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1.运动员掷铅球时,下列图象能近似地刻画铅球的高度y与水平距离x的关系的是(
D
)。答案
1.D
解析
【分析】
要判断铅球高度y与水平距离x的关系图像，我们可以结合实际运动过程分步分析：首先看初始状态，运动员掷铅球时，铅球在出手位置就有一定高度，即x=0时y＞0，可先排除不符合起点特征的选项；再分析高度的变化趋势：铅球掷出后高度先上升到最高点，之后逐渐下降，最终落地时高度为0，据此再排除不符合变化趋势的选项即可得到答案。
【解析】
① 分析初始点特征：铅球出手时有一定高度，即x=0时y＞0，选项A、B的图像起点为(0,0)，不符合实际，排除A、B；
② 分析变化趋势：铅球的运动轨迹为抛物线，高度先升高到最高点，之后逐渐降低，最终落地时y=0。选项C中y随x增大持续升高，不符合铅球最终落地的特征，排除C；选项D的图像起点y＞0，先上升后下降，最终y=0，完全符合铅球高度的变化规律。
【答案】
D
【知识点】
函数图象的实际应用；二次函数的图象特征
【点评】
本题结合生活中的抛体运动场景考查函数图像的识别，解题时需结合实际情况分析变量的变化趋势，关注起点、终点等特殊点的取值，即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.8
要判断铅球高度y与水平距离x的关系图像，我们可以结合实际运动过程分步分析：首先看初始状态，运动员掷铅球时，铅球在出手位置就有一定高度，即x=0时y＞0，可先排除不符合起点特征的选项；再分析高度的变化趋势：铅球掷出后高度先上升到最高点，之后逐渐下降，最终落地时高度为0，据此再排除不符合变化趋势的选项即可得到答案。
【解析】
① 分析初始点特征：铅球出手时有一定高度，即x=0时y＞0，选项A、B的图像起点为(0,0)，不符合实际，排除A、B；
② 分析变化趋势：铅球的运动轨迹为抛物线，高度先升高到最高点，之后逐渐降低，最终落地时y=0。选项C中y随x增大持续升高，不符合铅球最终落地的特征，排除C；选项D的图像起点y＞0，先上升后下降，最终y=0，完全符合铅球高度的变化规律。
【答案】
D
【知识点】
函数图象的实际应用；二次函数的图象特征
【点评】
本题结合生活中的抛体运动场景考查函数图像的识别，解题时需结合实际情况分析变量的变化趋势，关注起点、终点等特殊点的取值，即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y = \sqrt{x - 3}$中,自变量$x$的取值范围是(
A.$x ≤ 3$
B.$x ≥ 3$
C.$x ＜ 3$
D.$x ＞ 3$
B
)。A.$x ≤ 3$
B.$x ≥ 3$
C.$x ＜ 3$
D.$x ＞ 3$
答案
2.B
解析
【分析】
拿到求函数自变量取值范围的题目时，首先观察函数表达式的形式，本题表达式为二次根式，我们需要回忆二次根式有意义的条件：被开方数（根号内的式子）必须为非负数，否则二次根式无意义。因此我们只需令根号内的x-3满足大于等于0，解这个一元一次不等式就能得到x的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
要使函数$y = \sqrt{x - 3}$有意义，二次根式的被开方数必须为非负数，由此可得不等式：
$x-3≥0$
移项解得：$x≥3$
因此自变量$x$的取值范围是$x≥3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的条件，牢记被开方数为非负数即可快速求解，是考查函数自变量取值范围的常见典型题。
【难度系数】
0.9
拿到求函数自变量取值范围的题目时，首先观察函数表达式的形式，本题表达式为二次根式，我们需要回忆二次根式有意义的条件：被开方数（根号内的式子）必须为非负数，否则二次根式无意义。因此我们只需令根号内的x-3满足大于等于0，解这个一元一次不等式就能得到x的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
要使函数$y = \sqrt{x - 3}$有意义，二次根式的被开方数必须为非负数，由此可得不等式：
$x-3≥0$
移项解得：$x≥3$
因此自变量$x$的取值范围是$x≥3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的条件，牢记被开方数为非负数即可快速求解，是考查函数自变量取值范围的常见典型题。
【难度系数】
0.9
3.已知函数$y=(m-2)x^{|m-1|}+n-3$是正比例函数，则$m+n$的值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查正比例函数定义的应用，解题思路如下：首先明确正比例函数的核心特征：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，需同时满足三个要求：①自变量$x$的次数为1；②$x$的系数不为0；③常数项为0。接下来我们根据这三个要求分别列方程和不等式，求解出$m$、$n$的取值，最后计算$m+n$的值即可。
【解析】
∵ 函数$y=(m-2)x^{|m-1|}+n-3$是正比例函数
∴ 需同时满足以下条件：
1. 自变量次数为1：$|m-1|=1$
2. 一次项系数不为0：$m-2≠0$
3. 常数项为0：$n-3=0$
解$|m-1|=1$可得：$m-1=1$或$m-1=-1$，即$m=2$或$m=0$
结合$m-2≠0$（即$m≠2$），可得$m=0$
解$n-3=0$可得$n=3$
因此$m+n=0+3=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义、绝对值的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是正比例函数的基础考法，解题关键是熟记正比例函数的三个限制条件，尤其要注意一次项系数不为0的隐含要求，避免因忽略该条件选错答案。
【难度系数】
0.7
本题考查正比例函数定义的应用，解题思路如下：首先明确正比例函数的核心特征：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，需同时满足三个要求：①自变量$x$的次数为1；②$x$的系数不为0；③常数项为0。接下来我们根据这三个要求分别列方程和不等式，求解出$m$、$n$的取值，最后计算$m+n$的值即可。
【解析】
∵ 函数$y=(m-2)x^{|m-1|}+n-3$是正比例函数
∴ 需同时满足以下条件：
1. 自变量次数为1：$|m-1|=1$
2. 一次项系数不为0：$m-2≠0$
3. 常数项为0：$n-3=0$
解$|m-1|=1$可得：$m-1=1$或$m-1=-1$，即$m=2$或$m=0$
结合$m-2≠0$（即$m≠2$），可得$m=0$
解$n-3=0$可得$n=3$
因此$m+n=0+3=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义、绝对值的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是正比例函数的基础考法，解题关键是熟记正比例函数的三个限制条件，尤其要注意一次项系数不为0的隐含要求，避免因忽略该条件选错答案。
【难度系数】
0.7
4.已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A(3,0)，B两点，与正比例函数的图象交于点C(1,2)，若D是一次函数图象上的一点，且$S_{△ OCD}=2S_{△ OBC}$（O为坐标原点），则点D的坐标是(
A.$(-1,4)$或$(3,0)$
B.$(-1,5)$或$(3,0)$
C.$(-1,4)$或$(2,0)$
D.$(-1,5)$或$(2,0)$
A
)。A.$(-1,4)$或$(3,0)$
B.$(-1,5)$或$(3,0)$
C.$(-1,4)$或$(2,0)$
D.$(-1,5)$或$(2,0)$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路逐步推导：①先利用待定系数法，结合一次函数过A(3,0)、C(1,2)两点求出一次函数解析式，进而得到与y轴交点B的坐标；②计算△OBC的面积，根据面积关系得到△OCD的面积；③设出D点坐标（因D在一次函数上，坐标可用含一个参数的式子表示），结合三角形面积公式分两种情况讨论D的位置（在C点左侧或右侧的一次函数图象上），求解得到D的坐标即可。
【解析】
步骤1：求一次函数解析式
设过A(3,0)、C(1,2)的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 0 \\k + b = 2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2k=-2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=2$，得$b=3$，
因此一次函数解析式为$y=-x+3$。
步骤2：求B点坐标及△OBC的面积
令一次函数$y=-x+3$中$x=0$，得$y=3$，即B点坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
△OBC中，OB为底，点C的横坐标的绝对值为高，因此：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × 3 × 1=\frac{3}{2}$
根据题意$S_{△ OCD}=2S_{△ OBC}$，得$S_{△ OCD}=3$。
步骤3：求D点坐标
设D点坐标为$(m, -m+3)$，分两种情况讨论：
①当D在点C左侧的一次函数图象上时，$m＜1$：
用割补法计算△OCD面积为3，解得$m=-1$，此时$y=-(-1)+3=4$，即$D(-1,4)$。
②当D在点C右侧的一次函数图象上时，$m＞1$：
同理计算△OCD面积为3，解得$m=3$，此时$y=-3+3=0$，即$D(3,0)$。
综上，D点坐标为$(-1,4)$或$(3,0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与三角形面积结合的典型题型，解题的关键是先求出一次函数解析式，再结合面积关系分类讨论点D的位置，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可按以下思路逐步推导：①先利用待定系数法，结合一次函数过A(3,0)、C(1,2)两点求出一次函数解析式，进而得到与y轴交点B的坐标；②计算△OBC的面积，根据面积关系得到△OCD的面积；③设出D点坐标（因D在一次函数上，坐标可用含一个参数的式子表示），结合三角形面积公式分两种情况讨论D的位置（在C点左侧或右侧的一次函数图象上），求解得到D的坐标即可。
【解析】
步骤1：求一次函数解析式
设过A(3,0)、C(1,2)的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 0 \\k + b = 2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2k=-2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=2$，得$b=3$，
因此一次函数解析式为$y=-x+3$。
步骤2：求B点坐标及△OBC的面积
令一次函数$y=-x+3$中$x=0$，得$y=3$，即B点坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
△OBC中，OB为底，点C的横坐标的绝对值为高，因此：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × 3 × 1=\frac{3}{2}$
根据题意$S_{△ OCD}=2S_{△ OBC}$，得$S_{△ OCD}=3$。
步骤3：求D点坐标
设D点坐标为$(m, -m+3)$，分两种情况讨论：
①当D在点C左侧的一次函数图象上时，$m＜1$：
用割补法计算△OCD面积为3，解得$m=-1$，此时$y=-(-1)+3=4$，即$D(-1,4)$。
②当D在点C右侧的一次函数图象上时，$m＞1$：
同理计算△OCD面积为3，解得$m=3$，此时$y=-3+3=0$，即$D(3,0)$。
综上，D点坐标为$(-1,4)$或$(3,0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与三角形面积结合的典型题型，解题的关键是先求出一次函数解析式，再结合面积关系分类讨论点D的位置，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. 函数$y = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{4 - x}}$的自变量$x$的取值范围是
$\uparrow$路程/m
D
1. 函数$y = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{4 - x}}$的自变量$x$的取值范围是
$0 ≤ x ＜ 4$
。$\uparrow$路程/m
D
答案
1.$0 ≤ x ＜ 4$
解析
【分析】
要确定该函数自变量x的取值范围，需分别梳理式子中各部分的有意义条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0。我们先逐一列出限制x的不等式，再求解不等式，最后取所有解集的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{4 - x}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 分子中的二次根式$\sqrt{x}$有意义，因此被开方数$x≥0$；
2. 分母$\sqrt{4-x}$有意义且不为0，因此被开方数$4-x＞0$（若$4-x=0$，则分母为0，分式无意义），解这个不等式得$x＜4$。
取两个解集的公共部分，可得$0≤ x＜4$。
【答案】
$0 ≤ x ＜ 4$
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是求函数自变量取值范围的基础题，解题时需全面兼顾不同位置代数式的限制要求，尤其要注意位于分母处的二次根式，除了满足被开方数非负外，还要保证分母不为0，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.8
要确定该函数自变量x的取值范围，需分别梳理式子中各部分的有意义条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0。我们先逐一列出限制x的不等式，再求解不等式，最后取所有解集的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{4 - x}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 分子中的二次根式$\sqrt{x}$有意义，因此被开方数$x≥0$；
2. 分母$\sqrt{4-x}$有意义且不为0，因此被开方数$4-x＞0$（若$4-x=0$，则分母为0，分式无意义），解这个不等式得$x＜4$。
取两个解集的公共部分，可得$0≤ x＜4$。
【答案】
$0 ≤ x ＜ 4$
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是求函数自变量取值范围的基础题，解题时需全面兼顾不同位置代数式的限制要求，尤其要注意位于分母处的二次根式，除了满足被开方数非负外，还要保证分母不为0，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.8
2. 小东从家里出发,骑车前往B地拿文件,先上坡到达A地后,休息1 min ;然后下坡到达B地,1min拿完文件,行程情况如图。随后原路返回,若返回时,上、下坡速度与原来保持不变,且在A地休息2min,则他从B地返回到家所用的时间是
8
min。答案
2.8
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先从行程图像和题干信息中提取上坡路程、上坡时间，计算上坡速度；2. 再算出下坡路程、下坡时间，计算下坡速度；3. 返回时原来的下坡路段变为上坡，原来的上坡路段变为下坡，分别计算两段路程的行驶时间，再加上A地的休息时间，即可得到总返回时间。
【解析】
1. 计算上坡速度：
去的时候上坡路程为500m，用时2.5min，因此上坡速度$v_{上}=\frac{500}{2.5}=200\ \mathrm{m/min}$。
2. 计算下坡速度：
去的时候下坡路程为$1500-500=1000\ \mathrm{m}$；
已知A地休息1min，B地拿文件1min，总行程到6.5min结束，因此下坡行驶时间为$6.5-2.5-1-1=2\ \mathrm{min}$，下坡速度$v_{下}=\frac{1000}{2}=500\ \mathrm{m/min}$。
3. 计算返回总时间：
返回时，原下坡1000m变为上坡，用时$t_1=\frac{1000}{200}=5\ \mathrm{min}$；
在A地休息2min，$t_2=2\ \mathrm{min}$；
原上坡500m变为下坡，用时$t_3=\frac{500}{500}=1\ \mathrm{min}$；
总时间$t=t_1+t_2+t_3=5+2+1=8\ \mathrm{min}$。
【答案】
8
【知识点】
行程问题；从图像获取信息；速度公式应用
【点评】
本题重点考查对行程图像的解读，要注意往返过程中上下坡路段的互换，同时不要遗漏休息时间，解题时需要梳理清楚每一段的路程、速度、时间的对应关系。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先从行程图像和题干信息中提取上坡路程、上坡时间，计算上坡速度；2. 再算出下坡路程、下坡时间，计算下坡速度；3. 返回时原来的下坡路段变为上坡，原来的上坡路段变为下坡，分别计算两段路程的行驶时间，再加上A地的休息时间，即可得到总返回时间。
【解析】
1. 计算上坡速度：
去的时候上坡路程为500m，用时2.5min，因此上坡速度$v_{上}=\frac{500}{2.5}=200\ \mathrm{m/min}$。
2. 计算下坡速度：
去的时候下坡路程为$1500-500=1000\ \mathrm{m}$；
已知A地休息1min，B地拿文件1min，总行程到6.5min结束，因此下坡行驶时间为$6.5-2.5-1-1=2\ \mathrm{min}$，下坡速度$v_{下}=\frac{1000}{2}=500\ \mathrm{m/min}$。
3. 计算返回总时间：
返回时，原下坡1000m变为上坡，用时$t_1=\frac{1000}{200}=5\ \mathrm{min}$；
在A地休息2min，$t_2=2\ \mathrm{min}$；
原上坡500m变为下坡，用时$t_3=\frac{500}{500}=1\ \mathrm{min}$；
总时间$t=t_1+t_2+t_3=5+2+1=8\ \mathrm{min}$。
【答案】
8
【知识点】
行程问题；从图像获取信息；速度公式应用
【点评】
本题重点考查对行程图像的解读，要注意往返过程中上下坡路段的互换，同时不要遗漏休息时间，解题时需要梳理清楚每一段的路程、速度、时间的对应关系。
【难度系数】
0.65
