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3.如右图,在平行四边形ABCD中,AD = 2AB , CE ⊥ AB于点E,点F,G分别是AD , BC的中点,连接CF,EF,FG ,下列四种说法:① CE ⊥ FG ;②四边形ABGF是菱形;③ BC = 2EG ;④∠DFC = ∠EFG 。正确的有
①②③④
。(填序号)答案
3.①②③④
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，我们结合平行四边形性质，从已知的中点、垂直、AD=2AB这些条件入手逐个推导：
1. 先利用中点和平行四边形对边平行且相等的性质，判断四边形ABGF的形状，验证②是否正确；
2. 结合CE⊥AB和AB与FG的平行关系，验证①是否正确；
3. 利用直角三角形斜边中线的性质，结合G是BC中点的条件，验证③是否正确；
4. 先通过DF=DC得到角相等，再结合垂直平分线和等腰三角形的性质推导角的等量关系，验证④是否正确。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC。
1. 验证②：
∵F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF=½AD，BG=½BC，
又
∵AD=BC，
∴AF//BG且AF=BG，四边形ABGF是平行四边形，
∵AD=2AB，
∴AF=AB，
∴平行四边形ABGF是菱形，故②正确。
2. 验证①：
∵CE⊥AB，由菱形性质得AB//FG，
∴CE⊥FG，故①正确。
3. 验证③：
∵CE⊥AB，
∴△BEC是直角三角形，
∵G是Rt△BEC斜边BC的中点，
∴EG=½BC，即BC=2EG，故③正确。
4. 验证④：
∵F是AD中点，AD=2AB=2CD，
∴DF=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG//AB，AB//CD，
∴FG//CD，
∴∠DCF=∠CFG，可得∠DFC=∠CFG，
又
∵CE⊥FG，FG//AB，G是BC中点，因此FG垂直平分CE，
∴EF=FC，结合FG⊥CE，由等腰三角形三线合一得∠EFG=∠CFG，
∴∠DFC=∠EFG，故④正确。
综上，四个结论都正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是平行四边形的综合题，需要熟练掌握特殊四边形的判定与性质、直角三角形的相关性质，结合中点条件转化线段和角的等量关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.6
要判断四个结论是否正确，我们结合平行四边形性质，从已知的中点、垂直、AD=2AB这些条件入手逐个推导：
1. 先利用中点和平行四边形对边平行且相等的性质，判断四边形ABGF的形状，验证②是否正确；
2. 结合CE⊥AB和AB与FG的平行关系，验证①是否正确；
3. 利用直角三角形斜边中线的性质，结合G是BC中点的条件，验证③是否正确；
4. 先通过DF=DC得到角相等，再结合垂直平分线和等腰三角形的性质推导角的等量关系，验证④是否正确。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC。
1. 验证②：
∵F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF=½AD，BG=½BC，
又
∵AD=BC，
∴AF//BG且AF=BG，四边形ABGF是平行四边形，
∵AD=2AB，
∴AF=AB，
∴平行四边形ABGF是菱形，故②正确。
2. 验证①：
∵CE⊥AB，由菱形性质得AB//FG，
∴CE⊥FG，故①正确。
3. 验证③：
∵CE⊥AB，
∴△BEC是直角三角形，
∵G是Rt△BEC斜边BC的中点，
∴EG=½BC，即BC=2EG，故③正确。
4. 验证④：
∵F是AD中点，AD=2AB=2CD，
∴DF=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG//AB，AB//CD，
∴FG//CD，
∴∠DCF=∠CFG，可得∠DFC=∠CFG，
又
∵CE⊥FG，FG//AB，G是BC中点，因此FG垂直平分CE，
∴EF=FC，结合FG⊥CE，由等腰三角形三线合一得∠EFG=∠CFG，
∴∠DFC=∠EFG，故④正确。
综上，四个结论都正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是平行四边形的综合题，需要熟练掌握特殊四边形的判定与性质、直角三角形的相关性质，结合中点条件转化线段和角的等量关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.6
三、解答题
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”如右图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，DG ⊥ GB且DG = 10 m，CG = 60 m，CE ⊥ GB。（不考虑两人身高，点G，C，B在同一水平线上）
(1)求小明与小亮之间的距离CD(结果保留根号)；
(2)若风筝A在小明的北偏东45°方向上，且高度AB为60 m，AB ⊥ GB，求此时风筝A到小亮的距离AD。
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”如右图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，DG ⊥ GB且DG = 10 m，CG = 60 m，CE ⊥ GB。（不考虑两人身高，点G，C，B在同一水平线上）
(1)求小明与小亮之间的距离CD(结果保留根号)；
(2)若风筝A在小明的北偏东45°方向上，且高度AB为60 m，AB ⊥ GB，求此时风筝A到小亮的距离AD。
答案
(1) 10√37 m
(2)130 m
(2)130 m
解析
【分析】
(1) 求CD的长度时，观察到DG垂直GB，可知△DGC是直角三角形，已知两条直角边DG、CG的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边CD的长度；
(2) 求AD的长度时，先过D作DH⊥AB于H，构造出直角三角形AHD；首先根据北偏东45°的条件推出△ABC是等腰直角三角形，求出BC的长度，再证明四边形DGBH是矩形，得到DH、AH的长度，最后在Rt△AHD中用勾股定理计算AD即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $DG ⊥ GB$，
∴ $∠ DGC=90°$，△DGC为直角三角形。
在Rt△DGC中，$DG=10\ \mathrm{m}$，$CG=60\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{DG^2+CG^2}=\sqrt{10^2+60^2}=\sqrt{100+3600}=\sqrt{3700}=10\sqrt{37}\ (\mathrm{m})$
(2) 解：过点D作$DH ⊥ AB$于点H，
∵ $DG ⊥ GB$，$AB ⊥ GB$，$DH ⊥ AB$，
∴ 四边形DGBH是矩形，
∴ $BH=DG=10\ \mathrm{m}$，$DH=GB$。
∵ $CE ⊥ GB$，$∠ ACE=45°$，
∴ $∠ ACB=90°-45°=45°$，
又
∵ $AB ⊥ GB$，即$∠ B=90°$，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ $BC=AB=60\ \mathrm{m}$，
∴ $GB=GC+CB=60+60=120\ (\mathrm{m})$，即$DH=120\ \mathrm{m}$，
$AH=AB-BH=60-10=50\ (\mathrm{m})$，
在Rt△AHD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{DH^2+AH^2}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130\ (\mathrm{m})$
【答案】
(1) $10\sqrt{37}\ \mathrm{m}$
(2) $130\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是构造合适的直角三角形，将所求线段放到直角三角形中结合特殊三角形、特殊四边形的性质计算边长，能够较好地考查学生对基础几何知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求CD的长度时，观察到DG垂直GB，可知△DGC是直角三角形，已知两条直角边DG、CG的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边CD的长度；
(2) 求AD的长度时，先过D作DH⊥AB于H，构造出直角三角形AHD；首先根据北偏东45°的条件推出△ABC是等腰直角三角形，求出BC的长度，再证明四边形DGBH是矩形，得到DH、AH的长度，最后在Rt△AHD中用勾股定理计算AD即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $DG ⊥ GB$，
∴ $∠ DGC=90°$，△DGC为直角三角形。
在Rt△DGC中，$DG=10\ \mathrm{m}$，$CG=60\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{DG^2+CG^2}=\sqrt{10^2+60^2}=\sqrt{100+3600}=\sqrt{3700}=10\sqrt{37}\ (\mathrm{m})$
(2) 解：过点D作$DH ⊥ AB$于点H，
∵ $DG ⊥ GB$，$AB ⊥ GB$，$DH ⊥ AB$，
∴ 四边形DGBH是矩形，
∴ $BH=DG=10\ \mathrm{m}$，$DH=GB$。
∵ $CE ⊥ GB$，$∠ ACE=45°$，
∴ $∠ ACB=90°-45°=45°$，
又
∵ $AB ⊥ GB$，即$∠ B=90°$，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ $BC=AB=60\ \mathrm{m}$，
∴ $GB=GC+CB=60+60=120\ (\mathrm{m})$，即$DH=120\ \mathrm{m}$，
$AH=AB-BH=60-10=50\ (\mathrm{m})$，
在Rt△AHD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{DH^2+AH^2}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130\ (\mathrm{m})$
【答案】
(1) $10\sqrt{37}\ \mathrm{m}$
(2) $130\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是构造合适的直角三角形，将所求线段放到直角三角形中结合特殊三角形、特殊四边形的性质计算边长，能够较好地考查学生对基础几何知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
如图
，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形$A_1B_1C_1O$的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，$OA_1$交BC于点E，$OC_1$交CD于点F。
探究计算：如图，若AB = 2，求四边形OECF的面积。
拓展探究：如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = ∠BCD = 90°，连接AC，若AC = 4，求四边形ABCD的面积。
如图
，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形$A_1B_1C_1O$的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，$OA_1$交BC于点E，$OC_1$交CD于点F。探究计算：如图，若AB = 2，求四边形OECF的面积。
拓展探究：如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = ∠BCD = 90°，连接AC，若AC = 4，求四边形ABCD的面积。
答案
探究计算:1。拓展探究:8。
解析
【分析】
探究计算：要求四边形OECF的面积，直接拆分计算不规则四边形面积较难，可利用正方形的性质找角的等量关系，证明△BOE与△COF全等，将四边形面积转化为规则的△BOC的面积，再结合正方形面积求解即可。
拓展探究：四边形ABCD是不规则四边形，已知AB=AD、∠BAD为直角，可通过旋转将△ABC绕点A旋转使AB与AD重合，把四边形面积转化为等腰直角三角形的面积，再结合AC的长度计算即可。
【解析】
探究计算
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴$S_{正方形ABCD}=2^2=4$，且$OB=OC$，$∠ OBE=∠ OCF=45°$，$∠ BOC=90°$
∵四边形$A_1B_1C_1O$是正方形
∴$∠ A_1OC_1=90°$，即$∠ COF+∠ COE=90°$
又
∵$∠ BOE+∠ COE=∠ BOC=90°$
∴$∠ BOE=∠ COF$
在$△ BOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ OBE=∠ OCF \\OB=OC \\∠ BOE=∠ COF\end{cases}$
∴$△ BOE≌△ COF$（ASA），即$S_{△ BOE}=S_{△ COF}$
∴$S_{四边形OECF}=S_{△ COE}+S_{△ COF}=S_{△ COE}+S_{△ BOE}=S_{△ BOC}$
∵正方形对角线将正方形分为4个面积相等的三角形
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×4=1$
拓展探究
解：将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$，使AB与AD重合，得到$△ ADE$
由旋转性质得：$AE=AC=4$，$∠ CAE=∠ BAD=90°$，$∠ ADE=∠ ABC$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$
∵$∠ BAD=∠ BCD=90°$，四边形内角和为$360°$
∴$∠ ABC+∠ ADC=360°-90°-90°=180°$
∴$∠ ADE+∠ ADC=180°$，即C、D、E三点共线
∴$△ ACE$是等腰直角三角形
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ ADC}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC× AE=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
探究计算：$\boxed{1}$；拓展探究：$\boxed{8}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定与性质，旋转的应用
【点评】
本题核心是通过图形的全等变换或旋转变换，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解，是重叠图形、不规则四边形面积计算的典型考法，需要熟练掌握特殊图形的性质和图形变换的技巧。
【难度系数】
0.65
探究计算：要求四边形OECF的面积，直接拆分计算不规则四边形面积较难，可利用正方形的性质找角的等量关系，证明△BOE与△COF全等，将四边形面积转化为规则的△BOC的面积，再结合正方形面积求解即可。
拓展探究：四边形ABCD是不规则四边形，已知AB=AD、∠BAD为直角，可通过旋转将△ABC绕点A旋转使AB与AD重合，把四边形面积转化为等腰直角三角形的面积，再结合AC的长度计算即可。
【解析】
探究计算
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴$S_{正方形ABCD}=2^2=4$，且$OB=OC$，$∠ OBE=∠ OCF=45°$，$∠ BOC=90°$
∵四边形$A_1B_1C_1O$是正方形
∴$∠ A_1OC_1=90°$，即$∠ COF+∠ COE=90°$
又
∵$∠ BOE+∠ COE=∠ BOC=90°$
∴$∠ BOE=∠ COF$
在$△ BOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ OBE=∠ OCF \\OB=OC \\∠ BOE=∠ COF\end{cases}$
∴$△ BOE≌△ COF$（ASA），即$S_{△ BOE}=S_{△ COF}$
∴$S_{四边形OECF}=S_{△ COE}+S_{△ COF}=S_{△ COE}+S_{△ BOE}=S_{△ BOC}$
∵正方形对角线将正方形分为4个面积相等的三角形
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×4=1$
拓展探究
解：将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$，使AB与AD重合，得到$△ ADE$
由旋转性质得：$AE=AC=4$，$∠ CAE=∠ BAD=90°$，$∠ ADE=∠ ABC$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$
∵$∠ BAD=∠ BCD=90°$，四边形内角和为$360°$
∴$∠ ABC+∠ ADC=360°-90°-90°=180°$
∴$∠ ADE+∠ ADC=180°$，即C、D、E三点共线
∴$△ ACE$是等腰直角三角形
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ ADC}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC× AE=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
探究计算：$\boxed{1}$；拓展探究：$\boxed{8}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定与性质，旋转的应用
【点评】
本题核心是通过图形的全等变换或旋转变换，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解，是重叠图形、不规则四边形面积计算的典型考法，需要熟练掌握特殊图形的性质和图形变换的技巧。
【难度系数】
0.65
