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1. 下列方程中，属于二元一次方程的是()
A.$xy = 1$
B.$\frac{2}{x}+y = 3$
C.$x^{2}-3y = 5$
D.$2x - 3y = 1$
A.$xy = 1$
B.$\frac{2}{x}+y = 3$
C.$x^{2}-3y = 5$
D.$2x - 3y = 1$
答案
D
解析
二元一次方程指含有两个未知数且未知数的次数为一的整式方程。
A选项含未知数的乘积项$xy$，次数为二次；
B选项含$\frac{1}{x}$，非整式；
C选项含$x^2$，次数为二次；
D选项$2x - 3y = 1$满足两个未知数且次数为一，为整式方程。
A选项含未知数的乘积项$xy$，次数为二次；
B选项含$\frac{1}{x}$，非整式；
C选项含$x^2$，次数为二次；
D选项$2x - 3y = 1$满足两个未知数且次数为一，为整式方程。
2. 已知 $2a^{y - 4}b^{3x}$ 与 $b^{5 - 4y}a^{2x}$ 是同类项，那么 $x$，$y$ 的值是()
A.$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = - 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = \frac{3}{5}\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = - 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = \frac{3}{5}\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$
答案
A
解析
本题可根据同类项的定义列出关于$x$、$y$的方程组，再求解方程组得到$x$、$y$的值。
步骤一：根据同类项的定义列出方程组
同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的几个单项式。
已知$2a^{y - 4}b^{3x}$与$b^{5 - 4y}a^{2x}$是同类项，那么$a$的指数相等，$b$的指数也相等，可得到方程组$\begin{cases}y - 4 = 2x\\3x = 5 - 4y\end{cases}$。
步骤二：解方程组
由方程$y - 4 = 2x$可得$y = 2x + 4$，将其代入方程$3x = 5 - 4y$中，得到：
$3x = 5 - 4×(2x + 4)$
去括号：$3x = 5 - 8x - 16$
移项：$3x + 8x = 5 - 16$
合并同类项：$11x = -11$
系数化为$1$：$x = -1$
将$x = -1$代入$y = 2x + 4$，可得$y = 2×(-1) + 4 = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = - 1\\y = 2\end{cases}$。
步骤一：根据同类项的定义列出方程组
同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的几个单项式。
已知$2a^{y - 4}b^{3x}$与$b^{5 - 4y}a^{2x}$是同类项，那么$a$的指数相等，$b$的指数也相等，可得到方程组$\begin{cases}y - 4 = 2x\\3x = 5 - 4y\end{cases}$。
步骤二：解方程组
由方程$y - 4 = 2x$可得$y = 2x + 4$，将其代入方程$3x = 5 - 4y$中，得到：
$3x = 5 - 4×(2x + 4)$
去括号：$3x = 5 - 8x - 16$
移项：$3x + 8x = 5 - 16$
合并同类项：$11x = -11$
系数化为$1$：$x = -1$
将$x = -1$代入$y = 2x + 4$，可得$y = 2×(-1) + 4 = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = - 1\\y = 2\end{cases}$。
3. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，若这个两位数加上 27，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是()
A.63
B.72
C.36
D.27
A.63
B.72
C.36
D.27
答案
C
解析
设原来的两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$9 - x$，所以原来的两位数可以表示为$10x + (9 - x) = 9x + 9$。
对调后的两位数的十位数字为$9 - x$，个位数字为$x$，则对调后的两位数可以表示为$10(9 - x) + x = 90 - 9x$。
根据题意，原来的两位数加上27等于对调后的两位数，即：
$9x + 9 + 27 = 90 - 9x$，
移项并合并同类项，得到：
$18x = 54$，
解得：
$x = 3$。
所以原来的两位数的个位数字为$9 - x = 6$，原来的两位数为36。
对调后的两位数的十位数字为$9 - x$，个位数字为$x$，则对调后的两位数可以表示为$10(9 - x) + x = 90 - 9x$。
根据题意，原来的两位数加上27等于对调后的两位数，即：
$9x + 9 + 27 = 90 - 9x$，
移项并合并同类项，得到：
$18x = 54$，
解得：
$x = 3$。
所以原来的两位数的个位数字为$9 - x = 6$，原来的两位数为36。
4. 已知 $x$ 和 $y$ 的方程组 $\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = - 3,\\y = - 4,\end{cases}$ 则 $x$ 和 $y$ 的方程组 $\begin{cases}3a_{1}x + 4b_{1}y = 5c_{1},\\3a_{2}x + 4b_{2}y = 5c_{2}\end{cases}$ 的解是( )
A.$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = - 4,\\y = - 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = - 5,\\y = - 5\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = - 4,\\y = - 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = - 5,\\y = - 5\end{cases}$
答案
D
解析
已知原方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-3\\y=-4\end{cases}$，则有$\begin{cases}-3a_{1}-4b_{1}=c_{1}\\-3a_{2}-4b_{2}=c_{2}\end{cases}$。将所求方程组$\begin{cases}3a_{1}x + 4b_{1}y = 5c_{1}\\3a_{2}x + 4b_{2}y = 5c_{2}\end{cases}$两边同除以5，得$\begin{cases}a_{1}·\frac{3x}{5} + b_{1}·\frac{4y}{5}=c_{1}\\a_{2}·\frac{3x}{5} + b_{2}·\frac{4y}{5}=c_{2}\end{cases}$。令$m=\frac{3x}{5}$，$n=\frac{4y}{5}$，则新方程组为$\begin{cases}a_{1}m + b_{1}n = c_{1}\\a_{2}m + b_{2}n = c_{2}\end{cases}$，其解为$m=-3$，$n=-4$。即$\frac{3x}{5}=-3$，$\frac{4y}{5}=-4$，解得$x=-5$，$y=-5$。
5. 已知 $17 - 3y + 2x = 0$，则 $y$ 用含 $x$ 的代数式表示为.
答案
因为$17 - 3y + 2x = 0$，
移项可得：$-3y=-17 - 2x$，
两边同时除以$-3$，解得$y=\frac{2x + 17}{3}$。
故答案为：$y=\frac{2x + 17}{3}$。
移项可得：$-3y=-17 - 2x$，
两边同时除以$-3$，解得$y=\frac{2x + 17}{3}$。
故答案为：$y=\frac{2x + 17}{3}$。
6. 已知 $\begin{cases}x = 3,\\y = - 5\end{cases}$ 是方程 $mx + 5y = - 3$ 的一个解，则 $m =$ ______ .
答案
将$\begin{cases}x = 3,\\y = - 5.\end{cases}$代入方程$mx + 5y = - 3$，
得$3m + 5×(-5) = -3$，
$3m - 25 = -3$，
$3m = 22$，
$m = \frac{22}{3}$。
故答案为$\frac{22}{3}$（或 $7\frac{1}{3}$）。
得$3m + 5×(-5) = -3$，
$3m - 25 = -3$，
$3m = 22$，
$m = \frac{22}{3}$。
故答案为$\frac{22}{3}$（或 $7\frac{1}{3}$）。
7. 如果两数 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases}2x + 3y = - 19,\\3x + 2y = - 11,\end{cases}$ 那么 $x^{2}-y^{2}=$ ______ .
答案
$\begin{cases}2x + 3y = - 19,\\3x + 2y = - 11,\end{cases}$
（1）+（2）得：$5x + 5y = -30$，即$x + y = -6$；
（2）-（1）得：$x - y = 8$；
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (-6)×8 = -48$。
-48
（1）+（2）得：$5x + 5y = -30$，即$x + y = -6$；
（2）-（1）得：$x - y = 8$；
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (-6)×8 = -48$。
-48
8. 若等腰三角形的两边长分别为 $a$，$b$，且 $a$，$b$ 满足 $|2a - 3b + 6|+(2a + 3b - 18)^{2}=0$，则此三角形的周长为.
答案
由题意得$|2a - 3b + 6| + (2a + 3b - 18)^{2} = 0$。
因为绝对值和平方都为非负数，所以可得：
$\begin{cases}2a - 3b + 6 = 0\\2a + 3b - 18 = 0\end{cases}$
两式相加得$4a - 12 = 0$，解得$a = 3$。
将$a = 3$代入$2a - 3b + 6 = 0$，得$6 - 3b + 6 = 0$，解得$b = 4$。
当$a$为等腰三角形的腰长时，三边长为$3$，$3$，$4$，因为$3 + 3＞4$，$3 + 4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 3 + 4 = 10$。
当$b$为等腰三角形的腰长时，三边长为$3$，$4$，$4$，因为$3 + 4＞4$，$4 + 4＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 4 + 4 = 11$。
综上，此三角形的周长为$10$或$11$。
答案为$10$或$11$。
因为绝对值和平方都为非负数，所以可得：
$\begin{cases}2a - 3b + 6 = 0\\2a + 3b - 18 = 0\end{cases}$
两式相加得$4a - 12 = 0$，解得$a = 3$。
将$a = 3$代入$2a - 3b + 6 = 0$，得$6 - 3b + 6 = 0$，解得$b = 4$。
当$a$为等腰三角形的腰长时，三边长为$3$，$3$，$4$，因为$3 + 3＞4$，$3 + 4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 3 + 4 = 10$。
当$b$为等腰三角形的腰长时，三边长为$3$，$4$，$4$，因为$3 + 4＞4$，$4 + 4＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 4 + 4 = 11$。
综上，此三角形的周长为$10$或$11$。
答案为$10$或$11$。
9. 定义运算“$\otimes$”，规定 $x\otimes y = ax^{2}+by$，其中 $a$，$b$ 为常数，且 $1\otimes2 = 3$，$2\otimes1 = - 2$，则 $2\otimes3=$.
答案
由题意得：
$\begin{cases}a · 1^2 + b · 2 = 3 \\a · 2^2 + b · 1 = -2\end{cases}$
即：
$\begin{cases}a + 2b = 3 & (1) \\4a + b = -2 & (2)\end{cases}$
由(2)得：$b = -2 - 4a$，代入(1)：
$a + 2(-2 - 4a) = 3$
$a - 4 - 8a = 3$
$-7a = 7$
$a = -1$
将$a = -1$代入$b = -2 - 4a$：$b = -2 - 4(-1) = 2$
则$x \otimes y = -x^2 + 2y$
$2 \otimes 3 = -2^2 + 2 × 3 = -4 + 6 = 2$
2
$\begin{cases}a · 1^2 + b · 2 = 3 \\a · 2^2 + b · 1 = -2\end{cases}$
即：
$\begin{cases}a + 2b = 3 & (1) \\4a + b = -2 & (2)\end{cases}$
由(2)得：$b = -2 - 4a$，代入(1)：
$a + 2(-2 - 4a) = 3$
$a - 4 - 8a = 3$
$-7a = 7$
$a = -1$
将$a = -1$代入$b = -2 - 4a$：$b = -2 - 4(-1) = 2$
则$x \otimes y = -x^2 + 2y$
$2 \otimes 3 = -2^2 + 2 × 3 = -4 + 6 = 2$
2
10. 用火车运送一批货物，若每节车厢装 $18\ \mathrm{t}$，则还剩 $20\ \mathrm{t}$ 装不下；若每节车厢多装 $4\ \mathrm{t}$，则还可以多装 $28\ \mathrm{t}$.这批货物共有$\mathrm{t}$.
答案
设车厢有$x$节。
根据题意，第一种装法货物总量为$18x + 20$；第二种装法每节装$18 + 4 = 22$吨，货物总量为$22x - 28$。
因为货物总量不变，所以可列方程：$18x + 20 = 22x - 28$。
解方程：$20 + 28 = 22x - 18x$，$48 = 4x$，得$x = 12$。
货物总量为$18×12 + 20 = 216 + 20 = 236$（吨）。
236
根据题意，第一种装法货物总量为$18x + 20$；第二种装法每节装$18 + 4 = 22$吨，货物总量为$22x - 28$。
因为货物总量不变，所以可列方程：$18x + 20 = 22x - 28$。
解方程：$20 + 28 = 22x - 18x$，$48 = 4x$，得$x = 12$。
货物总量为$18×12 + 20 = 216 + 20 = 236$（吨）。
236
