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5. 如图，已知：正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $E$、$F$ 分别在边 $AB$、$AD$ 上，且 $AE = DF$. 连接 $BF$、$CE$.
(1) 求证：$BF = CE$.
(2) 如果将线段 $CE$ 绕点 $E$ 按逆时针方向旋转 $90°$，使得点 $C$ 落在点 $G$ 处，连接 $FG$. 设 $AE = x$.
① 试用含 $x$ 的代数式表示四边形 $BFGE$ 的面积；
② 当 $AF$ 和 $EG$ 互相平分时，求 $x$ 的值.
(1) 求证：$BF = CE$.
(2) 如果将线段 $CE$ 绕点 $E$ 按逆时针方向旋转 $90°$，使得点 $C$ 落在点 $G$ 处，连接 $FG$. 设 $AE = x$.
① 试用含 $x$ 的代数式表示四边形 $BFGE$ 的面积；
② 当 $AF$ 和 $EG$ 互相平分时，求 $x$ 的值.
答案
(1) 提示：证明$△ ABF≌△ BCE$，推得$BF=CE$.
(2) ① $1-2x+x^{2}$. 提示：由$△ ABF≌△ BCE$，可推得$∠ AFB=∠ BEC$，又因为$∠ AFB+∠ ABF=90°$，$∠ BEC+∠ AEG=90°$，可知$∠ AEG=∠ ABF$，可得$GE// BF$，所以四边形$BFGE$是一个平行四边形. 根据平行四边形的面积公式，可得$S_{□ BFGE}=(1-x)^2=1-2x+x^{2}$.
② $\frac{1}{2}$. 提示：连接$AG$. 由题意，可证四边形$AEFG$是一个平行四边形，推得$AE=FG$. 由四边形$BFGE$是一个平行四边形，可推得$BE=FG$. 所以，$AE=BE$，得到$x=\frac{1}{2}$.
(2) ① $1-2x+x^{2}$. 提示：由$△ ABF≌△ BCE$，可推得$∠ AFB=∠ BEC$，又因为$∠ AFB+∠ ABF=90°$，$∠ BEC+∠ AEG=90°$，可知$∠ AEG=∠ ABF$，可得$GE// BF$，所以四边形$BFGE$是一个平行四边形. 根据平行四边形的面积公式，可得$S_{□ BFGE}=(1-x)^2=1-2x+x^{2}$.
② $\frac{1}{2}$. 提示：连接$AG$. 由题意，可证四边形$AEFG$是一个平行四边形，推得$AE=FG$. 由四边形$BFGE$是一个平行四边形，可推得$BE=FG$. 所以，$AE=BE$，得到$x=\frac{1}{2}$.
