1. 约分$\frac{-xy^{2}}{(2xy)^{2}}$的结果是()

A.$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4x}$
C.$-\frac{1}{4}x$
D.$-\frac{1}{2x}$

B

首先，对分母进行展开：$(2xy)^{2} = 4x^{2}y^{2}$，
所以，原式可以表示为：$\frac{-xy^{2}}{4x^{2}y^{2}}$，
接着，对分子和分母进行约分，由于分子和分母都含有公因子$x y^{2}$（注意，这里我们只考虑非零的情况，因为分母不能为0），所以可以进行约分：
$\frac{-xy^{2}}{4x^{2}y^{2}} = -\frac{1}{4x}$，

2. 下列各式中，不能约分的分式是()

A.$\frac{36c}{27a^{3}}$

B.$\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b^{2}}$
C.$\frac{x-1}{1-x^{2}}$
D.$\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$

B

A 中，分子分母有公因式 $9$，可以约分，$\frac{36c}{27a^3} = \frac{4c}{3a^3}$；
B 中，分子 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，分母 $a + b^2$ 无法分解，与分子没有公因式，不能约分；
C 中，分母 $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$，分子 $x - 1 = -(1 - x)$，有公因式 $1 - x$，可以约分，$\frac{x - 1}{1 - x^2} = -\frac{1}{1 + x}$；
D 中，分子 $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，分母 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，有公因式 $a + b$，可以约分，$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{a + b}{a - b}$。

3. 分式$\frac{y-z}{6x^{2}}$，$\frac{x+z}{9xy}$的最简公分母是()

A.$54x^{2}y$
B.$18xy$
C.$9xy$
D.$18x^{2}y$

D

对于分式$\frac{y-z}{6x^{2}}$和$\frac{x+z}{9xy}$，先分解分母的系数和字母部分：
$6x^{2}=2×3× x× x$，
$9xy=3×3× x× y$，
取各分母系数的最小公倍数：$LCM(6,9)=18$，
取所有不同字母的最高次幂：对于$x$取$x^{2}$，对于$y$取$y$，
因此，最简公分母为$18x^{2}y$。

4. 分式$\frac{1}{x-2}$，$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$，$\frac{2}{(x+3)^{2}}$通分过程中，不正确的是()

A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^{2}$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^{2}}{(x-2)(x+3)^{2}}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^{2}}$
D.$\frac{2}{(x+3)^{2}}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^{2}}$

D

1. 首先确定最简公分母：
对于分式$\frac{1}{x - 2}$，$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)}$，$\frac{2}{(x + 3)^{2}}$，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，所以最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^{2}$，A选项正确。
2. 然后对各分式进行通分：
对于$\frac{1}{x - 2}$，根据分式的基本性质，分子分母同乘$(x + 3)^{2}$，得到$\frac{(x + 3)^{2}}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$，B选项正确。
对于$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)}$，分子分母同乘$(x + 3)$，得到$\frac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$，C选项正确。
对于$\frac{2}{(x + 3)^{2}}$，分子分母同乘$(x - 2)$，应该得到$\frac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)^{2}}=\frac{2x-4}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$，而D选项中分子为$2x - 2$，所以D选项错误。

5. 请写出一个化简结果为$\frac{x+1}{x-1}$的分式。

$\frac{x^2 + x}{x^2 - x}$（答案不唯一）

要得到化简结果为$\frac{x + 1}{x - 1}$的分式，可将分子分母同乘一个不为零的整式，例如同乘$x$（$x≠0$且$x≠1$），则分式为$\frac{x(x + 1)}{x(x - 1)}=\frac{x^2 + x}{x^2 - x}$

6. 把$\frac{-1}{3a+6}$，$\frac{2}{a^{2}+2a+1}$，$\frac{a}{a^{2}+3a+2}$通分后，各分式的分子之和为。

$2a^2 + 7a + 11$

先对各分母因式分解：$3a+6=3(a+2)$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2+3a+2=(a+1)(a+2)$。最简公分母为$3(a+1)^2(a+2)$。
通分各分式：
$\frac{-1}{3(a+2)}=\frac{-1·(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{-(a^2+2a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{-a^2-2a-1}{3(a+1)^2(a+2)}$；
$\frac{2}{(a+1)^2}=\frac{2·3(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{6(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{6a+12}{3(a+1)^2(a+2)}$；
$\frac{a}{(a+1)(a+2)}=\frac{a·3(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{3a(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{3a^2+3a}{3(a+1)^2(a+2)}$。
分子之和：$(-a^2-2a-1)+(6a+12)+(3a^2+3a)=2a^2+7a+11$。

7. (1)约分：$\frac{2a(a-1)}{8ab^{2}(1-a)}$；
(2)通分：$\frac{2}{4-9m^{2}}$和$\frac{3}{9m^{2}-12m+4}$。

(1)
$\begin{aligned}\frac{2a(a - 1)}{8ab^{2}(1 - a)} &= \frac{2a(a - 1)}{-8ab^{2}(a - 1)} \\&= -\frac{1}{4b^{2}}\end{aligned}$
(2)
对$4 - 9m^{2}$因式分解得$4 - 9m^{2}=(2 + 3m)(2 - 3m)$；
对$9m^{2}-12m + 4$因式分解得$9m^{2}-12m + 4=(3m - 2)^{2}=(2 - 3m)^{2}$。
所以最简公分母为$(2 + 3m)(2 - 3m)^{2}$。
$\begin{aligned} \frac{2}{4 - 9m^{2}}&=\frac{2}{(2 + 3m)(2 - 3m)} \\&=\frac{2(2 - 3m)}{(2 + 3m)(2 - 3m)^{2}}\\ \frac{3}{9m^{2}-12m + 4}&=\frac{3}{(2 - 3m)^{2}}\\ &=\frac{3(2 + 3m)}{(2 + 3m)(2 - 3m)^{2}}\end{aligned}$

8. (运算能力)在学习“约分和通分”时，小明和小华都遇到了“化简$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}$”这道题。
小明的解法：$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y$。
小华的解法：$\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}=\frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)}{x^{2}-y^{2}}=x-y$。
如果你与小明、小华在一个学习小组，请你判断一下谁的解法正确。

小明的解法正确，小华的解法错误。
理由：分式约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
小明的解法：将分子$x^2 - y^2$分解因式为$(x - y)(x + y)$，然后分子分母同时除以公因式$x + y$（$x + y ≠ 0$），得到$x - y$，符合分式约分的规则。
小华的解法：在分子分母同时乘以$(x - y)$，但未考虑$x - y = 0$的情况，此时乘以$(x - y)$会使分式无意义，不符合分式基本性质中“乘同一个不等于零的整式”的条件，所以小华的解法错误。
结论：小明的解法正确。