4. 已知矩形的面积是 $S$，相邻两边长分别为 $a$，$b$，若 $a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{5}$，则 $S =$.

$\sqrt{15}$

因为矩形面积$S = a × b$，$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{5}$，所以$S = \sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5} = \sqrt{15}$

5. 计算：
(1)$\sqrt{2} × \sqrt{10}$；
(2)$2\sqrt{2} × (-3\sqrt{6}) × \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

(1)
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，
$\sqrt{2}×\sqrt{10=\sqrt{2×10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(2)
根据二次根式乘法法则及乘法交换律和结合律：
$2\sqrt{2}×(-3\sqrt{6})×\frac{\sqrt{3}}{2}=[2×(-3)×\frac{1}{2}]×(\sqrt{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3})=-3×\sqrt{2×6×3}=-3×\sqrt{36}=-18$。

6. 化简：
(1)$\sqrt{121 × 36}$； (2)$\sqrt{26^{2} - 24^{2}}$；
(3)$\sqrt{144a}$； (4)$\sqrt{x} · \sqrt{x^{3}}$.

(1)
解：
$\sqrt{121 × 36} = \sqrt{121} × \sqrt{36} = 11 × 6 = 66$
(2)
解：
$\sqrt{26^{2} - 24^{2}} = \sqrt{(26 + 24)(26 - 24)} = \sqrt{50 × 2} = \sqrt{100} = 10$
(3)
解：
$\sqrt{144a} = \sqrt{144} × \sqrt{a} = 12\sqrt{a}$
(4)
解：
$\sqrt{x} · \sqrt{x^{3}} = \sqrt{x · x^{3}} = \sqrt{x^{4}} = x^{2}$

7. 比较大小：
(1)$2\sqrt{5}$与 $3\sqrt{2}$； (2)$-7$ 与 $-4\sqrt{3}$.

(1)
$\begin{aligned}(2\sqrt{5})^{2}&=2^{2}×5 = 20,\\(3\sqrt{2})^{2}&=3^{2}×2 = 18.\end{aligned}$
因为$20＞18$，且$2\sqrt{5}＞0$，$3\sqrt{2}＞0$，所以$2\sqrt{5}＞3\sqrt{2}$。
(2)
$\begin{aligned}(4\sqrt{3})^{2}&=4^{2}×3 = 48,\\7^{2}&=49.\end{aligned}$
因为$48 ＜ 49$，且$4\sqrt{3}＞0$，$7＞0$，所以$4\sqrt{3}＜7$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-7 ＜ -4\sqrt{3}$。
综上，答案依次为：(1)$2\sqrt{5}＞3\sqrt{2}$；(2)$-7 ＜ -4\sqrt{3}$。

8. (1)判断下列各式是否成立，认为成立的请在划线处打“√”，不成立的请在划线处打“×”.
①$\sqrt{2 + \dfrac{2}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，
②$\sqrt{3 + \dfrac{3}{8}} = 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，
③$\sqrt{4 + \dfrac{4}{15}} = 4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，
④$\sqrt{5 + \dfrac{5}{24}} = 5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$；
(2)判断完以上各题之后，从正确的各式中你发现了什么规律？请用含有 $n$ ($n ≥ 2$，$n$ 为自然数)的式子将规律表示出来.(请写出推理过程)

(1)
① $\sqrt{2 + \dfrac{2}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，√
② $\sqrt{3 + \dfrac{3}{8}} = 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，√
③ $\sqrt{4 + \dfrac{4}{15}} = 4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，√
④ $\sqrt{5 + \dfrac{5}{24}} = 5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，√
(2)
规律：$\sqrt{n + \dfrac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}}$，其中 $n ≥ 2$ 且 $n$ 为自然数。
推理过程：
左边 = $\sqrt{n + \dfrac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n^3}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n^2 · n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}}$ = 右边。
因此规律成立。

二次根式除法法则：
$ \frac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } } =$( a ≥ 0 , b ＞ 0 ).
思考 最简二次根式需要满足哪些条件？

$\sqrt{\frac{a}{b}}$；最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

二次根式除法法则为两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。最简二次根式需满足：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

填空 下列二次根式中是最简二次根式的是.(填写序号)
① $ \sqrt { a + 3 } $，② $ \sqrt { 0.5 } $，③ $ \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } $，④ $ \sqrt { \frac { 7 } { 2 } } $，⑤ $ \sqrt { 8 } $

①③

最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
①$\sqrt{a + 3}$，被开方数$a + 3$不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
②$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
③$\frac{\sqrt{7}}{2}$，被开方数$7$不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
④$\sqrt{\frac{7}{2}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
⑤$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数$8$含能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式。
所以最简二次根式是①③。

例1 计算：
（1） $ \sqrt { 24 } ÷ \sqrt { 2 } $； （2） $ \sqrt { 12 } ÷ \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } $；
（3） $ \frac { 6 \sqrt { 90 } } { 2 \sqrt { 2 } } $； （4） $ \sqrt { 3 - 2 \sqrt { 2 } } $.

（1）$\sqrt{24}÷\sqrt{2}=\sqrt{24÷2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
（2）$\sqrt{12}÷\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{12÷\frac{3}{2}}=\sqrt{12×\frac{2}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
（3）$\frac{6\sqrt{90}}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{2}×\sqrt{\frac{90}{2}}=3\sqrt{45}=3×3\sqrt{5}=9\sqrt{5}$
（4）$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1$