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9. 试比较下列各组数的大小,并用“$＞$”或“$＜$”连接起来.
(1) $-2.7$ 与 $0$；
(2) $-3.3$ 与 $-\frac{1}{3}$；
(3) $|-2|$ 与 $|+1|$；
(4) $-(-2)$ 与 $|-2.5|$.
(1) $-2.7$ 与 $0$；
(2) $-3.3$ 与 $-\frac{1}{3}$；
(3) $|-2|$ 与 $|+1|$；
(4) $-(-2)$ 与 $|-2.5|$.
答案
解:
(1)-2.7＜0.
(2)-3.3＜-$\frac{1}{3}$.
(3)|-2|＞|+1|.
(4)-(-2)＜|-2.5|.
(1)-2.7＜0.
(2)-3.3＜-$\frac{1}{3}$.
(3)|-2|＞|+1|.
(4)-(-2)＜|-2.5|.
解析
【分析】
本题考查有理数的大小比较，解题时可遵循以下思路：①首先明确有理数比较大小的核心规则：负数都小于0；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数之间直接比较数值大小。②若式子带有绝对值或多重符号，先将式子化简为最简的有理数，再根据对应规则比较大小即可。
【解析】
(1) 因为所有负数都小于0，-2.7是负数，所以$-2.7＜0$；
(2) 先求两个负数的绝对值：$|-3.3|=3.3$，$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$，由于$3.3＞\frac{1}{3}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-3.3＜-\frac{1}{3}$；
(3) 先化简绝对值：$|-2|=2$，$|+1|=1$，因为$2＞1$，所以$|-2|＞|+1|$；
(4) 先分别化简两个数：根据负负得正，$-(-2)=2$；根据正数的绝对值是它本身，$|-2.5|=2.5$，因为$2＜2.5$，所以$-(-2)＜|-2.5|$。
【答案】
(1)$-2.7＜0$；(2)$-3.3＜-\frac{1}{3}$；(3)$|-2|＞|+1|$；(4)$-(-2)＜|-2.5|$
【知识点】
有理数大小比较，绝对值化简，多重符号化简
【点评】
本题是有理数比较大小的基础题型，解题的关键是先把带绝对值、多重符号的数化简为最简形式，再匹配对应的比较规则判断即可，掌握基础规则就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
本题考查有理数的大小比较，解题时可遵循以下思路：①首先明确有理数比较大小的核心规则：负数都小于0；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数之间直接比较数值大小。②若式子带有绝对值或多重符号，先将式子化简为最简的有理数，再根据对应规则比较大小即可。
【解析】
(1) 因为所有负数都小于0，-2.7是负数，所以$-2.7＜0$；
(2) 先求两个负数的绝对值：$|-3.3|=3.3$，$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$，由于$3.3＞\frac{1}{3}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-3.3＜-\frac{1}{3}$；
(3) 先化简绝对值：$|-2|=2$，$|+1|=1$，因为$2＞1$，所以$|-2|＞|+1|$；
(4) 先分别化简两个数：根据负负得正，$-(-2)=2$；根据正数的绝对值是它本身，$|-2.5|=2.5$，因为$2＜2.5$，所以$-(-2)＜|-2.5|$。
【答案】
(1)$-2.7＜0$；(2)$-3.3＜-\frac{1}{3}$；(3)$|-2|＞|+1|$；(4)$-(-2)＜|-2.5|$
【知识点】
有理数大小比较，绝对值化简，多重符号化简
【点评】
本题是有理数比较大小的基础题型，解题的关键是先把带绝对值、多重符号的数化简为最简形式，再匹配对应的比较规则判断即可，掌握基础规则就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
10. (1)已知 $a$,$b$,$c$ 在数轴上的位置如图所示.
[img]
比较大小：
① $|a|$______$|b|$；
② $|a|$______$|c|$；
③ $-a$______$-b$；
④ $-|a|$______$|b|$；
⑤ $b$______$-c$；
⑥ $-a$______$|c|$.
(2)画出数轴,在数轴上表示下列各数,并用“$＜$”把这些数连接起来.
$5$,$-3.5$,$0$,$2$,$-2$,$-\frac{1}{3}$.
[img]
比较大小：
① $|a|$______$|b|$；
② $|a|$______$|c|$；
③ $-a$______$-b$；
④ $-|a|$______$|b|$；
⑤ $b$______$-c$；
⑥ $-a$______$|c|$.
(2)画出数轴,在数轴上表示下列各数,并用“$＜$”把这些数连接起来.
$5$,$-3.5$,$0$,$2$,$-2$,$-\frac{1}{3}$.
答案
解:
(1)①＞ ②＞ ③＞ ④＜ ⑤＜ ⑥＞
(2)如图所示.
-3.5＜-2＜-$\frac{1}{3}$＜0＜2＜5.解析
【分析】
(1)解决这类数轴比较大小的问题，首先明确数轴的基本性质：数轴上左边的数小于右边的数，一个数的绝对值是它到原点的距离，离原点越远绝对值越大；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。首先根据给出的数轴确定a、b、c的正负和到原点的距离大小，再结合绝对值、相反数的性质逐个比较即可。
(2)解决数轴表示数并排序的问题，第一步先画出规范的数轴（包含原点、正方向、单位长度三要素），第二步将各个数对应到数轴上的位置标注，最后根据“数轴上左边的数始终小于右边的数”的规则从小到大排序即可。
【解析】
(1)根据数轴可知：$a＜c＜0＜b$，且$a$到原点的距离＞$c$到原点的距离＞$b$到原点的距离，因此$|a|＞|c|＞|b|$。
① 绝对值是数到原点的距离，$a$离原点更远，故$|a|＞|b|$；
② $a$比$c$离原点更远，故$|a|＞|c|$；
③ $a$是负数，$-a$为正数；$b$是正数，$-b$为负数，正数大于负数，故$-a＞-b$；
④ $-|a|$是负数，$|b|$是正数，负数小于正数，故$-|a|＜|b|$；
⑤ $c$是负数，$-c=|c|$，已知$|c|＞|b|$，故$b＜-c$；
⑥ $a$是负数，$-a=|a|$，已知$|a|＞|c|$，故$-a＞|c|$。
(2)第一步：绘制包含原点、向右为正方向、单位长度的数轴；第二步：依次标注各数：$5$在原点右侧5个单位处，$-3.5$在原点左侧3.5个单位处，$0$在原点，$2$在原点右侧2个单位处，$-2$在原点左侧2个单位处，$-\frac{1}{3}$在原点左侧$\frac{1}{3}$个单位处，标注结果如下：
第三步：根据数轴上左小右大的规则，从小到大排序得：$-3.5＜-2＜-\frac{1}{3}＜0＜2＜5$。
【答案】
(1)①$\boxed{＞}$；②$\boxed{＞}$；③$\boxed{＞}$；④$\boxed{＜}$；⑤$\boxed{＜}$；⑥$\boxed{＞}$
(2)数轴如图，排序结果为$\boxed{-3.5＜-2＜-\frac{1}{3}＜0＜2＜5}$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数章节的基础常规题型，核心考查数轴与相反数、绝对值的结合应用，熟练掌握数轴上数的位置和大小、绝对值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1)解决这类数轴比较大小的问题，首先明确数轴的基本性质：数轴上左边的数小于右边的数，一个数的绝对值是它到原点的距离，离原点越远绝对值越大；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。首先根据给出的数轴确定a、b、c的正负和到原点的距离大小，再结合绝对值、相反数的性质逐个比较即可。
(2)解决数轴表示数并排序的问题，第一步先画出规范的数轴（包含原点、正方向、单位长度三要素），第二步将各个数对应到数轴上的位置标注，最后根据“数轴上左边的数始终小于右边的数”的规则从小到大排序即可。
【解析】
(1)根据数轴可知：$a＜c＜0＜b$，且$a$到原点的距离＞$c$到原点的距离＞$b$到原点的距离，因此$|a|＞|c|＞|b|$。
① 绝对值是数到原点的距离，$a$离原点更远，故$|a|＞|b|$；
② $a$比$c$离原点更远，故$|a|＞|c|$；
③ $a$是负数，$-a$为正数；$b$是正数，$-b$为负数，正数大于负数，故$-a＞-b$；
④ $-|a|$是负数，$|b|$是正数，负数小于正数，故$-|a|＜|b|$；
⑤ $c$是负数，$-c=|c|$，已知$|c|＞|b|$，故$b＜-c$；
⑥ $a$是负数，$-a=|a|$，已知$|a|＞|c|$，故$-a＞|c|$。
(2)第一步：绘制包含原点、向右为正方向、单位长度的数轴；第二步：依次标注各数：$5$在原点右侧5个单位处，$-3.5$在原点左侧3.5个单位处，$0$在原点，$2$在原点右侧2个单位处，$-2$在原点左侧2个单位处，$-\frac{1}{3}$在原点左侧$\frac{1}{3}$个单位处，标注结果如下：
第三步：根据数轴上左小右大的规则，从小到大排序得：$-3.5＜-2＜-\frac{1}{3}＜0＜2＜5$。
【答案】
(1)①$\boxed{＞}$；②$\boxed{＞}$；③$\boxed{＞}$；④$\boxed{＜}$；⑤$\boxed{＜}$；⑥$\boxed{＞}$
(2)数轴如图
，排序结果为$\boxed{-3.5＜-2＜-\frac{1}{3}＜0＜2＜5}$【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数章节的基础常规题型，核心考查数轴与相反数、绝对值的结合应用，熟练掌握数轴上数的位置和大小、绝对值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. 在一列数：$a_1$,$a_2$,$a_3$,…$$,$a_n$ 中,$a_1 = 7$,$a_2 = 1$,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个位数字,则这一列数中的第 $2024$ 个数是( )
A.$1$
B.$3$
C.$7$
D.$9$
A.$1$
B.$3$
C.$7$
D.$9$
答案
A
解析
【分析】
本题是数字规律探究题，由于所求的第2024项数值很大，无法直接逐项计算，因此解题思路为：首先根据题目给出的数列生成规则，依次写出前若干项，观察数列是否存在循环周期；确定周期后，用总项数除以周期，通过余数判断第2024项对应周期中的位置，即可求出结果。
【解析】
根据题意依次计算数列的项：
$a_1=7$，$a_2=1$
$a_3$：$7×1=7$，个位为7，故$a_3=7$
$a_4$：$1×7=7$，个位为7，故$a_4=7$
$a_5$：$7×7=49$，个位为9，故$a_5=9$
$a_6$：$7×9=63$，个位为3，故$a_6=3$
$a_7$：$9×3=27$，个位为7，故$a_7=7$
$a_8$：$3×7=21$，个位为1，故$a_8=1$
观察发现，$a_7=a_1$，$a_8=a_2$，说明数列从第一项开始，每6个数为一个循环周期，循环节为：7，1，7，7，9，3。
计算$2024÷6=337······2$，即2024除以6商337，余数为2，说明第2024项对应循环节的第2个数，为1。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究，周期问题，整数乘法
【点评】
本题是规律探究类的典型考题，核心解题要点是先通过计算前几项确定数列的循环周期，再利用周期性质简化大数项的求解，解题时需注意准确计算前几项，避免因计算错误导致周期判断失误。
【难度系数】
0.7
本题是数字规律探究题，由于所求的第2024项数值很大，无法直接逐项计算，因此解题思路为：首先根据题目给出的数列生成规则，依次写出前若干项，观察数列是否存在循环周期；确定周期后，用总项数除以周期，通过余数判断第2024项对应周期中的位置，即可求出结果。
【解析】
根据题意依次计算数列的项：
$a_1=7$，$a_2=1$
$a_3$：$7×1=7$，个位为7，故$a_3=7$
$a_4$：$1×7=7$，个位为7，故$a_4=7$
$a_5$：$7×7=49$，个位为9，故$a_5=9$
$a_6$：$7×9=63$，个位为3，故$a_6=3$
$a_7$：$9×3=27$，个位为7，故$a_7=7$
$a_8$：$3×7=21$，个位为1，故$a_8=1$
观察发现，$a_7=a_1$，$a_8=a_2$，说明数列从第一项开始，每6个数为一个循环周期，循环节为：7，1，7，7，9，3。
计算$2024÷6=337······2$，即2024除以6商337，余数为2，说明第2024项对应循环节的第2个数，为1。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究，周期问题，整数乘法
【点评】
本题是规律探究类的典型考题，核心解题要点是先通过计算前几项确定数列的循环周期，再利用周期性质简化大数项的求解，解题时需注意准确计算前几项，避免因计算错误导致周期判断失误。
【难度系数】
0.7
1. (2024·湖北中考)在实际生产生活中,经常用正数、负数表示具有相反意义的量,如果把收入 $20$ 元记作 $+20$ 元,那么支出 $10$ 元记作( )
A.$+10$ 元
B.$-10$ 元
C.$+20$ 元
D.$-20$ 元
A.$+10$ 元
B.$-10$ 元
C.$+20$ 元
D.$-20$ 元
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要明确正负数用来表示具有相反意义的量这一核心规则，先确定题目里规定的“正”对应的含义：题目明确收入记为正，那么和收入相反的支出就对应记为负，再结合支出的具体数值即可得出结果。
【解析】
正负数可以用来表示一对具有相反意义的量，题目中规定收入20元记作+20元，也就是把收入记为正，那么与收入意义相反的支出就应该记为负，因此支出10元应记作-10元。
【答案】
B
【知识点】
相反意义的量；正负数的表示
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对正负数实际意义的理解，只要准确把握正、负的相对性，明确什么是一对相反意义的量就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确正负数用来表示具有相反意义的量这一核心规则，先确定题目里规定的“正”对应的含义：题目明确收入记为正，那么和收入相反的支出就对应记为负，再结合支出的具体数值即可得出结果。
【解析】
正负数可以用来表示一对具有相反意义的量，题目中规定收入20元记作+20元，也就是把收入记为正，那么与收入意义相反的支出就应该记为负，因此支出10元应记作-10元。
【答案】
B
【知识点】
相反意义的量；正负数的表示
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对正负数实际意义的理解，只要准确把握正、负的相对性，明确什么是一对相反意义的量就能快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 在 $3$,$-7$,$0$,$\frac{1}{9}$ 这四个数中,最大的数是( )
A.$3$
B.$-7$
C.$0$
D.$\frac{1}{9}$
A.$3$
B.$-7$
C.$0$
D.$\frac{1}{9}$
答案
A
解析
【分析】
要比较四个有理数的大小，首先回忆有理数大小比较的基本规则：第一步先区分正负数和0，负数小于0，0小于所有正数，先排除掉负数和较小的数，再对剩下的正数比较大小即可找到最大的数。
【解析】
根据有理数大小比较法则逐步判断：
1. 先判断正负性：-7是负数，所有负数都小于0，因此$-7＜0$；
2. 0小于所有正数，因此0小于3和$\frac{1}{9}$；
3. 比较两个正数的大小：$\frac{1}{9}$是小于1的正分数，3是大于1的正整数，因此$\frac{1}{9}＜3$。
综上四个数的大小关系为：$-7＜0＜\frac{1}{9}＜3$，最大的数是3。
【答案】
A
【知识点】
有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查有理数大小比较的基本规则，只要牢记大小比较的判断顺序，先通过正负性排除明显更小的数，再比较剩余数的大小，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要比较四个有理数的大小，首先回忆有理数大小比较的基本规则：第一步先区分正负数和0，负数小于0，0小于所有正数，先排除掉负数和较小的数，再对剩下的正数比较大小即可找到最大的数。
【解析】
根据有理数大小比较法则逐步判断：
1. 先判断正负性：-7是负数，所有负数都小于0，因此$-7＜0$；
2. 0小于所有正数，因此0小于3和$\frac{1}{9}$；
3. 比较两个正数的大小：$\frac{1}{9}$是小于1的正分数，3是大于1的正整数，因此$\frac{1}{9}＜3$。
综上四个数的大小关系为：$-7＜0＜\frac{1}{9}＜3$，最大的数是3。
【答案】
A
【知识点】
有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查有理数大小比较的基本规则，只要牢记大小比较的判断顺序，先通过正负性排除明显更小的数，再比较剩余数的大小，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图所示,数轴上点 $A$ 表示的数是 $2023$,$OA = OB$,则点 $B$ 表示的数是( )
[img]
A.$2023$
B.$-2023$
C.$\frac{1}{2023}$
D.$-\frac{1}{2023}$
[img]
A.$2023$
B.$-2023$
C.$\frac{1}{2023}$
D.$-\frac{1}{2023}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴特征，原点为O，点A在原点右侧，表示的数是2023，因此OA的长度就是2023；结合已知条件OA=OB，可得OB的长度也为2023；再看点B的位置在原点左侧，数轴上原点左侧的数为负数，即可推出点B表示的数。
【解析】
解：
∵数轴上点A表示的数是2023，原点O表示的数是0，
∴OA的长度为|2023 - 0|=2023，
∵OA=OB，
∴OB的长度也为2023，
又
∵点B在原点O的左侧，数轴上原点左侧的数是负数，
∴点B表示的数是-2023。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识；相反数；数轴上两点距离
【点评】
本题考查数轴的基础应用，结合几何等量关系判断数轴上点对应的数，解题关键是明确数轴正负半轴的数的符号特征，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察数轴特征，原点为O，点A在原点右侧，表示的数是2023，因此OA的长度就是2023；结合已知条件OA=OB，可得OB的长度也为2023；再看点B的位置在原点左侧，数轴上原点左侧的数为负数，即可推出点B表示的数。
【解析】
解：
∵数轴上点A表示的数是2023，原点O表示的数是0，
∴OA的长度为|2023 - 0|=2023，
∵OA=OB，
∴OB的长度也为2023，
又
∵点B在原点O的左侧，数轴上原点左侧的数是负数，
∴点B表示的数是-2023。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识；相反数；数轴上两点距离
【点评】
本题考查数轴的基础应用，结合几何等量关系判断数轴上点对应的数，解题关键是明确数轴正负半轴的数的符号特征，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. (2024·安徽中考) $-5$ 的绝对值是( )
A.$5$
B.$-5$
C.$\frac{1}{5}$
D.$-\frac{1}{5}$
A.$5$
B.$-5$
C.$\frac{1}{5}$
D.$-\frac{1}{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的相关定义，绝对值指的是数轴上某一个数对应的点到原点的距离，距离不可能为负数。对于负数来说，它的绝对值等于它的相反数，我们只需要求出-5的相反数就能得到它的绝对值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
因为-5是负数，所以$\vert -5 \vert = -(-5) = 5$，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对绝对值性质的理解与运用，只要熟练掌握不同类型数的绝对值计算规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆绝对值的相关定义，绝对值指的是数轴上某一个数对应的点到原点的距离，距离不可能为负数。对于负数来说，它的绝对值等于它的相反数，我们只需要求出-5的相反数就能得到它的绝对值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
因为-5是负数，所以$\vert -5 \vert = -(-5) = 5$，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对绝对值性质的理解与运用，只要熟练掌握不同类型数的绝对值计算规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
5. 在 $-0.5$,$0$,$3$,$-1$ 这四个数中,最小的数是______；既不是正数也不是负数的是______.
答案
-1 0
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：①找最小的数：先回忆有理数比较大小的规则：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。先把四个数分为正数、0、负数三类，先确定负数比0和正数都小，再比较两个负数的大小就能找到最小的数；②找既不是正数也不是负数的数：回忆有理数的分类概念，明确0的特殊性即可得出结果。
【解析】
1. 比较四个数的大小：
四个数中，正数是3，负数是-0.5、-1，还有0。根据有理数大小比较规则，正数大于0，0大于负数，因此最小的数一定在两个负数里。
计算两个负数的绝对值：$\left|-0.5\right|=0.5$，$\left|-1\right|=1$。
因为$1＞0.5$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-1＜-0.5$。
将四个数从小到大排列为：$-1 ＜ -0.5 ＜ 0 ＜ 3$，因此最小的数是$-1$。
2. 找既不是正数也不是负数的数：
根据正负数的定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，因此0既不是正数也不是负数。
【答案】
$-1$；$0$
【知识点】
有理数大小比较；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察有理数的基础性质和大小比较方法，熟练掌握基础定义和比较规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以分两步思考：①找最小的数：先回忆有理数比较大小的规则：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。先把四个数分为正数、0、负数三类，先确定负数比0和正数都小，再比较两个负数的大小就能找到最小的数；②找既不是正数也不是负数的数：回忆有理数的分类概念，明确0的特殊性即可得出结果。
【解析】
1. 比较四个数的大小：
四个数中，正数是3，负数是-0.5、-1，还有0。根据有理数大小比较规则，正数大于0，0大于负数，因此最小的数一定在两个负数里。
计算两个负数的绝对值：$\left|-0.5\right|=0.5$，$\left|-1\right|=1$。
因为$1＞0.5$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-1＜-0.5$。
将四个数从小到大排列为：$-1 ＜ -0.5 ＜ 0 ＜ 3$，因此最小的数是$-1$。
2. 找既不是正数也不是负数的数：
根据正负数的定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，因此0既不是正数也不是负数。
【答案】
$-1$；$0$
【知识点】
有理数大小比较；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察有理数的基础性质和大小比较方法，熟练掌握基础定义和比较规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
