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【典例 1】(1)约分：$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-xy}$；
(2)通分：$\frac{2}{x^{2}-x}$，$\frac{1}{x^{2}-1}$。
解析：(1)$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=\frac{x+y}{x}$。
(2)$\because \frac{2}{x^{2}-x}$和$\frac{1}{x^{2}-1}$的最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
$\therefore \frac{2}{x^{2}-x}=\frac{2}{x(x-1)}=\frac{2x+2}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2x+2}{x^{3}-x}$，$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x^{3}-x}$。
(2)通分：$\frac{2}{x^{2}-x}$，$\frac{1}{x^{2}-1}$。
解析：(1)$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=\frac{x+y}{x}$。
(2)$\because \frac{2}{x^{2}-x}$和$\frac{1}{x^{2}-1}$的最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
$\therefore \frac{2}{x^{2}-x}=\frac{2}{x(x-1)}=\frac{2x+2}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2x+2}{x^{3}-x}$，$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x^{3}-x}$。
答案
(1) $\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=\frac{x+y}{x}$；
(2) 最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
$\frac{2}{x^{2}-x}=\frac{2}{x(x-1)}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2x+2}{x(x+1)(x-1)}$，
$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x(x+1)(x-1)}$。
(2) 最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
$\frac{2}{x^{2}-x}=\frac{2}{x(x-1)}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2x+2}{x(x+1)(x-1)}$，
$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x(x+1)(x-1)}$。
1. (1)约分：$\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn+n^{2}}$；
(2)通分：$\frac{2xy}{(x+y)^{2}}$和$\frac{x}{x^{2}-y^{2}}$。
(2)通分：$\frac{2xy}{(x+y)^{2}}$和$\frac{x}{x^{2}-y^{2}}$。
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{m^{2} - n^{2}}{m^{2} + 2mn + n^{2}} &= \frac{(m + n)(m - n)}{(m + n)^{2}} \\&= \frac{m - n}{m + n}\end{aligned}$
(2)
最简公分母为$(x + y)^{2}(x - y)$。
$\begin{aligned}\frac{2xy}{(x + y)^{2}} &= \frac{2xy(x - y)}{(x + y)^{2}(x - y)} \\frac{x}{x^{2} - y^{2}} &= \frac{x(x + y)}{(x + y)^{2}(x - y)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{m^{2} - n^{2}}{m^{2} + 2mn + n^{2}} &= \frac{(m + n)(m - n)}{(m + n)^{2}} \\&= \frac{m - n}{m + n}\end{aligned}$
(2)
最简公分母为$(x + y)^{2}(x - y)$。
$\begin{aligned}\frac{2xy}{(x + y)^{2}} &= \frac{2xy(x - y)}{(x + y)^{2}(x - y)} \\frac{x}{x^{2} - y^{2}} &= \frac{x(x + y)}{(x + y)^{2}(x - y)}\end{aligned}$
【典例 2】下列分式中，最简分式是()
A. $\frac{xy}{4x^{2}}$
B. $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$
C. $\frac{2-x}{4-x^{2}}$
D. $\frac{3-x}{x^{2}-6x+9}$
解析：A. $\frac{xy}{4x^{2}}=\frac{y}{4x}$，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意；
B. $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$是最简分式，故此选项符合题意；
C. $\frac{2-x}{4-x^{2}}=\frac{2-x}{(2-x)(2+x)}=\frac{1}{x+2}$，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意；
D. $\frac{3-x}{x^{2}-6x+9}=\frac{3-x}{(3-x)^{2}}=\frac{1}{3-x}$，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意。
A. $\frac{xy}{4x^{2}}$
B. $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$
C. $\frac{2-x}{4-x^{2}}$
D. $\frac{3-x}{x^{2}-6x+9}$
解析：A. $\frac{xy}{4x^{2}}=\frac{y}{4x}$，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意；
B. $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$是最简分式，故此选项符合题意；
C. $\frac{2-x}{4-x^{2}}=\frac{2-x}{(2-x)(2+x)}=\frac{1}{x+2}$，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意；
D. $\frac{3-x}{x^{2}-6x+9}=\frac{3-x}{(3-x)^{2}}=\frac{1}{3-x}$，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意。
答案
B
解析
A. 对于 $\frac{xy}{4x^{2}}$，分子和分母都含有公因式 $x$，因此可以约分为 $\frac{y}{4x}$，所以不是最简分式。
B. 对于 $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$，分子和分母没有公因式，因此它是最简分式。
C. 对于 $\frac{2-x}{4-x^{2}}$，分母 $4-x^{2}$ 可以因式分解为 $(2-x)(2+x)$，与分子中的 $2-x$ 约分后得到 $\frac{1}{x+2}$，所以不是最简分式。
D. 对于 $\frac{3-x}{x^{2}-6x+9}$，分母 $x^{2}-6x+9$ 可以因式分解为 $(3-x)^{2}$，与分子中的 $3-x$ 约分后得到 $\frac{1}{3-x}$，所以不是最简分式。
B. 对于 $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$，分子和分母没有公因式，因此它是最简分式。
C. 对于 $\frac{2-x}{4-x^{2}}$，分母 $4-x^{2}$ 可以因式分解为 $(2-x)(2+x)$，与分子中的 $2-x$ 约分后得到 $\frac{1}{x+2}$，所以不是最简分式。
D. 对于 $\frac{3-x}{x^{2}-6x+9}$，分母 $x^{2}-6x+9$ 可以因式分解为 $(3-x)^{2}$，与分子中的 $3-x$ 约分后得到 $\frac{1}{3-x}$，所以不是最简分式。
2. 若$\frac{1-☆}{x-1}$表示的是一个最简分式，则☆可以是()
A.$2x$
B.$x$
C.$x^{2}$
D.$1$
A.$2x$
B.$x$
C.$x^{2}$
D.$1$
答案
A
解析
最简分式要求分子与分母没有公因式。分母为$x - 1$。
选项A：分子为$1 - 2x$，与$x - 1$无公因式，是最简分式。
选项B：分子为$1 - x = -(x - 1)$，与分母$x - 1$有公因式$x - 1$，不是最简分式。
选项C：分子为$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(x + 1)$，与分母有公因式$x - 1$，不是最简分式。
选项D：分子为$1 - 1 = 0$，此时分式为$0$，不是最简分式。
综上，☆可以是$2x$。
选项A：分子为$1 - 2x$，与$x - 1$无公因式，是最简分式。
选项B：分子为$1 - x = -(x - 1)$，与分母$x - 1$有公因式$x - 1$，不是最简分式。
选项C：分子为$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(x + 1)$，与分母有公因式$x - 1$，不是最简分式。
选项D：分子为$1 - 1 = 0$，此时分式为$0$，不是最简分式。
综上，☆可以是$2x$。
