登录
12. 为了治理水土流失，某县决定修建一座水库，现需要把一批挖出的土运出去，预计每辆货车可装 $ m $ t 土，需 $ n $ 辆车，实际运输时每辆货车比预计少装 0.4 t 土，则分式 $ \frac{mn}{m - 0.4} $ 所表示的实际意义为
实际运输时需要的货车数量
。答案
12. 实际运输时需要的货车数量
13. 当 $ y = \frac{x^{2}}{2 - 3x} $ 分别满足下列条件时，求 $ x $ 的取值或取值范围：
(1)$ y $ 的值是正数；
(2)$ y $ 的值是负数；
(3)$ y $ 的值等于零；
(4)分式无意义。
(1)$ y $ 的值是正数；
(2)$ y $ 的值是负数；
(3)$ y $ 的值等于零；
(4)分式无意义。
答案
13. 解:(1)y的值是正数，即 $ \frac { x ^ { 2 } } { 2 - 3 x } ＞ 0 $。
又 $ \because x ^ { 2 } ≥ 0 $，
$ \therefore 2 - 3 x ＞ 0 $，$ x ^ { 2 } ≠ 0 $，解得 $ x ＜ \frac { 2 } { 3 } $ 且 $ x ≠ 0 $。
$ \therefore $ 当 $ x ＜ \frac { 2 } { 3 } $ 且 $ x ≠ 0 $ 时，y的值是正数。
(2)y的值是负数，即 $ \frac { x ^ { 2 } } { 2 - 3 x } ＜ 0 $。
又 $ \because x ^ { 2 } ≥ 0 $，$ \therefore 2 - 3 x ＜ 0 $，$ x ^ { 2 } ≠ 0 $，$ \therefore x ＞ \frac { 2 } { 3 } $。
$ \therefore $ 当 $ x ＞ \frac { 2 } { 3 } $ 时，y的值是负数。
(3)y的值等于零，即 $ \frac { x ^ { 2 } } { 2 - 3 x } = 0 $，则有
$ \{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } = 0, } \\ { 2 - 3 x ≠ 0, } \end{array} $ 即 $ \{ \begin{array} { l } { x = 0, } \\ { x ≠ \frac { 2 } { 3 } } \end{array} $。
$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，y的值等于零。
(4)根据题意，得 $ 2 - 3 x = 0 $，即 $ x = \frac { 2 } { 3 } $。
$ \therefore $ 当 $ x = \frac { 2 } { 3 } $ 时，分式无意义。
又 $ \because x ^ { 2 } ≥ 0 $，
$ \therefore 2 - 3 x ＞ 0 $，$ x ^ { 2 } ≠ 0 $，解得 $ x ＜ \frac { 2 } { 3 } $ 且 $ x ≠ 0 $。
$ \therefore $ 当 $ x ＜ \frac { 2 } { 3 } $ 且 $ x ≠ 0 $ 时，y的值是正数。
(2)y的值是负数，即 $ \frac { x ^ { 2 } } { 2 - 3 x } ＜ 0 $。
又 $ \because x ^ { 2 } ≥ 0 $，$ \therefore 2 - 3 x ＜ 0 $，$ x ^ { 2 } ≠ 0 $，$ \therefore x ＞ \frac { 2 } { 3 } $。
$ \therefore $ 当 $ x ＞ \frac { 2 } { 3 } $ 时，y的值是负数。
(3)y的值等于零，即 $ \frac { x ^ { 2 } } { 2 - 3 x } = 0 $，则有
$ \{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } = 0, } \\ { 2 - 3 x ≠ 0, } \end{array} $ 即 $ \{ \begin{array} { l } { x = 0, } \\ { x ≠ \frac { 2 } { 3 } } \end{array} $。
$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，y的值等于零。
(4)根据题意，得 $ 2 - 3 x = 0 $，即 $ x = \frac { 2 } { 3 } $。
$ \therefore $ 当 $ x = \frac { 2 } { 3 } $ 时，分式无意义。
14. 【数学游戏】数学课上，程老师计划做卡牌游戏，如图，现有六张写着不同整式的卡牌，请根据指令完成游戏。
(1)游戏一：从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位置，且分式的值恒大于零，则这个分式是
(2)游戏二：同桌两人合作，一人提出条件，另一人摆出符合其条件的分式。
小宇提出的条件是当 $ x = 2 $ 时，分式的值为 0，同桌小丽摆出的分式是 $ \frac{x - 2}{x^{2} - 4} $。小丽摆出的分式符合条件吗？如果不符合，明理由，并帮助小丽摆出一个符合条件的分式。
(1)游戏一：从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位置，且分式的值恒大于零，则这个分式是
$ \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } $
。(2)游戏二：同桌两人合作，一人提出条件，另一人摆出符合其条件的分式。
小宇提出的条件是当 $ x = 2 $ 时，分式的值为 0，同桌小丽摆出的分式是 $ \frac{x - 2}{x^{2} - 4} $。小丽摆出的分式符合条件吗？如果不符合，明理由，并帮助小丽摆出一个符合条件的分式。
答案
14. (1) $ \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } $
(2)解:小丽摆出的分式不符合条件。理由如下:当 $ x = 2 $ 时，分式 $ \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 4 } $ 无意义。
一个符合条件的分式为 $ \frac { x - 2 } { x + 1 } $。(答案不唯一)
(2)解:小丽摆出的分式不符合条件。理由如下:当 $ x = 2 $ 时，分式 $ \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 4 } $ 无意义。
一个符合条件的分式为 $ \frac { x - 2 } { x + 1 } $。(答案不唯一)
15. 【数学应用】光明中学有两块边长为 $ x $ m 的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮。方式一：如图①，在正方形空地上留两条宽为 $ 2m $ m 的路，其余部分种植草皮；方式二：如图②，在正方形空地四周各留一块边长为 $ m $ m 的正方形空地植树，其余部分种植草皮。学校准备两种方式都用 5000 元购买草皮。
(1)写出按图①、图②两种方式购买草皮的单价；
(2)当 $ x = 14 $，$ m = 2 $ 时，求按两种方式购买草皮的单价各是多少。(结果均保留整数)
(1)写出按图①、图②两种方式购买草皮的单价；
(2)当 $ x = 14 $，$ m = 2 $ 时，求按两种方式购买草皮的单价各是多少。(结果均保留整数)
答案
15. 解:(1)题图①种植草皮的面积为 $ ( x - 2 m ) ^ { 2 } m ^ { 2 } $，
题图②种植草皮的面积为 $ ( x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) m ^ { 2 } $，
按题图①方式购买草皮的单价为 $ \frac { 5000 } { ( x - 2 m ) ^ { 2 } } $ 元，
按题图②方式购买草皮的单价为 $ \frac { 5000 } { x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } $ 元。
(2)当 $ x = 14 $，$ m = 2 $ 时，
按方式一购买草皮的单价是 $ \frac { 5000 } { ( x - 2 m ) ^ { 2 } } = \frac { 5000 } { ( 14 - 2 × 2 ) ^ { 2 } } = 50 $ (元)，
按方式二购买草皮的单价是 $ \frac { 5000 } { x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } = \frac { 5000 } { 14 ^ { 2 } - 4 × 2 ^ { 2 } } \approx 28 $ (元)。
题图②种植草皮的面积为 $ ( x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) m ^ { 2 } $，
按题图①方式购买草皮的单价为 $ \frac { 5000 } { ( x - 2 m ) ^ { 2 } } $ 元，
按题图②方式购买草皮的单价为 $ \frac { 5000 } { x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } $ 元。
(2)当 $ x = 14 $，$ m = 2 $ 时，
按方式一购买草皮的单价是 $ \frac { 5000 } { ( x - 2 m ) ^ { 2 } } = \frac { 5000 } { ( 14 - 2 × 2 ) ^ { 2 } } = 50 $ (元)，
按方式二购买草皮的单价是 $ \frac { 5000 } { x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } = \frac { 5000 } { 14 ^ { 2 } - 4 × 2 ^ { 2 } } \approx 28 $ (元)。
