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1. 下列根式中，是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{3a^3}$
B.$\sqrt{\dfrac{a}{7}}$
C.$\sqrt{a^2 + 1}$
D.$\sqrt{a^2 + 2a + 1}$
C
)。A.$\sqrt{3a^3}$
B.$\sqrt{\dfrac{a}{7}}$
C.$\sqrt{a^2 + 1}$
D.$\sqrt{a^2 + 2a + 1}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断最简二次根式，首先明确其判定标准：①被开方数不含分母，即被开方数的因数是整数、因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需用这两个标准逐一排查四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{3a^3}$的被开方数中$a^3=a^2· a$，其中$a^2$是可以开得尽方的因式，可化简为$a\sqrt{3a}$，不是最简二次根式，排除A；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{a}{7}}$的被开方数含有分母7，不符合要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{7a}}{7}$，不是最简二次根式，排除B；
3. 选项C：$\sqrt{a^2+1}$的被开方数是整式，且不存在能开得尽方的因式，符合最简二次根式的定义；
4. 选项D：$\sqrt{a^2+2a+1}$的被开方数可因式分解为$(a+1)^2$，是能开得尽方的因式，可化简为$|a+1|$，不是最简二次根式，排除D。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式板块的基础题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时需要熟练对被开方数进行因式分解、去分母等处理，牢记判定标准即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断最简二次根式，首先明确其判定标准：①被开方数不含分母，即被开方数的因数是整数、因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需用这两个标准逐一排查四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{3a^3}$的被开方数中$a^3=a^2· a$，其中$a^2$是可以开得尽方的因式，可化简为$a\sqrt{3a}$，不是最简二次根式，排除A；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{a}{7}}$的被开方数含有分母7，不符合要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{7a}}{7}$，不是最简二次根式，排除B；
3. 选项C：$\sqrt{a^2+1}$的被开方数是整式，且不存在能开得尽方的因式，符合最简二次根式的定义；
4. 选项D：$\sqrt{a^2+2a+1}$的被开方数可因式分解为$(a+1)^2$，是能开得尽方的因式，可化简为$|a+1|$，不是最简二次根式，排除D。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式板块的基础题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时需要熟练对被开方数进行因式分解、去分母等处理，牢记判定标准即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知 $ x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} $，则 $ \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} $ 的值是（
A.5
B.$ \frac{1}{5} $
C.4
D.$ \frac{1}{4} $
D
）。A.5
B.$ \frac{1}{5} $
C.4
D.$ \frac{1}{4} $
答案
2.D
解析
【分析】
观察所求代数式的结构，分子为$x^2$，分母最高次是$x^4$，是分子最高次的2倍，直接求$x$的值计算十分繁琐。已知条件给出$x+\frac{1}{x}$的和，因此可以采用倒数法，先求所求代数式的倒数，拆分后可得到$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，再利用完全平方公式对已知条件变形，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，最后倒回即可得到原式的结果。
【解析】
解：先求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的倒数：
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
已知$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$得：
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
代入左边计算得$(\sqrt{5})^2=5$，因此：
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$
移项得$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5-2=3$
将结果代入倒数的表达式：
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = 3 + 1 = 4$
因此原式$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、分式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心技巧是通过倒数法转化所求代数式，结合完全平方公式的变形进行整体代入，无需直接求解$x$的值即可简化运算，考查学生对代数式变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式的结构，分子为$x^2$，分母最高次是$x^4$，是分子最高次的2倍，直接求$x$的值计算十分繁琐。已知条件给出$x+\frac{1}{x}$的和，因此可以采用倒数法，先求所求代数式的倒数，拆分后可得到$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，再利用完全平方公式对已知条件变形，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，最后倒回即可得到原式的结果。
【解析】
解：先求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的倒数：
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
已知$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$得：
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
代入左边计算得$(\sqrt{5})^2=5$，因此：
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$
移项得$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5-2=3$
将结果代入倒数的表达式：
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = 3 + 1 = 4$
因此原式$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、分式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心技巧是通过倒数法转化所求代数式，结合完全平方公式的变形进行整体代入，无需直接求解$x$的值即可简化运算，考查学生对代数式变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. 下列关于二次根式的说法不 正 确 的是(
A.$\sqrt{2}$是2的算术平方根
B.若$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，则$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
C.$\sqrt{8}$与$\sqrt{18}$可以合并
D.$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 1$
D
)。A.$\sqrt{2}$是2的算术平方根
B.若$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，则$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
C.$\sqrt{8}$与$\sqrt{18}$可以合并
D.$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 1$
答案
3.D
解析
【分析】
这是一道二次根式相关概念与运算的正误判断题，解题时需逐一分析每个选项，结合对应知识点判断对错，最终选出不正确的选项。解题时先回忆算术平方根的定义、二次根式乘法法则的成立条件、同类二次根式的判断方法以及完全平方公式在二次根式运算中的应用，逐个排查选项即可。
【解析】
对每个选项逐一分析如下：
A选项：根据算术平方根的定义，非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，因此$\sqrt{2}$是2的算术平方根，该选项说法正确，不符合题意。
B选项：若$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$成立，说明$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$都有意义，即满足$a≥0$、$b≥0$，符合二次根式乘法法则的成立条件，因此$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$也成立，该选项说法正确，不符合题意。
C选项：先化简两个二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，二者被开方数相同，属于同类二次根式，可以合并，该选项说法正确，不符合题意。
D选项：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}≠1$
该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根定义；二次根式运算法则；同类二次根式
【点评】
本题综合考查二次根式的基础知识点，需要熟练掌握二次根式的相关性质、运算公式以及公式成立的前提条件，计算时要注意避免完全平方公式的运用错误。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式相关概念与运算的正误判断题，解题时需逐一分析每个选项，结合对应知识点判断对错，最终选出不正确的选项。解题时先回忆算术平方根的定义、二次根式乘法法则的成立条件、同类二次根式的判断方法以及完全平方公式在二次根式运算中的应用，逐个排查选项即可。
【解析】
对每个选项逐一分析如下：
A选项：根据算术平方根的定义，非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，因此$\sqrt{2}$是2的算术平方根，该选项说法正确，不符合题意。
B选项：若$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$成立，说明$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$都有意义，即满足$a≥0$、$b≥0$，符合二次根式乘法法则的成立条件，因此$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$也成立，该选项说法正确，不符合题意。
C选项：先化简两个二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，二者被开方数相同，属于同类二次根式，可以合并，该选项说法正确，不符合题意。
D选项：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}≠1$
该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根定义；二次根式运算法则；同类二次根式
【点评】
本题综合考查二次根式的基础知识点，需要熟练掌握二次根式的相关性质、运算公式以及公式成立的前提条件，计算时要注意避免完全平方公式的运用错误。
【难度系数】
0.8
1.已知$a + b = -8$，$ab = 6$，则$b\sqrt{\frac{b}{a}} + a\sqrt{\frac{a}{b}} =$
$-\frac{26\sqrt{6}}{3}$
。答案
1.$-\frac{26\sqrt{6}}{3}$
解析
【分析】
解题时首先要根据已知条件判断a、b的符号：由a+b为负、ab为正，可推出a和b都是负数，这是正确化简二次根式的前提。接着利用二次根式的性质，将根号内的分式变形后开方，注意负数的绝对值是它的相反数，避免符号错误。最后将化简后的式子整理，用完全平方公式的变形把a+b、ab整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $a+b=-8＜0$，$ab=6＞0$，
∴ $a＜0$，$b＜0$。
对原式化简：
$\begin{aligned}b\sqrt{\frac{b}{a}} + a\sqrt{\frac{a}{b}}&=b·\sqrt{\frac{ab}{a^2}} + a·\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} + a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{-a} + a·\frac{\sqrt{ab}}{-b}\\&=-\sqrt{ab}·(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})\\&=-\sqrt{ab}·\frac{a^2+b^2}{ab}\\&=-\sqrt{ab}·\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-8$，$ab=6$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\sqrt{6}×\frac{(-8)^2-2×6}{6}\\&=-\sqrt{6}×\frac{64-12}{6}\\&=-\sqrt{6}×\frac{52}{6}\\&=-\frac{26\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{26\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题易错点是忽略a、b的符号，直接化简二次根式导致符号出错，解题关键是先判断字母正负性，再结合二次根式性质化简，最后用整体思想代入计算即可。
【难度系数】
0.5
解题时首先要根据已知条件判断a、b的符号：由a+b为负、ab为正，可推出a和b都是负数，这是正确化简二次根式的前提。接着利用二次根式的性质，将根号内的分式变形后开方，注意负数的绝对值是它的相反数，避免符号错误。最后将化简后的式子整理，用完全平方公式的变形把a+b、ab整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $a+b=-8＜0$，$ab=6＞0$，
∴ $a＜0$，$b＜0$。
对原式化简：
$\begin{aligned}b\sqrt{\frac{b}{a}} + a\sqrt{\frac{a}{b}}&=b·\sqrt{\frac{ab}{a^2}} + a·\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} + a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{-a} + a·\frac{\sqrt{ab}}{-b}\\&=-\sqrt{ab}·(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})\\&=-\sqrt{ab}·\frac{a^2+b^2}{ab}\\&=-\sqrt{ab}·\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-8$，$ab=6$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\sqrt{6}×\frac{(-8)^2-2×6}{6}\\&=-\sqrt{6}×\frac{64-12}{6}\\&=-\sqrt{6}×\frac{52}{6}\\&=-\frac{26\sqrt{6}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{26\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题易错点是忽略a、b的符号，直接化简二次根式导致符号出错，解题关键是先判断字母正负性，再结合二次根式性质化简，最后用整体思想代入计算即可。
【难度系数】
0.5
2.若$a = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}, b = \frac{1}{2 - \sqrt{5}}$，则$\frac{3a^2 - 3b^2}{a - b} =$
-12
。答案
2.-12
解析
【分析】
首先观察所求代数式$\frac{3a^2 - 3b^2}{a - b}$，分子可以先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解，约分后可将原式简化为$3(a+b)$，避免直接计算$a^2、b^2$的复杂运算。接下来只需要对$a、b$分别进行分母有理化，求出$a+b$的值，再代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
第一步：化简所求代数式
$\frac{3a^2 - 3b^2}{a - b} = \frac{3(a^2 - b^2)}{a - b}$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
原式$=\frac{3(a-b)(a+b)}{a - b}$
由题可知$a≠ b$，因此可以约去分子分母的$(a-b)$，得：
原式$=3(a+b)$
第二步：对$a、b$进行分母有理化
计算$a$：$a=\frac{1}{2+\sqrt{5}}$，分子分母同乘$(\sqrt{5}-2)$（即分母的有理化因式）：
$a=\frac{1×(\sqrt{5}-2)}{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$
计算$b$：$b=\frac{1}{2-\sqrt{5}}$，分子分母同乘$(2+\sqrt{5})$（即分母的有理化因式）：
$b=\frac{1×(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}=\frac{2+\sqrt{5}}{2^2 - (\sqrt{5})^2}=\frac{2+\sqrt{5}}{4-5}=-2-\sqrt{5}$
第三步：计算$a+b$并代入求值
$a+b=(\sqrt{5}-2)+(-2-\sqrt{5})=-4$
代入$3(a+b)$得：$3×(-4)=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
平方差公式，分母有理化，分式化简求值
【点评】
这道题是典型的代数式化简求值题，先化简所求式子再代入计算的思路，能有效减少计算量，降低出错概率，是代数运算中需要熟练掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式$\frac{3a^2 - 3b^2}{a - b}$，分子可以先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解，约分后可将原式简化为$3(a+b)$，避免直接计算$a^2、b^2$的复杂运算。接下来只需要对$a、b$分别进行分母有理化，求出$a+b$的值，再代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
第一步：化简所求代数式
$\frac{3a^2 - 3b^2}{a - b} = \frac{3(a^2 - b^2)}{a - b}$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
原式$=\frac{3(a-b)(a+b)}{a - b}$
由题可知$a≠ b$，因此可以约去分子分母的$(a-b)$，得：
原式$=3(a+b)$
第二步：对$a、b$进行分母有理化
计算$a$：$a=\frac{1}{2+\sqrt{5}}$，分子分母同乘$(\sqrt{5}-2)$（即分母的有理化因式）：
$a=\frac{1×(\sqrt{5}-2)}{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$
计算$b$：$b=\frac{1}{2-\sqrt{5}}$，分子分母同乘$(2+\sqrt{5})$（即分母的有理化因式）：
$b=\frac{1×(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}=\frac{2+\sqrt{5}}{2^2 - (\sqrt{5})^2}=\frac{2+\sqrt{5}}{4-5}=-2-\sqrt{5}$
第三步：计算$a+b$并代入求值
$a+b=(\sqrt{5}-2)+(-2-\sqrt{5})=-4$
代入$3(a+b)$得：$3×(-4)=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
平方差公式，分母有理化，分式化简求值
【点评】
这道题是典型的代数式化简求值题，先化简所求式子再代入计算的思路，能有效减少计算量，降低出错概率，是代数运算中需要熟练掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.7
3.已知$x$为奇数，且满足等式$\sqrt{\dfrac{x - 6}{9 - x}} = \dfrac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{9 - x}}$，则$\sqrt{1 + 2x + x^2} + \sqrt{3x - 1}$的值为
$8 + 2\sqrt{5}$
。答案
3.$8 + 2\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，第一步需根据二次根式商的运算性质的成立条件，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围；第二步结合题目给出的“x为奇数”的限制条件，确定x的具体取值；第三步先化简要求的代数式，再代入x的值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：根据二次根式商的算术平方根的成立条件，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$需满足$a≥0$且$b＞0$，因此可得不等式组：
$\begin{cases}x - 6 ≥ 0 \\9 - x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$x-6≥0$，得$x≥6$；
解不等式$9-x＞0$，得$x＜9$；
综上可得x的取值范围为$6≤ x＜9$。
又因为x是奇数，所以$x=7$。
接下来化简所求代数式：
$\sqrt{1 + 2x + x^2} + \sqrt{3x - 1} = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{3x - 1}$
由于$x=7＞0$，因此$x+1＞0$，所以$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=x+1$。
将$x=7$代入化简后的式子计算：
原式$=7+1 + \sqrt{3×7 - 1} = 8 + \sqrt{20} = 8 + 2\sqrt{5}$
【答案】
$8 + 2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题核心考察二次根式的性质应用，解题关键是先根据二次根式的成立条件确定未知参数的取值范围，再结合限制条件得到参数的具体值，最后代入计算。易错点是容易忽略分母对应的二次根式被开方数必须大于0，导致x的取值范围出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，第一步需根据二次根式商的运算性质的成立条件，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围；第二步结合题目给出的“x为奇数”的限制条件，确定x的具体取值；第三步先化简要求的代数式，再代入x的值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：根据二次根式商的算术平方根的成立条件，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$需满足$a≥0$且$b＞0$，因此可得不等式组：
$\begin{cases}x - 6 ≥ 0 \\9 - x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$x-6≥0$，得$x≥6$；
解不等式$9-x＞0$，得$x＜9$；
综上可得x的取值范围为$6≤ x＜9$。
又因为x是奇数，所以$x=7$。
接下来化简所求代数式：
$\sqrt{1 + 2x + x^2} + \sqrt{3x - 1} = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{3x - 1}$
由于$x=7＞0$，因此$x+1＞0$，所以$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=x+1$。
将$x=7$代入化简后的式子计算：
原式$=7+1 + \sqrt{3×7 - 1} = 8 + \sqrt{20} = 8 + 2\sqrt{5}$
【答案】
$8 + 2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题核心考察二次根式的性质应用，解题关键是先根据二次根式的成立条件确定未知参数的取值范围，再结合限制条件得到参数的具体值，最后代入计算。易错点是容易忽略分母对应的二次根式被开方数必须大于0，导致x的取值范围出错。
【难度系数】
0.7
4. 如右图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形$OA_1B_1C_1$的两边在坐标轴上,以它的对角线$OB_1$为边作正方形$OB_1B_2C_2$,再以正方形$OB_1B_2C_2$的对角线$OB_2$为边作正方形$OB_2B_3C_3$,…,以此类推,则正方形$OB_{2024}B_{2025}C_{2025}$的顶点$B_{2025}$的坐标是
$(2^{1013},2^{1013})$
。答案
4.$(2^{1013},2^{1013})$
解析
【分析】
首先计算前几个B点的坐标，总结两类规律：一是位置规律，B点的位置每8个为一个循环周期，依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴；二是长度规律，每作一次新正方形，对角线长度变为原来的$\sqrt{2}$倍。先判断$B_{2025}$所在的象限，再结合勾股定理计算坐标数值即可。
【解析】
1. 求前序点坐标，找规律
边长为2的正方形$OA_1B_1C_1$中，$B_1$坐标为$(2,2)$，由勾股定理得$OB_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
以$OB_1$为边作正方形$OB_1B_2C_2$，其对角线$OB_2$长度为$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$，$B_2$在y轴正半轴，坐标为$(0,4)$；
同理可推得：$B_3(-4,4)$，$B_4(-8,0)$，$B_5(-8,-8)$，$B_6(0,-16)$，$B_7(16,-16)$，$B_8(32,0)$，$B_9(32,32)$……
2. 判断$B_{2025}$的位置
观察得B点位置每8个一循环，当n除以8余1时，$B_n$在第一象限，横纵坐标相等。
计算$2025÷8=253······1$，因此$B_{2025}$在第一象限，满足$x=y＞0$。
3. 计算坐标数值
$OB_n$的长度为$2×(\sqrt{2})^n$，对第一象限的$B_n$，由勾股定理得$x^2+y^2=OB_n^2$，结合$x=y$得$2x^2=OB_n^2$。
代入$n=2025$：
$OB_{2025}^2=[2×(\sqrt{2})^{2025}]^2=4×2^{2025}=2^{2027}$
则$2x^2=2^{2027}$，化简得$x^2=2^{2026}$，即$x=2^{1013}$，因此$y=2^{1013}$。
【答案】
$(2^{1013},2^{1013})$
【知识点】
点的坐标规律探究，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是先通过计算前几个点的坐标归纳出位置的循环规律，再结合正方形对角线与边长的关系、勾股定理推导坐标的数值规律，对学生的归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先计算前几个B点的坐标，总结两类规律：一是位置规律，B点的位置每8个为一个循环周期，依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴；二是长度规律，每作一次新正方形，对角线长度变为原来的$\sqrt{2}$倍。先判断$B_{2025}$所在的象限，再结合勾股定理计算坐标数值即可。
【解析】
1. 求前序点坐标，找规律
边长为2的正方形$OA_1B_1C_1$中，$B_1$坐标为$(2,2)$，由勾股定理得$OB_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
以$OB_1$为边作正方形$OB_1B_2C_2$，其对角线$OB_2$长度为$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$，$B_2$在y轴正半轴，坐标为$(0,4)$；
同理可推得：$B_3(-4,4)$，$B_4(-8,0)$，$B_5(-8,-8)$，$B_6(0,-16)$，$B_7(16,-16)$，$B_8(32,0)$，$B_9(32,32)$……
2. 判断$B_{2025}$的位置
观察得B点位置每8个一循环，当n除以8余1时，$B_n$在第一象限，横纵坐标相等。
计算$2025÷8=253······1$，因此$B_{2025}$在第一象限，满足$x=y＞0$。
3. 计算坐标数值
$OB_n$的长度为$2×(\sqrt{2})^n$，对第一象限的$B_n$，由勾股定理得$x^2+y^2=OB_n^2$，结合$x=y$得$2x^2=OB_n^2$。
代入$n=2025$：
$OB_{2025}^2=[2×(\sqrt{2})^{2025}]^2=4×2^{2025}=2^{2027}$
则$2x^2=2^{2027}$，化简得$x^2=2^{2026}$，即$x=2^{1013}$，因此$y=2^{1013}$。
【答案】
$(2^{1013},2^{1013})$
【知识点】
点的坐标规律探究，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是先通过计算前几个点的坐标归纳出位置的循环规律，再结合正方形对角线与边长的关系、勾股定理推导坐标的数值规律，对学生的归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
