7. 计算：$ (1 - x)(1 + x) $，$ (1 - x)(1 + x + x^2) $，…。根据规律，猜想 $ (1 - x)(1 + x + x^2 + ··· + x^n) $ 的结果是()

A.$ 1 - x^{n + 1} $
B.$ 1 + x^{n + 1} $
C.$ 1 - x^n $
D.$ 1 + x^n $

7. A

8. 如果 $ 4x^2 - ax + 121 $ 是一个关于 $ x $ 的完全平方式展开后的结果，那么常数 $ a $ 的值为。

8. $ \pm 44 $

9. 化简 $ (a - 2)(a + 2) - (a + 2)^2 $ 的结果为，当 $ a = -\frac{3}{2} $ 时，该式的值为。

9. $ -4a - 8 $ $ -2 $

10. 计算：
（1）$ [(x + y)^2 + (x - y)^2](2x^2 - 2y^2) $；
（2）$ (a - 5b + c)(a + 5b - c) $；
（3）$ (2x + 3y)^2(2x - 3y)^2 $；
（4）$ (4a + \frac{1}{16}b)^2 - (4a - \frac{1}{16}b)^2 $。

10. （1）先展开并合并括号内的式子，再利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}&[(x + y)^2 + (x - y)^2](2x^2 - 2y^2)\\=&(x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2)×2(x^2-y^2)\\=&(2x^2+2y^2)×2(x^2-y^2)\\=&4(x^2+y^2)(x^2-y^2)\\=&4(x^4-y^4)\\=&4x^4-4y^4\end{aligned}$
（2）将式子变形为平方差公式的形式，再展开完全平方：
$\begin{aligned}&(a - 5b + c)(a + 5b - c)\\=&[a-(5b-c)][a+(5b-c)]\\=&a^2-(5b-c)^2\\=&a^2-(25b^2-10bc+c^2)\\=&a^2-25b^2+10bc-c^2\end{aligned}$
（3）利用积的乘方逆运算，结合平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}&(2x + 3y)^2(2x - 3y)^2\\=&[(2x+3y)(2x-3y)]^2\\=&(4x^2-9y^2)^2\\=&(4x^2)^2-2×4x^2×9y^2+(9y^2)^2\\=&16x^4-72x^2y^2+81y^4\end{aligned}$
（4）利用平方差公式简化计算：
$\begin{aligned}&(4a + \frac{1}{16}b)^2 - (4a - \frac{1}{16}b)^2\\=&[(4a + \frac{1}{16}b)+(4a - \frac{1}{16}b)][(4a + \frac{1}{16}b)-(4a - \frac{1}{16}b)]\\=&8a×\frac{1}{8}b\\=&ab\end{aligned}$

11. （整体思想）已知 $ m(m - 3) - (m^2 - 3n) = 9 $，求 $ mn - \frac{m^2 + n^2}{2} $ 的值。

11. 由 $ m(m - 3) - (m^{2} - 3n) = 9 $，得 $ -3m + 3n = 9 $，即 $ m - n = -3 $。所以 $ mn - \frac{m^{2} + n^{2}}{2} = \frac{2mn - m^{2} - n^{2}}{2} = -\frac{(m - n)^{2}}{2} = -\frac{(-3)^{2}}{2} = -\frac{9}{2} $

12. 求算式 $ (2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)×···×(2^{32} + 1) + 1 $ 的结果的个位数字。

12. 原式 $ = (2 - 1) × (2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × ··· × (2^{32} + 1) + 1 = (2^{2} - 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × ··· × (2^{32} + 1) + 1 = 2^{64} - 1 + 1 = 2^{64} $。因为 $ 2^{1} $ 的个位数字为 2，$ 2^{2} $ 的个位数字为 4，$ 2^{3} $ 的个位数字为 8，$ 2^{4} $ 的个位数字为 6，$ 2^{5} $ 的个位数字为 2，…，所以 $ 2^{n} $ 的个位数字是 2，4，8，6 的循环。因为 $ 64 ÷ 4 = 16 $，所以原式的结果的个位数字是 6