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1. 下列式子的变形正确的是()
A.$\frac{b}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$
B.$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}=a + b$
C.$\frac{2x - 4y}{2x}=\frac{x - 2y}{x}$
D.$\frac{m - 2n}{m}=-2n$
A.$\frac{b}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$
B.$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}=a + b$
C.$\frac{2x - 4y}{2x}=\frac{x - 2y}{x}$
D.$\frac{m - 2n}{m}=-2n$
答案
C
解析
A 选项，分式的分子分母同乘以一个非零同号数时，值才不变，$\frac{b}{a} ≠ \frac{b^{2}}{a^{2}}$，所以 A 错误；
B 选项，$\frac{a^{2}+b^{2}}{a + b}$已是最简形式，不能化简为$a + b$，所以 B 错误；
C 选项，根据分式的基本性质，$\frac{2x - 4y}{2x}$分子分母同时除以$2$，得到$\frac{x - 2y}{x}$，所以 C 正确；
D 选项，$\frac{m - 2n}{m}$已是最简形式，不能化简为$-2n$，所以 D 错误。
B 选项，$\frac{a^{2}+b^{2}}{a + b}$已是最简形式，不能化简为$a + b$，所以 B 错误；
C 选项，根据分式的基本性质，$\frac{2x - 4y}{2x}$分子分母同时除以$2$，得到$\frac{x - 2y}{x}$，所以 C 正确；
D 选项，$\frac{m - 2n}{m}$已是最简形式，不能化简为$-2n$，所以 D 错误。
2. 与分式$\frac{-a + b}{-a - b}$相等的是()
A.$\frac{a + b}{a - b}$
B.$\frac{a - b}{a + b}$
C.$-\frac{a - b}{a - b}$
D.$-\frac{a - b}{a + b}$
A.$\frac{a + b}{a - b}$
B.$\frac{a - b}{a + b}$
C.$-\frac{a - b}{a - b}$
D.$-\frac{a - b}{a + b}$
答案
B
解析
$\frac{-a + b}{-a - b}=\frac{-(a - b)}{-(a + b)}=\frac{a - b}{a + b}$
3. 在下列各式中，$x$、$y$同时扩大 2 倍，式子的值不变的是()
A.$\frac{x + y + 1}{x - y}$
B.$\frac{y^{2}}{x^{2} - xy}$
C.$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - xy + 1}$
D.$\frac{x + y}{x^{2} + xy + y^{2}}$
A.$\frac{x + y + 1}{x - y}$
B.$\frac{y^{2}}{x^{2} - xy}$
C.$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - xy + 1}$
D.$\frac{x + y}{x^{2} + xy + y^{2}}$
答案
B
解析
将x、y同时替换为2x、2y，分别代入各选项：
A选项：分子变为$2x+2y+1$，分母变为$2x-2y$，与原分式$\frac{x+y+1}{x-y}$不相等；
B选项：分子变为$(2y)^2=4y^2$，分母变为$(2x)^2-(2x)(2y)=4x^2-4xy=4(x^2-xy)$，新分式为$\frac{4y^2}{4(x^2-xy)}=\frac{y^2}{x^2-xy}$，与原分式相等；
C选项：分子变为$(2x)^2+(2y)^2=4(x^2+y^2)$，分母变为$(2x)^2-(2x)(2y)+1=4x^2-4xy+1$，与原分式$\frac{x^2+y^2}{x^2-xy+1}$不相等；
D选项：分子变为$2x+2y=2(x+y)$，分母变为$(2x)^2+(2x)(2y)+(2y)^2=4(x^2+xy+y^2)$，新分式为$\frac{2(x+y)}{4(x^2+xy+y^2)}=\frac{x+y}{2(x^2+xy+y^2)}$，与原分式不相等。
A选项：分子变为$2x+2y+1$，分母变为$2x-2y$，与原分式$\frac{x+y+1}{x-y}$不相等；
B选项：分子变为$(2y)^2=4y^2$，分母变为$(2x)^2-(2x)(2y)=4x^2-4xy=4(x^2-xy)$，新分式为$\frac{4y^2}{4(x^2-xy)}=\frac{y^2}{x^2-xy}$，与原分式相等；
C选项：分子变为$(2x)^2+(2y)^2=4(x^2+y^2)$，分母变为$(2x)^2-(2x)(2y)+1=4x^2-4xy+1$，与原分式$\frac{x^2+y^2}{x^2-xy+1}$不相等；
D选项：分子变为$2x+2y=2(x+y)$，分母变为$(2x)^2+(2x)(2y)+(2y)^2=4(x^2+xy+y^2)$，新分式为$\frac{2(x+y)}{4(x^2+xy+y^2)}=\frac{x+y}{2(x^2+xy+y^2)}$，与原分式不相等。
4. 下列计算中，错误的是()
A.$\frac{0.2a + b}{0.7a - b}=\frac{2a + b}{7a - b}$
B.$\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}$
C.$\frac{a - b}{b - a}=-1$
D.$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}(c≠0)$
A.$\frac{0.2a + b}{0.7a - b}=\frac{2a + b}{7a - b}$
B.$\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}$
C.$\frac{a - b}{b - a}=-1$
D.$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}(c≠0)$
答案
A
解析
选项A：对于$\frac{0.2a + b}{0.7a - b}$，根据分式的基本性质，将分子分母同时乘以$10$，得到$\frac{(0.2a + b)×10}{(0.7a - b)×10}=\frac{2a + 10b}{7a - 10b}≠\frac{2a + b}{7a - b}$，所以该选项错误。
选项B：对于$\frac{2x}{x^{2}}$，分子分母同时除以$x$（$x≠0$），得到$\frac{2x÷ x}{x^{2}÷ x}=\frac{2}{x}$，该选项正确。
选项C：对于$\frac{a - b}{b - a}$，因为$b - a=-(a - b)$，所以$\frac{a - b}{b - a}=\frac{a - b}{-(a - b)}=-1$，该选项正确。
选项D：对于$\frac{a}{b}$，根据分式的基本性质，分子分母同时乘以$c$（$c≠0$），得到$\frac{a× c}{b× c}=\frac{ac}{bc}$，该选项正确。
选项B：对于$\frac{2x}{x^{2}}$，分子分母同时除以$x$（$x≠0$），得到$\frac{2x÷ x}{x^{2}÷ x}=\frac{2}{x}$，该选项正确。
选项C：对于$\frac{a - b}{b - a}$，因为$b - a=-(a - b)$，所以$\frac{a - b}{b - a}=\frac{a - b}{-(a - b)}=-1$，该选项正确。
选项D：对于$\frac{a}{b}$，根据分式的基本性质，分子分母同时乘以$c$（$c≠0$），得到$\frac{a× c}{b× c}=\frac{ac}{bc}$，该选项正确。
5. 不改变分式的值，把分式$\frac{0.4x + 2}{0.5x - 1}$中分子、分母各项系数化成整数为。
答案
$\frac{4x + 20}{5x - 10}$
解析
根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘一个不为$0$的数，分式的值不变。要把分式$\frac{0.4x + 2}{0.5x - 1}$中分子、分母各项系数化成整数，因为分子分母中系数的小数位数都是一位，所以给分子分母同时乘以$10$，即$\frac{(0.4x + 2)×10}{(0.5x - 1)×10}=\frac{4x + 20}{5x - 10}$。
6. 根据变化完成式子的变形：$\frac{3x^{2} - 3xy}{xy - y^{2}}=\frac{3x}{( )}$，()中应填。
答案
$y$
解析
分子$3x^{2} - 3xy$提取公因式$3x$可得$3x(x - y)$，分母$xy - y^{2}$提取公因式$y$可得$y(x - y)$，则原分式可化为$\frac{3x(x - y)}{y(x - y)}$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$(x - y)$（$x≠ y$），得到$\frac{3x}{y}$。
所以括号内应填$y$。
所以括号内应填$y$。
7. 已知$\frac{x^{2}}{x + y}$的值为 5，若分式$\frac{x^{2}}{x + y}$中的$x$、$y$均扩大为原来的 2 倍，则$\frac{x^{2}}{x + y}$的值为。
答案
10
解析
已知$\frac{x^{2}}{x + y}=5$。当$x$、$y$均扩大为原来的2倍时，新的$x$为$2x$，新的$y$为$2y$，则新分式为$\frac{(2x)^{2}}{2x + 2y}=\frac{4x^{2}}{2(x + y)}=2×\frac{x^{2}}{x + y}$。因为$\frac{x^{2}}{x + y}=5$，所以新分式的值为$2×5 = 10$。
8. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“$-$”号。
（1）$-\frac{-x^{3}y}{3ab^{2}}$；
（2）$\frac{-5a}{-13x^{2}}$；
（3）$-\frac{-a^{3}}{-17b^{2}}$。
（1）$-\frac{-x^{3}y}{3ab^{2}}$；
（2）$\frac{-5a}{-13x^{2}}$；
（3）$-\frac{-a^{3}}{-17b^{2}}$。
答案
（1）$-\frac{-x^{3}y}{3ab^{2}} = \frac{x^{3}y}{3ab^{2}}$；
（2）$\frac{-5a}{-13x^{2}} = \frac{5a}{13x^{2}}$；
（3）$-\frac{-a^{3}}{-17b^{2}} = -\frac{a^{3}}{17b^{2}}$。
（2）$\frac{-5a}{-13x^{2}} = \frac{5a}{13x^{2}}$；
（3）$-\frac{-a^{3}}{-17b^{2}} = -\frac{a^{3}}{17b^{2}}$。
9. （应用意识）已知$x + \frac{1}{x}=4$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$的值。
答案
$\frac{1}{15}$
解析
$\because x + \frac{1}{x} = 4$，
$\therefore (x + \frac{1}{x})^2 = 4^2$，
即$x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$，
$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14$。
$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$（分子分母同除以$x^2$），
将$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$代入，得$\frac{1}{14 + 1} = \frac{1}{15}$。
$\therefore (x + \frac{1}{x})^2 = 4^2$，
即$x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$，
$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14$。
$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$（分子分母同除以$x^2$），
将$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$代入，得$\frac{1}{14 + 1} = \frac{1}{15}$。
