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6. (2023·金昌中考)近年来,我国科技工作者践行“科技强国”使命,不断取得世界级的科技成果. 由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”,最大下潜深度 $10907$ m,填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”,升空高度至海拔 $9050$ m,创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录. 如果把海平面以上 $9050$ m 记作 $+9050$ m,那么海平面以下 $10907$ m 记作______.
答案
-10907m
解析
【分析】
解题时首先明确正负数的核心作用：用来表示一对具有相反意义的量。题目已经明确规定海平面以上的高度记为正，那么和“海平面以上”意义相反的“海平面以下”的深度就需要用负数表示，直接对应给出的深度数值添加负号、带上单位即可得到结果。
【解析】
解：正负数可用于表示具有相反意义的量，已知题目规定海平面以上的高度记作正数，因此海平面以下的深度应记作负数。
所以海平面以下10907m记作-10907m。
【答案】
-10907m
【知识点】
1. 相反意义的量
2. 正负数的实际应用
【点评】
本题结合我国科技成果的时事背景考查正负数的基础应用，核心是明确相反意义的量的正负约定，按照规则对应书写即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确正负数的核心作用：用来表示一对具有相反意义的量。题目已经明确规定海平面以上的高度记为正，那么和“海平面以上”意义相反的“海平面以下”的深度就需要用负数表示，直接对应给出的深度数值添加负号、带上单位即可得到结果。
【解析】
解：正负数可用于表示具有相反意义的量，已知题目规定海平面以上的高度记作正数，因此海平面以下的深度应记作负数。
所以海平面以下10907m记作-10907m。
【答案】
-10907m
【知识点】
1. 相反意义的量
2. 正负数的实际应用
【点评】
本题结合我国科技成果的时事背景考查正负数的基础应用，核心是明确相反意义的量的正负约定，按照规则对应书写即可。
【难度系数】
0.9
7. (分类讨论)数轴上 $A$ 点表示 $-3$,$B$,$C$ 两点表示的数互为相反数,且点 $B$ 到点 $A$ 的距离是 $2$,则点 $C$ 表示的数是______.
答案
1或5
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①数轴上点A表示-3，点B到点A的距离是2；②B、C两点表示的数互为相反数。首先根据数轴上两点距离的计算规则求出点B的可能取值，注意距离是绝对值，所以点B既可能在点A左侧也可能在右侧，需要分类讨论，再结合相反数的定义对应求出点C的数值即可。
【解析】
第一步：求点B表示的数
设点B表示的数为$x$，数轴上两点间的距离等于两点对应数的差的绝对值，由点B到点A的距离为2可得：
$\left|x - (-3)\right|=2$，即$\left|x + 3\right|=2$
去绝对值得两种情况：
情况1：$x+3=2$，解得$x=-1$
情况2：$x+3=-2$，解得$x=-5$
因此点B表示的数为-1或-5。
第二步：求点C表示的数
互为相反数的两个数绝对值相等、符号相反：
当点B为-1时，点C为1；
当点B为-5时，点C为5。
【答案】
1或5
【知识点】
数轴两点距离计算、相反数的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是数轴与相反数的基础综合题，易错点是忽略距离的非负性，未分类讨论点B的两种位置导致漏解，解题时遇到数轴上两点距离的条件，要注意全面分析点的左右位置。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①数轴上点A表示-3，点B到点A的距离是2；②B、C两点表示的数互为相反数。首先根据数轴上两点距离的计算规则求出点B的可能取值，注意距离是绝对值，所以点B既可能在点A左侧也可能在右侧，需要分类讨论，再结合相反数的定义对应求出点C的数值即可。
【解析】
第一步：求点B表示的数
设点B表示的数为$x$，数轴上两点间的距离等于两点对应数的差的绝对值，由点B到点A的距离为2可得：
$\left|x - (-3)\right|=2$，即$\left|x + 3\right|=2$
去绝对值得两种情况：
情况1：$x+3=2$，解得$x=-1$
情况2：$x+3=-2$，解得$x=-5$
因此点B表示的数为-1或-5。
第二步：求点C表示的数
互为相反数的两个数绝对值相等、符号相反：
当点B为-1时，点C为1；
当点B为-5时，点C为5。
【答案】
1或5
【知识点】
数轴两点距离计算、相反数的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是数轴与相反数的基础综合题，易错点是忽略距离的非负性，未分类讨论点B的两种位置导致漏解，解题时遇到数轴上两点距离的条件，要注意全面分析点的左右位置。
【难度系数】
0.7
8. (20 分)已知 $|a - 3|$ 与 $|2b - 4|$ 互为相反数.
(1)求 $a$ 与 $b$ 的值；
(2)若 $|x| = 2a + 4b$,求 $x$ 的相反数.
(1)求 $a$ 与 $b$ 的值；
(2)若 $|x| = 2a + 4b$,求 $x$ 的相反数.
答案
解:
(1)因为|a-3|与|2b-4|互为相反数，所以|a-3|+|2b-4|=0.所以a-3=0,2b-4=0，解得a=3,b=2.
(2)因为a=3,b=2，所以|x|=2a+4b=2×3+4×2=6+8=14.所以x=±14.所以x的相反数为-14或14.
(1)因为|a-3|与|2b-4|互为相反数，所以|a-3|+|2b-4|=0.所以a-3=0,2b-4=0，解得a=3,b=2.
(2)因为a=3,b=2，所以|x|=2a+4b=2×3+4×2=6+8=14.所以x=±14.所以x的相反数为-14或14.
解析
【分析】
解题时先处理第(1)问：首先回忆两个基础性质，一是互为相反数的两个数之和为0，二是任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加结果为0，只能是这两个非负数各自都等于0，据此可列出关于a、b的一元一次方程，求解即可得到a、b的值。再处理第(2)问：把第(1)问求出的a、b代入$2a+4b$算出结果，即得到$|x|$的值，再根据绝对值的性质，绝对值等于正数的数有两个、且互为相反数，得到x的两个可能取值，最后分别求它们的相反数即可。
【解析】
(1) 因为$|a - 3|$与$|2b - 4|$互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$|a - 3| + |2b - 4| = 0$
又因为绝对值具有非负性，即$|a - 3|≥0$，$|2b - 4|≥0$，两个非负数的和为0，则每一个非负数都为0，因此：
$a - 3 = 0$，$2b - 4 = 0$
分别求解得：$a = 3$，$b = 2$。
(2) 将$a = 3$，$b = 2$代入$|x| = 2a + 4b$得：
$|x| = 2×3 + 4×2 = 6 + 8 = 14$
根据绝对值的性质，绝对值为14的数有两个，即$x = 14$或$x = -14$。
根据相反数的定义，14的相反数是$-14$，$-14$的相反数是$14$，因此x的相反数为$-14$或$14$。
【答案】
(1)$a=3$，$b=2$；(2)$-14$或$14$
【知识点】
绝对值的非负性；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于代数基础题，核心考查绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论，同时要注意绝对值等于正实数时对应两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先处理第(1)问：首先回忆两个基础性质，一是互为相反数的两个数之和为0，二是任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加结果为0，只能是这两个非负数各自都等于0，据此可列出关于a、b的一元一次方程，求解即可得到a、b的值。再处理第(2)问：把第(1)问求出的a、b代入$2a+4b$算出结果，即得到$|x|$的值，再根据绝对值的性质，绝对值等于正数的数有两个、且互为相反数，得到x的两个可能取值，最后分别求它们的相反数即可。
【解析】
(1) 因为$|a - 3|$与$|2b - 4|$互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$|a - 3| + |2b - 4| = 0$
又因为绝对值具有非负性，即$|a - 3|≥0$，$|2b - 4|≥0$，两个非负数的和为0，则每一个非负数都为0，因此：
$a - 3 = 0$，$2b - 4 = 0$
分别求解得：$a = 3$，$b = 2$。
(2) 将$a = 3$，$b = 2$代入$|x| = 2a + 4b$得：
$|x| = 2×3 + 4×2 = 6 + 8 = 14$
根据绝对值的性质，绝对值为14的数有两个，即$x = 14$或$x = -14$。
根据相反数的定义，14的相反数是$-14$，$-14$的相反数是$14$，因此x的相反数为$-14$或$14$。
【答案】
(1)$a=3$，$b=2$；(2)$-14$或$14$
【知识点】
绝对值的非负性；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于代数基础题，核心考查绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论，同时要注意绝对值等于正实数时对应两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
9. (20 分)有下列有理数：
$-4$,$\frac{3}{2}$,$0$,$|-1|$,$2$,$+0.5$,$-\frac{1}{3}$,$-(+2)$.
(1)在数轴上表示上述各数；
(2)用“$＜$”将上述各数连接起来.
[img]
$-4$,$\frac{3}{2}$,$0$,$|-1|$,$2$,$+0.5$,$-\frac{1}{3}$,$-(+2)$.
(1)在数轴上表示上述各数；
(2)用“$＜$”将上述各数连接起来.
[img]
答案
解:
(1)|-1|=1,-(+2)=-2,在数轴上表示各数如图所示.
(2)由图可知，-4＜-(+2)＜-$\frac{1}{3}$＜0＜+0.5＜|-1|＜$\frac{3}{2}$＜2.
解析
【分析】
解题时先处理需要化简的数：先根据绝对值的性质和去括号法则化简$|-1|$和$-(+2)$，再解决两个小问：
(1) 画数轴需明确原点、正方向、单位长度三个要素，正数在原点右侧，负数在原点左侧，根据每个数的大小找到对应位置描点并标注数即可；
(2) 数轴上的数满足“左边的数始终小于右边的数”，只需要按照各数在数轴上从左到右的顺序，依次用“$＜$”连接即可。
【解析】
首先先化简题目中带绝对值和括号的数：
$|-1|=1$，$-(+2)=-2$。
(1) 按照数轴的标注规则，将$-4$、$-2$（即$-(+2)$）、$-\frac{1}{3}$、$0$、$+0.5$、$1$（即$|-1|$）、$\frac{3}{2}$、$2$依次对应到数轴的相应位置，描点标注即可。
(2) 根据数轴上数的大小规律：数轴上越靠左的数越小，越靠右的数越大，观察各点的位置从左到右依次为$-4$、$-(+2)$、$-\frac{1}{3}$、$0$、$+0.5$、$|-1|$、$\frac{3}{2}$、$2$，对应即可得到大小关系。
【答案】
(1)$|-1|=1$,$-(+2)=-2$,在数轴上表示各数如图所示.
(2)$-4＜-(+2)＜-\frac{1}{3}＜0＜+0.5＜|-1|＜\frac{3}{2}＜2$
【知识点】
数轴的使用；有理数大小比较；绝对值与符号化简
【点评】
本题是有理数章节的基础题型，重点考察学生对有理数化简、数轴应用的掌握程度，解题时要注意先准确化简带绝对值、括号的数，数轴标点时位置要准确，排序时避免漏数或顺序颠倒。
【难度系数】
0.8
解题时先处理需要化简的数：先根据绝对值的性质和去括号法则化简$|-1|$和$-(+2)$，再解决两个小问：
(1) 画数轴需明确原点、正方向、单位长度三个要素，正数在原点右侧，负数在原点左侧，根据每个数的大小找到对应位置描点并标注数即可；
(2) 数轴上的数满足“左边的数始终小于右边的数”，只需要按照各数在数轴上从左到右的顺序，依次用“$＜$”连接即可。
【解析】
首先先化简题目中带绝对值和括号的数：
$|-1|=1$，$-(+2)=-2$。
(1) 按照数轴的标注规则，将$-4$、$-2$（即$-(+2)$）、$-\frac{1}{3}$、$0$、$+0.5$、$1$（即$|-1|$）、$\frac{3}{2}$、$2$依次对应到数轴的相应位置，描点标注即可。
(2) 根据数轴上数的大小规律：数轴上越靠左的数越小，越靠右的数越大，观察各点的位置从左到右依次为$-4$、$-(+2)$、$-\frac{1}{3}$、$0$、$+0.5$、$|-1|$、$\frac{3}{2}$、$2$，对应即可得到大小关系。
【答案】
(1)$|-1|=1$,$-(+2)=-2$,在数轴上表示各数如图所示.
(2)$-4＜-(+2)＜-\frac{1}{3}＜0＜+0.5＜|-1|＜\frac{3}{2}＜2$
【知识点】
数轴的使用；有理数大小比较；绝对值与符号化简
【点评】
本题是有理数章节的基础题型，重点考察学生对有理数化简、数轴应用的掌握程度，解题时要注意先准确化简带绝对值、括号的数，数轴标点时位置要准确，排序时避免漏数或顺序颠倒。
【难度系数】
0.8
10. (25 分)某商场老板以每件 $32$ 元的价格购进 $30$ 件儿童服装,针对不同的顾客,$30$ 件儿童服装的售价不完全相同. 若以 $47$ 元为标准,超过的钱数记为正数,不足的钱数记为负数,记录结果如表所示：
| 售出件数 | $7$ | $6$ | $3$ | $5$ | $4$ | $5$ |
| 售价记录/元 | $+3$ | $+2$ | $+1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
(1)在销售的这 $30$ 件儿童服装中,价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？
(2)与标准售价下的总销售额比较,$30$ 件儿童服装实际的总销售额超过或不足多少元？
(3)请问：该商场销售完这 $30$ 件儿童服装后,赚了多少钱？
| 售出件数 | $7$ | $6$ | $3$ | $5$ | $4$ | $5$ |
| 售价记录/元 | $+3$ | $+2$ | $+1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
(1)在销售的这 $30$ 件儿童服装中,价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？
(2)与标准售价下的总销售额比较,$30$ 件儿童服装实际的总销售额超过或不足多少元？
(3)请问：该商场销售完这 $30$ 件儿童服装后,赚了多少钱？
答案
解:
(1)3＞2＞1＞0＞-1＞-2，47+3=50(元),47-2=45(元)，50-45=5(元).答:价格最高的一件比价格最低的一件多5元.
(2)7×3+6×2+3×1+5×0-4×1-5×2=22(元).答:超过22元.
(3)(47-32)×30=450(元)，450+22=472(元).答:赚了472元.
(1)3＞2＞1＞0＞-1＞-2，47+3=50(元),47-2=45(元)，50-45=5(元).答:价格最高的一件比价格最低的一件多5元.
(2)7×3+6×2+3×1+5×0-4×1-5×2=22(元).答:超过22元.
(3)(47-32)×30=450(元)，450+22=472(元).答:赚了472元.
解析
【分析】
(1) 要计算价格最高与最低的差价，首先从售价记录中找到最大和最小的数，分别对应最高售价的溢价和最低售价的折价，计算出两者的实际售价后求差即可，也可直接用最高溢价减去最低折价得到差值。
(2) 要判断实际总销售额和标准总销售额的差值，只需将每种售价对应的差价乘对应售出件数，再将所有结果求和，结果为正则超过标准销售额，结果为负则不足。
(3) 计算总利润可以先算出按标准售价销售30件服装的总利润，再加上第二问得到的超出的销售额，就是实际总利润；也可以先计算实际总销售额，再减去进货总成本得到利润。
【解析】
(1) 售价记录中最大数为+3，最小数为-2：
最高售价：$47+3=50$（元）
最低售价：$47-2=45$（元）
差价：$50-45=5$（元）
(2) 计算总售价差值：
$7×3+6×2+3×1+5×0+4×(-1)+5×(-2)$
$=21+12+3+0-4-10$
$=22$（元）
结果为正，说明实际总销售额超过标准总销售额22元。
(3) 按标准售价销售每件利润为：$47-32=15$（元）
30件按标准售价的总利润：$15×30=450$（元）
实际总利润：$450+22=472$（元）
【答案】
(1) 价格最高的一件比价格最低的一件多5元；
(2) 30件儿童服装实际的总销售额超过22元；
(3) 赚了472元。
【知识点】
正负数的应用，有理数混合运算，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，解题的核心是理解正负数表示相对标准量增减的含义，同时掌握销售问题中销售额、成本、利润的数量关系，计算时注意符号处理即可正确解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算价格最高与最低的差价，首先从售价记录中找到最大和最小的数，分别对应最高售价的溢价和最低售价的折价，计算出两者的实际售价后求差即可，也可直接用最高溢价减去最低折价得到差值。
(2) 要判断实际总销售额和标准总销售额的差值，只需将每种售价对应的差价乘对应售出件数，再将所有结果求和，结果为正则超过标准销售额，结果为负则不足。
(3) 计算总利润可以先算出按标准售价销售30件服装的总利润，再加上第二问得到的超出的销售额，就是实际总利润；也可以先计算实际总销售额，再减去进货总成本得到利润。
【解析】
(1) 售价记录中最大数为+3，最小数为-2：
最高售价：$47+3=50$（元）
最低售价：$47-2=45$（元）
差价：$50-45=5$（元）
(2) 计算总售价差值：
$7×3+6×2+3×1+5×0+4×(-1)+5×(-2)$
$=21+12+3+0-4-10$
$=22$（元）
结果为正，说明实际总销售额超过标准总销售额22元。
(3) 按标准售价销售每件利润为：$47-32=15$（元）
30件按标准售价的总利润：$15×30=450$（元）
实际总利润：$450+22=472$（元）
【答案】
(1) 价格最高的一件比价格最低的一件多5元；
(2) 30件儿童服装实际的总销售额超过22元；
(3) 赚了472元。
【知识点】
正负数的应用，有理数混合运算，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，解题的核心是理解正负数表示相对标准量增减的含义，同时掌握销售问题中销售额、成本、利润的数量关系，计算时注意符号处理即可正确解题。
【难度系数】
0.8
