10. 在解二元一次方程组 $\begin{cases}6x + my = 3①, \\ 2x - ny = -6②\end{cases}$ 时，若由① - ②可直接消去未知数 $y$，则 $m$ 和 $n$ 满足的条件是 ( )

A.$m = n$
B.$mn = 1$
C.$m + n = 0$
D.$m + n = 1$

10. C

【分析】
要解决这个问题，我们需要明确加减消元法中消去未知数的核心条件：当两个方程相减后，目标未知数的系数为0时，即可直接消去该未知数。首先观察方程组中y的系数，方程①中y的系数是m，方程②中y的系数是-n；接下来计算①-②后y项的系数，令这个系数为0，就能推导出m和n满足的条件。
【解析】
对方程组进行①-②的运算：
$\begin{aligned}(6x + my) - (2x - ny) &= 3 - (-6)\\6x + my - 2x + ny &= 3 + 6\\4x + (m + n)y &= 9\end{aligned}$
因为①-②可直接消去未知数y，所以y的系数必须为0，即：
$m + n = 0$
因此m和n满足的条件是$m + n = 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的应用，核心是理解“消去未知数”的本质是该未知数的系数为0。题目侧重对消元法概念的理解，属于基础题型，有助于巩固学生对二元一次方程组解法的掌握。
【难度系数】
0.8

11. 对 $x,y$ 定义一种新运算“※”，规定：$x※y = mx + ny$(其中 $m,n$ 均为非零常数)，若 $1※1 = 4$，$1※2 = 3$，则 $2※1$ 的值是 。

11. 9 【解析】因为 $ 1 ※ 1 = 4 $，$ 1 ※ 2 = 3 $，
所以 $ \{ \begin{array} { l } { m + n = 4, } \\ { m + 2 n = 3, } \end{array} $
解得 $ \{ \begin{array} { l } { m = 5, } \\ { n = - 1, } \end{array} $
则 $ x ※ y = 5 x - y $，
所以 $ 2 ※ 1 = 5 × 2 - 1 = 9 $。

【分析】
首先，题目定义了新运算“※”为$x※y = mx + ny$，其中$m$、$n$是未知的非零常数。已知$1※1 = 4$和$1※2 = 3$，我们需要通过这两个已知运算结果，建立关于$m$和$n$的二元一次方程组——两个未知数需要两个方程才能求解。解出$m$和$n$的值后，就能确定新运算的具体表达式，最后代入$2※1$按照表达式计算结果即可。
【解析】
根据新运算的定义，由$1※1 = 4$，$1※2 = 3$可得：
$\begin{cases}m + n = 4 \\m + 2n = 3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$(m + 2n) - (m + n) = 3 - 4$，解得$n = -1$。
将$n = -1$代入$m + n = 4$，得$m - 1 = 4$，解得$m = 5$。
因此新运算表达式为$x※y = 5x - y$。
则$2※1 = 5×2 - 1 = 10 - 1 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组求解
【点评】
本题主要考查对新定义运算的理解运用，以及二元一次方程组的求解能力。解题关键是将新运算转化为常规代数等式，通过已知条件建立方程组求出未知参数，进而计算目标式子，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8

12. 如果关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = a, \\ x - y = 3a\end{cases}$ 的解是二元一次方程 $3x + 5y - 6 = 0$ 的一个解，求 $a$ 的值。

12. 解：解方程组 $ \{ \begin{array} { l } { x + y = a, } \\ { x - y = 3 a, } \end{array} $ 得 $ \{ \begin{array} { l } { x = 2 a, } \\ { y = - a, } \end{array} $ 代入二元一次方程 $ 3 x + 5 y - 6 = 0 $，得 $ 6 a - 5 a - 6 = 0 $，解得 $ a = 6 $。

【分析】
要解决这道题，我们的思路是：首先，题目说明二元一次方程组的解是另一个二元一次方程的解，所以需要先求出方程组的解（用含a的代数式表示x和y）；然后将这个解代入到方程$3x + 5y - 6 = 0$中，得到关于a的一元一次方程；最后解这个一元一次方程即可求出a的值。具体操作时，可利用加减消元法解方程组，得到x、y的表达式后再代入方程求解。
【解析】
解：对于方程组$\begin{cases}x + y = a&①\\ x - y = 3a&②\end{cases}$
①+②得：$(x+y)+(x-y)=a+3a$
化简得：$2x=4a$，解得$x=2a$
将$x=2a$代入①式：$2a+y=a$，解得$y=-a$
把$\begin{cases}x=2a\\y=-a\end{cases}$代入方程$3x + 5y - 6 = 0$，得：
$3×2a + 5×(-a) - 6 = 0$
计算得：$6a - 5a - 6 = 0$
解得：$a=6$
【答案】
$a=6$
【知识点】
二元一次方程组的解法、方程解的应用
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的解法以及二元一次方程解的定义，解题关键是熟练运用加减消元法求出方程组的解，并根据方程解的定义代入方程构建关于参数a的一元一次方程求解，属于基础题型，需掌握消元法解方程组的步骤和方程解的概念。
【难度系数】
0.8

13. 在解关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + by = 2, \\ cx - 7y = 8\end{cases}$ 时，一名同学把 $c$ 看错得到的解为 $\begin{cases}x = -2, \\ y = 2,\end{cases}$ 而正确的解应是 $\begin{cases}x = 3, \\ y = -2,\end{cases}$ 求 $a,b,c$ 的值。

13. 解：把 $ \{ \begin{array} { l } { x = - 2, } \\ { y = 2, } \end{array} \{ \begin{array} { l } { x = 3, } \\ { y = - 2 } \end{array} $ 分别代入方程 $ a x + b y = 2 $，
得 $ \{ \begin{array} { l } { - 2 a + 2 b = 2, } \\ { 3 a - 2 b = 2, } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { a = 4, } \\ { b = 5 。} \end{array} $
把 $ \{ \begin{array} { l } { x = 3, } \\ { y = - 2 } \end{array} $ 代入方程 $ c x - 7 y = 8 $，得 $ 3 c + 14 = 8 $，
解得 $ c = - 2 $。所以 $ a = 4 $，$ b = 5 $，$ c = - 2 $。

【分析】
首先要明确：同学看错了系数$c$，但未看错第一个方程$ax + by = 2$，因此他得到的错误解$\begin{cases}x = -2, \\ y = 2\end{cases}$和正确解$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$都满足第一个方程，由此可列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出$a$、$b$的值；而正确解满足第二个方程$cx - 7y = 8$，将正确解代入该方程即可求出$c$的值。
【解析】
1. 求解$a$、$b$的值：
将$\begin{cases}x = -2, \\ y = 2\end{cases}$和$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$分别代入方程$ax + by = 2$，得到：
$\begin{cases}-2a + 2b = 2 \\ 3a - 2b = 2\end{cases}$
将两个方程相加消去$b$：
$(-2a + 2b) + (3a - 2b) = 2 + 2$
解得$a = 4$。
把$a = 4$代入$-2a + 2b = 2$，得：
$-2×4 + 2b = 2$
$-8 + 2b = 2$
解得$b = 5$。
2. 求解$c$的值：
将$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$代入方程$cx - 7y = 8$，得到：
$3c - 7×(-2) = 8$
$3c + 14 = 8$
解得$c = -2$。
综上，$a = 4$，$b = 5$，$c = -2$。
【答案】
$a=4$，$b=5$，$c=-2$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【点评】
本题核心考查二元一次方程组解的定义，关键在于区分“看错系数不影响不含该系数的方程的解”，通过利用方程解的定义建立新方程组求解，培养学生分析问题、灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.6