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1. 按规律填空。
(1)有一组图形,按照“★▲□★▲□★▲□…”的规律排列,排在第30个的图形是(
(2)0,1,1,2,3,5,(
(3)$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{9}$,$\frac{1}{27}$,… 按这组数的规律,第5个数应该是(
(1)有一组图形,按照“★▲□★▲□★▲□…”的规律排列,排在第30个的图形是(
□
);排在第55个的图形是(★
)。(2)0,1,1,2,3,5,(
8
),(13
),21,…(3)$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{9}$,$\frac{1}{27}$,… 按这组数的规律,第5个数应该是(
$\frac{1}{243}$
),如果这样一直写下去,那么这个数会越来越接近(0
)。答案
1.(1)□ ★ (2)8 13 (3)$\frac{1}{243}$ 0
解析
【分析】
1. 第(1)题：先观察图形排列，发现“★▲□”3个图形为一组循环，周期是3。解题时用位置数除以周期，根据余数判断图形：余数1对应★，余数2对应▲，整除（余数0）对应□。
2. 第(2)题：观察数列可知，从第三项开始，每一项都是前两项的和，按照这个递推规律计算后续数字即可。
3. 第(3)题：观察分数特征，分子始终为1，分母依次是3的1次方、3的2次方、3的3次方……，第n个数的分母是3ⁿ；当分母无限增大时，分数值会无限趋近于0。
【解析】
(1) 图形的循环周期为3：
计算第30个图形：$30÷3=10$，整除无余数，对应周期内最后一个图形$□$；
计算第55个图形：$55÷3=18······1$，余数为1，对应周期内第一个图形$\bigstar$。
(2) 根据“前两项之和等于后一项”的规律：
$3+5=8$；
$5+8=13$。
(3) 第$n$个数为$\frac{1}{3^n}$：
第5个数：$\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$；
随着分母$3^n$不断增大，分数值会越来越接近0。
【答案】
1.(1)$□$ $\bigstar$ (2)$8$ $13$ (3)$\frac{1}{243}$ $0$
【知识点】
1. 周期循环规律
2. 数列递推规律
3. 分数变化规律
【点评】
本题涵盖图形周期、数列递推、分数变化三类规律探究，需要学生通过观察总结特征，运用规律解决问题，能有效锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：先观察图形排列，发现“★▲□”3个图形为一组循环，周期是3。解题时用位置数除以周期，根据余数判断图形：余数1对应★，余数2对应▲，整除（余数0）对应□。
2. 第(2)题：观察数列可知，从第三项开始，每一项都是前两项的和，按照这个递推规律计算后续数字即可。
3. 第(3)题：观察分数特征，分子始终为1，分母依次是3的1次方、3的2次方、3的3次方……，第n个数的分母是3ⁿ；当分母无限增大时，分数值会无限趋近于0。
【解析】
(1) 图形的循环周期为3：
计算第30个图形：$30÷3=10$，整除无余数，对应周期内最后一个图形$□$；
计算第55个图形：$55÷3=18······1$，余数为1，对应周期内第一个图形$\bigstar$。
(2) 根据“前两项之和等于后一项”的规律：
$3+5=8$；
$5+8=13$。
(3) 第$n$个数为$\frac{1}{3^n}$：
第5个数：$\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$；
随着分母$3^n$不断增大，分数值会越来越接近0。
【答案】
1.(1)$□$ $\bigstar$ (2)$8$ $13$ (3)$\frac{1}{243}$ $0$
【知识点】
1. 周期循环规律
2. 数列递推规律
3. 分数变化规律
【点评】
本题涵盖图形周期、数列递推、分数变化三类规律探究，需要学生通过观察总结特征，运用规律解决问题，能有效锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
2. 根据各式的规律填空。
$1=1^{1}$
$1+3=2^{2}$
$1+3+5=3^{2}$
$1+3+5+7=4^{2}$ …
观察左边式子可知:
(1)$1+3+5+7+9+11+13=$(
(2)从1开始,(
$1=1^{1}$
$1+3=2^{2}$
$1+3+5=3^{2}$
$1+3+5+7=4^{2}$ …
观察左边式子可知:
(1)$1+3+5+7+9+11+13=$(
7
)$^{2}$。(2)从1开始,(
20
)个连续奇数相加的和是$20^{2}$。答案
2.(1)7 (2)20
解析
【分析】
首先观察给出的等式，分析左边连续奇数的个数与右边平方数底数的关系：1是1个连续奇数，和为$1^2$；1+3是2个连续奇数，和为$2^2$；1+3+5是3个连续奇数，和为$3^2$……由此可归纳出规律：从1开始，n个连续奇数相加的和等于$n^2$。接下来根据这个规律解决问题：
(1) 先数出式子$1+3+5+7+9+11+13$中连续奇数的个数，再根据规律确定平方数的底数；
(2) 已知和是$20^2$，根据规律直接得出连续奇数的个数。
【解析】
观察已知等式，总结规律：
从1开始，n个连续奇数相加的和等于$n^2$，即$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。
(1) 式子$1+3+5+7+9+11+13$中，共有7个连续奇数，根据规律，和为$7^2$，所以括号内应填7；
(2) 因为和是$20^2$，根据上述规律，对应的是20个连续奇数相加，所以括号内应填20。
【答案】
(1)7；(2)20
【知识点】
连续奇数求和规律、数字规律探究
【点评】
本题考查数字规律的探究，通过观察已知等式，归纳出连续奇数求和与平方数的关系，重点考查学生的归纳总结能力和规律应用能力，解题关键是准确找出奇数个数与平方数底数的对应关系。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的等式，分析左边连续奇数的个数与右边平方数底数的关系：1是1个连续奇数，和为$1^2$；1+3是2个连续奇数，和为$2^2$；1+3+5是3个连续奇数，和为$3^2$……由此可归纳出规律：从1开始，n个连续奇数相加的和等于$n^2$。接下来根据这个规律解决问题：
(1) 先数出式子$1+3+5+7+9+11+13$中连续奇数的个数，再根据规律确定平方数的底数；
(2) 已知和是$20^2$，根据规律直接得出连续奇数的个数。
【解析】
观察已知等式，总结规律：
从1开始，n个连续奇数相加的和等于$n^2$，即$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。
(1) 式子$1+3+5+7+9+11+13$中，共有7个连续奇数，根据规律，和为$7^2$，所以括号内应填7；
(2) 因为和是$20^2$，根据上述规律，对应的是20个连续奇数相加，所以括号内应填20。
【答案】
(1)7；(2)20
【知识点】
连续奇数求和规律、数字规律探究
【点评】
本题考查数字规律的探究，通过观察已知等式，归纳出连续奇数求和与平方数的关系，重点考查学生的归纳总结能力和规律应用能力，解题关键是准确找出奇数个数与平方数底数的对应关系。
【难度系数】
0.8
3. 观察下图,找规律并填空。
(1)把表格填写完整。
(2)画20个正方形能得到(
(3)如果第1个正方形的面积是256 $\mathrm{dm}^{2}$,那么第6个小正方形的面积是(
(1)把表格填写完整。
(2)画20个正方形能得到(
76
)个直角三角形,画$n$个正方形能得到($4(n-1)$
)个直角三角形。(3)如果第1个正方形的面积是256 $\mathrm{dm}^{2}$,那么第6个小正方形的面积是(
8
)$\mathrm{dm}^{2}$。答案
3.(1)12 16 (2)76 $4(n-1)$ (3)8
解析
【分析】
1. 问题(1)：先观察图形与直角三角形数量的关系，发现每增加1个正方形，直角三角形的数量就增加4个。已知画1个正方形对应0个三角形，2个对应4个，3个对应8个，那么画4个正方形时，三角形数量是8+4=12，画5个时是12+4=16，据此填写表格。
2. 问题(2)：根据前面的数量变化规律，总结通用公式。1个正方形时，4×(1-1)=0；2个时，4×(2-1)=4，以此类推，n个正方形对应的三角形数量为4(n-1)。代入n=20即可算出对应三角形数量。
3. 问题(3)：观察正方形面积的变化规律，每新增1个小正方形，面积是前一个正方形的$\frac{1}{2}$。第一个正方形面积为256$\mathrm{dm}^{2}$，第6个正方形是在第一个基础上经过5次面积减半，据此计算即可。
【解析】
(1) 观察可知：每增加1个正方形，直角三角形数量增加4个。
画4个正方形时，三角形数量：$8+4=12$；
画5个正方形时，三角形数量：$12+4=16$；
因此表格填写12、16。
(2) 归纳规律：$n$个正方形对应的直角三角形数量为$4(n-1)$。
当$n=20$时，$4×(20-1)=4×19=76$；
所以画20个正方形能得到76个直角三角形，画$n$个正方形能得到$4(n-1)$个直角三角形。
(3) 面积递推规律：第$k$个正方形的面积是第一个正方形面积的$(\frac{1}{2})^{k-1}$。
第6个正方形面积：$256×(\frac{1}{2})^{6-1}=256×\frac{1}{32}=8(\mathrm{dm}^{2})$。
【答案】
(1)12 16 (2)76 $4(n-1)$ (3)8
【知识点】
图形规律探究、用字母表示数、面积递推规律
【点评】
本题综合考查图形数量变化与面积变化的规律探究，需要通过观察前几组数据归纳通用公式，再代入计算，重点培养学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 问题(1)：先观察图形与直角三角形数量的关系，发现每增加1个正方形，直角三角形的数量就增加4个。已知画1个正方形对应0个三角形，2个对应4个，3个对应8个，那么画4个正方形时，三角形数量是8+4=12，画5个时是12+4=16，据此填写表格。
2. 问题(2)：根据前面的数量变化规律，总结通用公式。1个正方形时，4×(1-1)=0；2个时，4×(2-1)=4，以此类推，n个正方形对应的三角形数量为4(n-1)。代入n=20即可算出对应三角形数量。
3. 问题(3)：观察正方形面积的变化规律，每新增1个小正方形，面积是前一个正方形的$\frac{1}{2}$。第一个正方形面积为256$\mathrm{dm}^{2}$，第6个正方形是在第一个基础上经过5次面积减半，据此计算即可。
【解析】
(1) 观察可知：每增加1个正方形，直角三角形数量增加4个。
画4个正方形时，三角形数量：$8+4=12$；
画5个正方形时，三角形数量：$12+4=16$；
因此表格填写12、16。
(2) 归纳规律：$n$个正方形对应的直角三角形数量为$4(n-1)$。
当$n=20$时，$4×(20-1)=4×19=76$；
所以画20个正方形能得到76个直角三角形，画$n$个正方形能得到$4(n-1)$个直角三角形。
(3) 面积递推规律：第$k$个正方形的面积是第一个正方形面积的$(\frac{1}{2})^{k-1}$。
第6个正方形面积：$256×(\frac{1}{2})^{6-1}=256×\frac{1}{32}=8(\mathrm{dm}^{2})$。
【答案】
(1)12 16 (2)76 $4(n-1)$ (3)8
【知识点】
图形规律探究、用字母表示数、面积递推规律
【点评】
本题综合考查图形数量变化与面积变化的规律探究，需要通过观察前几组数据归纳通用公式，再代入计算，重点培养学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
❄️4. 【提优挑战】百变数字谜。表2、表3、表4分别是从表1中截取的一部分,其中$a$,$b$,$c$的值分别为(
表1
|1|2|3|4|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|2|4|6|8|…|
|3|6|9|12|…|
|4|8|12|16|…|
|…|…|…|…|…|
表2
|20|
| ---- |
|22|
|$a$|
表3
|100|104|
| ---- | ---- |
|125|$b$|
表4
|26||
| ---- | ---- |
|$c$|42|
||56|
A.24,130,39
B.24,129,36
C.24,108,38
D.24,128,40
A
)。表1
|1|2|3|4|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|2|4|6|8|…|
|3|6|9|12|…|
|4|8|12|16|…|
|…|…|…|…|…|
表2
|20|
| ---- |
|22|
|$a$|
表3
|100|104|
| ---- | ---- |
|125|$b$|
表4
|26||
| ---- | ---- |
|$c$|42|
||56|
A.24,130,39
B.24,129,36
C.24,108,38
D.24,128,40
答案
4.A
解析
【分析】
首先观察表1的规律：表1中第$m$行第$n$列的数为行号与列号的乘积，即$\boldsymbol{第m行第n列的数=m×n}$；同一行中相邻两个数的差等于行号，同一列中相邻两个数的差等于列号。接下来分三步分析求解：
1. 表2的三个数在同一列，通过相邻数的差确定列号，再根据列号和行的顺序计算$a$；
2. 表3中先通过同一行的数的差确定行/列的关系，再结合上下行的对应关系计算$b$；
3. 表4中先通过同一列的数确定列号和行号，再结合$26$的位置找到$c$的行号和列号，进而计算$c$。
【解析】
1. 计算$a$的值：
表2中三个数为同一列，相邻两数的差为$22-20=2$，说明该列的列号为2。
$20=2×10$，$22=2×11$，可知这三个数是第2列的第10、11、12行的数，因此$a=2×12=24$。
2. 计算$b$的值：
表3中，$104-100=4$，说明100和104是同一列（第4列）的第25、26行的数（$100=25×4$，$104=26×4$）；
125是第25行第5列的数（$25×5=125$），则$b$是第26行第5列的数，因此$b=26×5=130$。
3. 计算$c$的值：
表4中，$56-42=14$，且$42=3×14$，$56=4×14$，说明42和56是第14列的第3、4行的数；
$26=2×13$，说明26是第2行第13列的数，$c$与26同列（第13列）、与42同行（第3行），因此$c=3×13=39$。
综上，$a=24$，$b=130$，$c=39$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 乘法运算应用
【点评】
本题的核心是先提炼表1中“行号×列号=对应位置的数”的规律，再结合表2、3、4中数的位置关系，利用同一行/列的数的差的特征推导出行号和列号，进而计算未知数字。需要学生具备较强的观察能力和逻辑推理能力，能从表格数据中总结规律并灵活应用。
【难度系数】
0.4
首先观察表1的规律：表1中第$m$行第$n$列的数为行号与列号的乘积，即$\boldsymbol{第m行第n列的数=m×n}$；同一行中相邻两个数的差等于行号，同一列中相邻两个数的差等于列号。接下来分三步分析求解：
1. 表2的三个数在同一列，通过相邻数的差确定列号，再根据列号和行的顺序计算$a$；
2. 表3中先通过同一行的数的差确定行/列的关系，再结合上下行的对应关系计算$b$；
3. 表4中先通过同一列的数确定列号和行号，再结合$26$的位置找到$c$的行号和列号，进而计算$c$。
【解析】
1. 计算$a$的值：
表2中三个数为同一列，相邻两数的差为$22-20=2$，说明该列的列号为2。
$20=2×10$，$22=2×11$，可知这三个数是第2列的第10、11、12行的数，因此$a=2×12=24$。
2. 计算$b$的值：
表3中，$104-100=4$，说明100和104是同一列（第4列）的第25、26行的数（$100=25×4$，$104=26×4$）；
125是第25行第5列的数（$25×5=125$），则$b$是第26行第5列的数，因此$b=26×5=130$。
3. 计算$c$的值：
表4中，$56-42=14$，且$42=3×14$，$56=4×14$，说明42和56是第14列的第3、4行的数；
$26=2×13$，说明26是第2行第13列的数，$c$与26同列（第13列）、与42同行（第3行），因此$c=3×13=39$。
综上，$a=24$，$b=130$，$c=39$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 乘法运算应用
【点评】
本题的核心是先提炼表1中“行号×列号=对应位置的数”的规律，再结合表2、3、4中数的位置关系，利用同一行/列的数的差的特征推导出行号和列号，进而计算未知数字。需要学生具备较强的观察能力和逻辑推理能力，能从表格数据中总结规律并灵活应用。
【难度系数】
0.4
