4. 如图,点 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 在 $ \odot O $ 上,$ AB $、$ CD $ 相交于点 $ P $,$ \overset{\frown}{AD} $ 为 $ 100 ^ { \circ } $,$ \overset{\frown}{BC} $ 为 $ 50 ^ { \circ } $,则 $ \angle ABD = $______,$ \angle BDC = $______,$ \angle APD = $______.

50°
25°
75°

5. 如图,$ OA $、$ OB $、$ OC $ 是 $ \odot O $ 的半径,$ \angle AOB = 2 \angle BOC $. $ \angle ACB $ 与 $ \angle BAC $ 之间的数量关系为______.

∠ACB=2∠BAC

6. 如图,点 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 在 $ \odot O $ 上,直线 $ AB $、$ CD $ 相交于点 $ P $,$ AQ // CD $,交 $ \odot O $ 于点 $ Q $. 已知 $ \overset{\frown}{AC} $ 为 $ 36 ^ { \circ } $,$ \overset{\frown}{BQ} = 2 \overset{\frown}{DQ} $,求 $ \angle P $ 的度数.

解:因为 ${\widehat{AC }}$为36° , 
所以∠AQC=18°
因为AQ//CD
所以∠AQC=.∠DCQ=18°
因为 ${\widehat{BQ }}=2{\widehat{DQ }}$
所以∠BAQ= 2∠DCQ=36°
又因为AQ//CD
所以∠P=∠BAQ=36°

7. 如图,$ \triangle ABC $ 是 $ \odot O $ 的内接等边三角形,$ P $ 是 $ \overset{\frown}{BC} $ 上一点. 探索 $ PA $ 与 $ PB + PC $ 之间的数量关系,并说明理由.

证明：PA=PB+PC，理由如下：
延长BP至E，使PE=PC，连接CE



∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°
∵∠APC=∠ABC，∠APB=∠ACB
∴∠APB=∠APC=60°
∴∠CPE=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴∠PCE=∠ACB=60°
∴∠PCE+∠BCP=∠ACB+∠BCP
即∠ACP=∠BCE
在△APC和△BEC中
$\begin{cases}PC=CE\\∠ACP=∠BCE\\AC=BC\end{cases}$
∴△APC≌△BEC(SAS)
∴AP=BE
即PA=BP+PE=BP+PC