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三、解答题
如右图,在矩形ABCD中,AB = 3 cm,BC = 6 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1cm/s。连接PQ、AQ、CP,设点P、Q运动的时间为t s。
(1)求t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)求t为何值时,四边形AQCP是菱形?
如右图,在矩形ABCD中,AB = 3 cm,BC = 6 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1cm/s。连接PQ、AQ、CP,设点P、Q运动的时间为t s。
(1)求t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)求t为何值时,四边形AQCP是菱形?
答案
(1) $t = 3$
(2) $t = \frac{9}{4}$
(2) $t = \frac{9}{4}$
解析
【分析】
(1) 矩形ABCD中AD平行BC，且∠B为直角，因此四边形ABQP是直角梯形，要使其成为矩形，只需满足对边AP=BQ即可（有一个角是直角的平行四边形是矩形，AP与BQ平行且相等时ABQP为平行四边形，结合直角即可判定为矩形）。先分别用含t的式子表示AP、BQ的长度，列等式求解即可。
(2) 首先可证四边形AQCP始终是平行四边形（AP与QC平行且相等），要使其为菱形，只需满足邻边相等，即AQ=QC。利用勾股定理表示AQ的长度，列方程求解t即可，注意结果要符合运动的取值范围。
【解析】
解：设点P、Q运动的时间为t s，由题意得：PD=BQ=t cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6 cm，AD//BC，∠B=90°。
(1) 若四边形ABQP是矩形，需满足AP=BQ，
∵AP=AD-PD=(6-t) cm，BQ=t cm，
∴列方程：6-t = t，
解得：t=3。
(2)
∵AP=AD-PD=6-t，QC=BC-BQ=6-t，
∴AP=QC，又
∵AP//QC，
∴四边形AQCP是平行四边形，
若平行四边形AQCP是菱形，需满足AQ=QC，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}=\sqrt{3^2+t^2}$，QC=6-t，
∴列方程：$\sqrt{t^2+9}=6-t$，
两边平方得：$t^2+9=36-12t+t^2$，
整理得：12t=27，
解得：$t=\frac{9}{4}$，经检验$t=\frac{9}{4}$符合运动要求。
【答案】
(1) $t=3$；(2) $t=\frac{9}{4}$
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合动点问题考查特殊四边形的判定，解题的关键是先用含时间t的式子表示相关线段的长度，再结合特殊四边形的判定条件列方程求解，求解后注意验证结果是否符合运动的实际范围。
【难度系数】
0.7
(1) 矩形ABCD中AD平行BC，且∠B为直角，因此四边形ABQP是直角梯形，要使其成为矩形，只需满足对边AP=BQ即可（有一个角是直角的平行四边形是矩形，AP与BQ平行且相等时ABQP为平行四边形，结合直角即可判定为矩形）。先分别用含t的式子表示AP、BQ的长度，列等式求解即可。
(2) 首先可证四边形AQCP始终是平行四边形（AP与QC平行且相等），要使其为菱形，只需满足邻边相等，即AQ=QC。利用勾股定理表示AQ的长度，列方程求解t即可，注意结果要符合运动的取值范围。
【解析】
解：设点P、Q运动的时间为t s，由题意得：PD=BQ=t cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6 cm，AD//BC，∠B=90°。
(1) 若四边形ABQP是矩形，需满足AP=BQ，
∵AP=AD-PD=(6-t) cm，BQ=t cm，
∴列方程：6-t = t，
解得：t=3。
(2)
∵AP=AD-PD=6-t，QC=BC-BQ=6-t，
∴AP=QC，又
∵AP//QC，
∴四边形AQCP是平行四边形，
若平行四边形AQCP是菱形，需满足AQ=QC，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}=\sqrt{3^2+t^2}$，QC=6-t，
∴列方程：$\sqrt{t^2+9}=6-t$，
两边平方得：$t^2+9=36-12t+t^2$，
整理得：12t=27，
解得：$t=\frac{9}{4}$，经检验$t=\frac{9}{4}$符合运动要求。
【答案】
(1) $t=3$；(2) $t=\frac{9}{4}$
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合动点问题考查特殊四边形的判定，解题的关键是先用含时间t的式子表示相关线段的长度，再结合特殊四边形的判定条件列方程求解，求解后注意验证结果是否符合运动的实际范围。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
风筝,自春秋时期起源,至今已承载两千多年的智慧。某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动,探索过程如下:
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况,画出了如图
所示的示意图,其中点 A 为风筝所在的位置,BC 为牵线放风筝的手到风筝的水平距离,AB 为风筝线的长度,AD 为风筝到地面的垂直距离。
【测量数据】小组成员测量了图1中的相关数据,测得 BC 长为24 m,根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 25 m,牵线放风筝的手到地面的距离(即 CD 的长)为 1.8 m。
【问题解决】根据以上信息,解决下列问题:
(1)请根据图1中测得的数据,计算此时风筝离地面的垂直高度 AD；
(2)如图
,若风筝沿 DA方向再上升8 m到达点 E,且风筝线的长度不变,放风筝的同学沿射线 BC方向前进,放风筝的手水平平移至点 F处,则 BF 的长度是多少米?
风筝,自春秋时期起源,至今已承载两千多年的智慧。某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动,探索过程如下:
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况,画出了如图
所示的示意图,其中点 A 为风筝所在的位置,BC 为牵线放风筝的手到风筝的水平距离,AB 为风筝线的长度,AD 为风筝到地面的垂直距离。【测量数据】小组成员测量了图1中的相关数据,测得 BC 长为24 m,根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 25 m,牵线放风筝的手到地面的距离(即 CD 的长)为 1.8 m。
【问题解决】根据以上信息,解决下列问题:
(1)请根据图1中测得的数据,计算此时风筝离地面的垂直高度 AD；
(2)如图
,若风筝沿 DA方向再上升8 m到达点 E,且风筝线的长度不变,放风筝的同学沿射线 BC方向前进,放风筝的手水平平移至点 F处,则 BF 的长度是多少米?答案
解:(1)在Rt $△ ABC$ 中,
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7$(m),
$\therefore AD = AC + CD = 7 + 1.8 = 8.8$(m)。
答:此时风筝离地面的垂直高度 AD 为8.8 m。
(2) $CE = AC + AE = 7 + 8 = 15$(m),
由题意可得: $EF = AB = 25$ m。
在Rt $△ EFC$ 中,
$CF = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$(m),
$\therefore BF = BC - CF = 24 - 20 = 4$(m)。
答:BF 的长度是 4 m。
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7$(m),
$\therefore AD = AC + CD = 7 + 1.8 = 8.8$(m)。
答:此时风筝离地面的垂直高度 AD 为8.8 m。
(2) $CE = AC + AE = 7 + 8 = 15$(m),
由题意可得: $EF = AB = 25$ m。
在Rt $△ EFC$ 中,
$CF = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$(m),
$\therefore BF = BC - CF = 24 - 20 = 4$(m)。
答:BF 的长度是 4 m。
解析
【分析】
（1）要计算风筝离地面的垂直高度AD，观察图形可知AD=AC+CD，其中CD已知为1.8m，因此核心是求AC的长度。由题意得△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，利用勾股定理即可求出AC，相加CD就能得到AD。
（2）风筝上升8m到E后，可先求出EC的长度；已知风筝线长度不变，故EF=AB=25m，此时△EFC也是直角三角形，利用勾股定理求出CF的长度，再用BC的长度减去CF的长度，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7$（m）
$\therefore AD = AC + CD = 7 + 1.8 = 8.8$（m）
(2) 由题意得，$CE = AC + AE = 7 + 8 = 15$（m），且风筝线长度不变，故$EF = AB = 25$ m
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$（m）
$\therefore BF = BC - CF = 24 - 20 = 4$（m）
【答案】
(1) 此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8 m；
(2) BF的长度是4 m。
【知识点】
勾股定理；直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，生动有趣，重点考查学生将实际问题转化为几何问题的能力，解题时只要准确找到直角三角形，明确各边的数量关系，运用勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要计算风筝离地面的垂直高度AD，观察图形可知AD=AC+CD，其中CD已知为1.8m，因此核心是求AC的长度。由题意得△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，利用勾股定理即可求出AC，相加CD就能得到AD。
（2）风筝上升8m到E后，可先求出EC的长度；已知风筝线长度不变，故EF=AB=25m，此时△EFC也是直角三角形，利用勾股定理求出CF的长度，再用BC的长度减去CF的长度，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7$（m）
$\therefore AD = AC + CD = 7 + 1.8 = 8.8$（m）
(2) 由题意得，$CE = AC + AE = 7 + 8 = 15$（m），且风筝线长度不变，故$EF = AB = 25$ m
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$（m）
$\therefore BF = BC - CF = 24 - 20 = 4$（m）
【答案】
(1) 此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8 m；
(2) BF的长度是4 m。
【知识点】
勾股定理；直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，生动有趣，重点考查学生将实际问题转化为几何问题的能力，解题时只要准确找到直角三角形，明确各边的数量关系，运用勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
