13. 在锐角三角形 ABC 中,$AC=100,tanA=1,tanC=2$.求 BC 的长和$\triangle ABC$的面积.

解：如图，作​BD⊥AC，​垂足为​D​
∵​tan C=2，​设​DC=k，​​DB=2k，​​tan A=1​
∴​AD=BD=2k，​但​2k+k=100​
∴$​k=\frac {100}{3} ，$$​​BD=\frac {200}{3}，$$​​BC=\sqrt{(\frac {100}{3})^2+(\frac {200}{3})^2}=\frac {100}{3}\sqrt 5​$
∴$​S_{△ABC}=\frac {1}{2} ×100× \frac {200}{3}=\frac {10000}{3}​$

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A=60^{\circ },∠B=45^{\circ },AB=8cm$.求$\triangle ABC$的面积(精确到$0.01cm^{2}$).

(第14题)

解：过点​C​作​CD⊥AB，​垂足为点​D​

设$​CD=x\ \mathrm {cm}​$
在​Rt△ACD​中，∵$​CD=x\ \mathrm {cm}，$​​∠A=60°​
∴$​AD=\frac {CD}{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3x\ \mathrm {cm}​$
在​Rt△BCD​中，∵​∠B=45°​
∴$​BD=CD=x\ \mathrm {cm}​$
∵$​AB=8\ \mathrm {cm}​$
∴$​\frac {\sqrt 3}3x+x=8​$
解得$​x=12-4\sqrt 3​$
∴$​CD=(12-4\sqrt 3)\ \mathrm {cm}​$
∴$​S_{△ABC}=\frac 12×AB×CD=48-16\sqrt 3≈20.29\ \mathrm {cm^2}​$

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=5,sinA=\frac {24}{25}$.求$\triangle ABC$的面积和$cosB$的值.

(第15题)

解：过点​C​作​CD⊥AB，​垂足为点​D​

在​Rt△ACD​中，∵​AB=AC=5，$​​sinA=\frac {CD}{AC}=\frac {24}{25}​$
∴$​CD=\frac {24}{5}​$
∴$​S_{△ABC}=\frac 12×AB×CD=12​$
∵​AC=5，$​​CD=\frac {24}{5}​$
∴$​AD=\sqrt {AC^2-CD^2}=\frac 75​$
∵​AB=5​
∴$​BD=\frac {18}{5}​$
∴$​BC=\sqrt {CD^2+BD^2}=6​$
∴$​cosB=\frac {BD}{BC}=\frac 35​$