重力、弹簧测力计的拉力和烧杯的支持力，由此可求出注水前的支持力；注水后小球浸没，先利用密度公式求出小球的体积，再根据阿基米德原理计算浮力，此时小球受力平衡，重力等于弹簧测力计拉力、浮力与支持力之和，进而求出注水后的支持力。
(2) 换液体后弹簧测力计示数变小，说明小球不再受烧杯的支持力，此时小球仅受重力、拉力和浮力，先求出浮力，再利用阿基米德原理的变形公式计算液体的密度。
【解析】
(1) 小球的重力：
$G=mg=0.2\,\mathrm{kg} × 10\,\mathrm{N/kg}=2\,\mathrm{N}$
注水前，小球静止，受力平衡，烧杯对小球的支持力：
$N=G-F_{拉}=2\,\mathrm{N}-1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{N}$
由$\rho=\frac{m}{V}$可得小球的体积：
$V=\frac{m}{\rho_{球}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{2.5 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3}}=8 × 10^{-5}\,\mathrm{m^3}$
小球浸没在水中时，受到的浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=\rho_{水}gV=1.0 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3} × 10\,\mathrm{N/kg} × 8 × 10^{-5}\,\mathrm{m^3}=0.8\,\mathrm{N}$
注水后，小球受力平衡，$G=F_{拉}+F_{浮}+N'$，则烧杯对小球的支持力：
$N'=G-F_{拉}-F_{浮}=2\,\mathrm{N}-1\,\mathrm{N}-0.8\,\mathrm{N}=0.2\,\mathrm{N}$
(2) 当弹簧测力计示数为$0.8\,\mathrm{N}$时，弹簧回缩，小球不再与杯底接触，支持力为0，此时小球受到的浮力：
$F_{浮}'=G-F_{拉}'=2\,\mathrm{N}-0.8\,\mathrm{N}=1.2\,\mathrm{N}$
由$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$可得液体的密度：
$\rho_{液}=\frac{F_{浮}'}{gV}=\frac{1.2\,\mathrm{N}}{10\,\mathrm{N/kg} × 8 × 10^{-5}\,\mathrm{m^3}}=1.5 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) 注水前烧杯对小球的支持力为$\boldsymbol{1\,\mathrm{N}}$，注水后为$\boldsymbol{0.2\,\mathrm{N}}$；
(2) 这种液体的密度为$\boldsymbol{1.5 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3}}$。
【知识点】
重力的计算、阿基米德原理、受力平衡分析
【点评】
本题考查受力分析与浮力的综合应用，关键是准确判断不同状态下小球的受力情况，区分小球是否受到烧杯的支持力，结合重力公式、密度公式和阿基米德原理进行求解，注重对综合分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据重力公式计算小球的重力，注水前小球静止，受力平衡，受到重力、弹簧测力计的拉力和烧杯的支持力，由此可求出注水前的支持力；注水后小球浸没，先利用密度公式求出小球的体积，再根据阿基米德原理计算浮力，此时小球受力平衡，重力等于弹簧测力计拉力、浮力与支持力之和，进而求出注水后的支持力。
(2) 换液体后弹簧测力计示数变小，说明小球不再受烧杯的支持力，此时小球仅受重力、拉力和浮力，先求出浮力，再利用阿基米德原理的变形公式计算液体的密度。
【解析】
(1) 小球的重力：
$G=mg=0.2\,\mathrm{kg} × 10\,\mathrm{N/kg}=2\,\mathrm{N}$
注水前，小球静止，受力平衡，烧杯对小球的支持力：
$N=G-F_{拉}=2\,\mathrm{N}-1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{N}$
由$\rho=\frac{m}{V}$可得小球的体积：
$V=\frac{m}{\rho_{球}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{2.5 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3}}=8 × 10^{-5}\,\mathrm{m^3}$
小球浸没在水中时，受到的浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=\rho_{水}gV=1.0 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3} × 10\,\mathrm{N/kg} × 8 × 10^{-5}\,\mathrm{m^3}=0.8\,\mathrm{N}$
注水后，小球受力平衡，$G=F_{拉}+F_{浮}+N'$，则烧杯对小球的支持力：
$N'=G-F_{拉}-F_{浮}=2\,\mathrm{N}-1\,\mathrm{N}-0.8\,\mathrm{N}=0.2\,\mathrm{N}$
(2) 当弹簧测力计示数为$0.8\,\mathrm{N}$时，弹簧回缩，小球不再与杯底接触，支持力为0，此时小球受到的浮力：
$F_{浮}'=G-F_{拉}'=2\,\mathrm{N}-0.8\,\mathrm{N}=1.2\,\mathrm{N}$
由$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$可得液体的密度：
$\rho_{液}=\frac{F_{浮}'}{gV}=\frac{1.2\,\mathrm{N}}{10\,\mathrm{N/kg} × 8 × 10^{-5}\,\mathrm{m^3}}=1.5 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) 注水前烧杯对小球的支持力为$\boldsymbol{1\,\mathrm{N}}$，注水后为$\boldsymbol{0.2\,\mathrm{N}}$；
(2) 这种液体的密度为$\boldsymbol{1.5 × 10^3\,\mathrm{kg/m^3}}$。
【知识点】
重力的计算、阿基米德原理、受力平衡分析
【点评】
本题考查受力分析与浮力的综合应用，关键是准确判断不同状态下小球的受力情况，区分小球是否受到烧杯的支持力，结合重力公式、密度公式和阿基米德原理进行求解，注重对综合分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
