例 1 计算：
(1)$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{8}$； (2)$\sqrt{\dfrac{2}{3}} × \sqrt{54}$；
(3)$3\sqrt{15} × \sqrt{\dfrac{2}{3}}$； (4)$\sqrt{12a^{2}b} · \sqrt{\dfrac{1}{3}a}$.

(1)
$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{8} = \sqrt{\dfrac{1}{2} × 8} = \sqrt{4} = 2$。
(2)
$\sqrt{\dfrac{2}{3}} × \sqrt{54} = \sqrt{\dfrac{2}{3} × 54} = \sqrt{36} = 6$。
(3)
$3\sqrt{15} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} = 3\sqrt{15 × \dfrac{2}{3}} = 3\sqrt{10}$。
(4)
因为$12a^{2}b ≥ 0,\frac{1}{3}a ≥ 0$，所以$a≥0$，
$\sqrt{12a^{2}b} × \sqrt{\dfrac{1}{3}a} = \sqrt{12a^{2}b × \dfrac{1}{3}a} = \sqrt{4a^{3}b} = \sqrt{4a^{2} × ab} = 2a\sqrt{ab}$。

变式训练 (1)$3\sqrt{2} · \sqrt{2} =$；
(2)$5\sqrt{18} × 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} =$.

(1)6；(2)$10\sqrt{6}$。

(1)根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），则$3\sqrt{2}·\sqrt{2}=3×\sqrt{2×2}=3×2 = 6$。
(2)先根据乘法交换律和结合律将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘，可得$5\sqrt{18}×2\sqrt{\frac{1}{3}}=(5×2)×\sqrt{18×\frac{1}{3}}$，化简$\sqrt{18×\frac{1}{3}}=\sqrt{6}$，所以$(5×2)×\sqrt{6}=10\sqrt{6}$。

例 2 化简：
(1)$\sqrt{64 × 25}$； (2)$\sqrt{53^{2} - 47^{2}}$；
(3)$\sqrt{4a^{2}c^{2}}(a ＞ 0, c ＜ 0)$.

(1) $\sqrt{64×25}=\sqrt{64}×\sqrt{25}=8×5=40$；
(2) $\sqrt{53^{2}-47^{2}}=\sqrt{(53-47)(53+47)}=\sqrt{6×100}=\sqrt{6}×\sqrt{100}=10\sqrt{6}$；
(3) $\sqrt{4a^{2}c^{2}}=\sqrt{4}×\sqrt{a^{2}}×\sqrt{c^{2}}=2× a×|c|$，因为$a＞0$，$c＜0$，所以$|c|=-c$，则原式$=2a(-c)=-2ac$。

变式训练 计算：
(1)$\sqrt{(-\dfrac{3}{2})^{2}} =$；
(2)$\sqrt{2^{3} × 3^{2} × 7} =$.

(1)$\dfrac{3}{2}$；(2)$6\sqrt{14}$。

(1)根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，先计算$(-\dfrac{3}{2})^{2}=\dfrac{9}{4}$，再求$\sqrt{\dfrac{9}{4}}$，因为$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\vert-\dfrac{3}{2}\vert=\dfrac{3}{2}$。
(2)先计算$2^{3}×3^{2}×7 = 8×9×7 = 504$，再对$\sqrt{504}$化简，$504=2^{3}×3^{2}×7=2^{2}×2×3^{2}×7$，根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{504}=\sqrt{2^{2}×2×3^{2}×7}=\vert2×3\vert\sqrt{2×7}=6\sqrt{14}$。

例 3 比较下列各组数的大小：
(1)$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$； (2)$5\sqrt{5}$，$11$；
(3)$\dfrac{\sqrt{7} - 1}{2}$，$1$； (4)$3 + \sqrt{2}$，$\sqrt{18}$.

(1) $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2×2}=\sqrt{18}$，因为$\sqrt{12}＜\sqrt{18}$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$。
(2) $5\sqrt{5}=\sqrt{5^2×5}=\sqrt{125}$，$11=\sqrt{121}$，因为$\sqrt{125}＞\sqrt{121}$，所以$5\sqrt{5}＞11$。
(3) $1=\frac{\sqrt{9}-1}{2}$，因为$\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，所以$\sqrt{7}-1＜\sqrt{9}-1$，故$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＜\frac{\sqrt{9}-1}{2}=1$，即$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＜1$。
(4) $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$3+\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}$，因为$2\sqrt{2}\approx2.828$，$3-2.828＞0$，所以$3+\sqrt{2}＞3\sqrt{2}$，即$3+\sqrt{2}＞\sqrt{18}$。

1. 等式 $\sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$ 成立条件是()

A.$x ≥ 1$
B.$x ≥ -1$
C.$-1 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≥ 1$ 或 $x ≤ -1$

A

根据二次根式有意义条件被开方数非负，
对于$\sqrt{x + 1}$，有$x + 1≥0$，即$x≥ - 1$；
对于$\sqrt{x - 1}$，有$x - 1≥0$，即$x≥ 1$；
对于$\sqrt{x^{2}-1}$，有$x^{2}-1≥0$，即$x≥ 1$或$x≤ - 1$。
要使$\sqrt{x + 1}·\sqrt{x - 1}=\sqrt{x^{2}-1}$成立，则$x$需同时满足上述条件，取交集得$x≥ 1$。

2. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$9\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{1}{27}} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{6} × \sqrt{2} = 12$
D.$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{3}{2}} = 6$

D

A. $\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，错误；
B. $9\sqrt{3}×\sqrt{\dfrac{1}{27}}=9\sqrt{3×\dfrac{1}{27}}=9\sqrt{\dfrac{1}{9}}=9×\dfrac{1}{3}=3≠\sqrt{3}$，错误；
C. $\sqrt{6}×\sqrt{2}=\sqrt{6×2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，错误；
D. $\sqrt{24}×\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{24×\dfrac{3}{2}}=\sqrt{36}=6$，正确。

3. 如果 $\sqrt{24} · \sqrt{x}$ 是一个整数，那么 $x$ 可取的最小正整数的值为()

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$12$

C

$\sqrt{24}·\sqrt{x}=\sqrt{24x}=\sqrt{4×6x}=2\sqrt{6x}$，要使其为整数，则$\sqrt{6x}$为整数，$6x$需为完全平方数。$6=2×3$，最小正整数$x=6$时，$6x=36$，$\sqrt{36}=6$，此时$2×6=12$为整数。