登录
24.定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$(其中$a,b,c$互不相同,且均不为0)中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的方程叫“变更方程”.例如:$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$.
(1)方程$2x-3y=4$与它的“变更方程”组成的方程组的解为;
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,且$ax+by=c$与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于$x,y$的二元一次方程$mx+ny=p$的一组解,求代数式$(m+n)m-p(n+p)+2026$的值.
(1)方程$2x-3y=4$与它的“变更方程”组成的方程组的解为;
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,且$ax+by=c$与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于$x,y$的二元一次方程$mx+ny=p$的一组解,求代数式$(m+n)m-p(n+p)+2026$的值.
答案
(1)
方程$2x-3y=4$的“变更方程”为$4x-3y=2$，组成方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 4 \\4x - 3y = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2x=-2$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入$2x-3y=4$，得$-2-3y=4$，解得$y=-2$。
所以方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}}$。
---
(2)
解：
由题意得原方程和它的“变更方程”组成的方程组为：
$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$(a - c)x = c - a$。
因为$a,b,c$互不相同且均不为0，所以$a - c ≠ 0$，
因此$x=\frac{c-a}{a-c}=-1$。
把$x=-1$代入$ax+by=c$，得$-a + by = c$，整理得$by = a + c$。
已知$a + b + c = 0$，即$a + c = -b$，代入上式得$by=-b$。
又$b≠0$，所以$y=-1$。
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$代入$mx+ny=p$，得$-m -n = p$，即$m+n=-p$，$n+p=-m$。
将$m+n=-p$、$n+p=-m$代入代数式：
$\begin{aligned}&(m+n)m - p(n+p) + 2026\\=&(-p)· m - p· (-m) + 2026\\=&-pm + pm + 2026\\=&2026\end{aligned}$
最终代数式的值为$\boldsymbol{2026}$。
方程$2x-3y=4$的“变更方程”为$4x-3y=2$，组成方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 4 \\4x - 3y = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2x=-2$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入$2x-3y=4$，得$-2-3y=4$，解得$y=-2$。
所以方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}}$。
---
(2)
解：
由题意得原方程和它的“变更方程”组成的方程组为：
$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$(a - c)x = c - a$。
因为$a,b,c$互不相同且均不为0，所以$a - c ≠ 0$，
因此$x=\frac{c-a}{a-c}=-1$。
把$x=-1$代入$ax+by=c$，得$-a + by = c$，整理得$by = a + c$。
已知$a + b + c = 0$，即$a + c = -b$，代入上式得$by=-b$。
又$b≠0$，所以$y=-1$。
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$代入$mx+ny=p$，得$-m -n = p$，即$m+n=-p$，$n+p=-m$。
将$m+n=-p$、$n+p=-m$代入代数式：
$\begin{aligned}&(m+n)m - p(n+p) + 2026\\=&(-p)· m - p· (-m) + 2026\\=&-pm + pm + 2026\\=&2026\end{aligned}$
最终代数式的值为$\boldsymbol{2026}$。
解析
【分析】
(1) 解题首先要明确“变更方程”的定义：将二元一次方程中x的系数和常数项互换，其余部分不变。先写出方程$2x-3y=4$的变更方程，再将两个方程联立成二元一次方程组，用加减消元法消去y，先求解x，再代入求y即可得到方程组的解。
(2) 首先根据“变更方程”的定义，写出原方程$ax+by=c$和其变更方程联立的方程组，通过加减消元法消去y，结合题目给出的a、c互不相等且均不为0的条件，求出x的值；再结合已知$a+b+c=0$的条件求出y的值，得到方程组的解后将其代入$mx+ny=p$，推导得出m、n、p的数量关系，最后代入所求代数式化简即可得到结果。
【解析】
(1) 方程$2x-3y=4$的“变更方程”为$4x-3y=2$，组成方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 4 \\4x - 3y = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2x=-2$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入$2x-3y=4$，得$-2-3y=4$，解得$y=-2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}$。
(2) 由题意得原方程和它的“变更方程”组成的方程组为：
$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$(a - c)x = c - a$。
因为$a,b,c$互不相同且均不为0，所以$a - c ≠ 0$，
因此$x=\frac{c-a}{a-c}=-1$。
把$x=-1$代入$ax+by=c$，得$-a + by = c$，整理得$by = a + c$。
已知$a + b + c = 0$，即$a + c = -b$，代入上式得$by=-b$。
又$b≠0$，所以$y=-1$。
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$代入$mx+ny=p$，得$-m -n = p$，即$m+n=-p$，$n+p=-m$。
将$m+n=-p$、$n+p=-m$代入代数式：
$\begin{aligned}&(m+n)m - p(n+p) + 2026\\=&(-p)· m - p· (-m) + 2026\\=&-pm + pm + 2026\\=&2026\end{aligned}$
最终代数式的值为$2026$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}$；(2)$2026$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式化简求值
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程组的求解和代数式的化简运算，解题关键是准确理解“变更方程”的定义，灵活运用加减消元法求解方程组，再通过代入参数关系化简代数式，注重对学生阅读理解能力和基础代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 解题首先要明确“变更方程”的定义：将二元一次方程中x的系数和常数项互换，其余部分不变。先写出方程$2x-3y=4$的变更方程，再将两个方程联立成二元一次方程组，用加减消元法消去y，先求解x，再代入求y即可得到方程组的解。
(2) 首先根据“变更方程”的定义，写出原方程$ax+by=c$和其变更方程联立的方程组，通过加减消元法消去y，结合题目给出的a、c互不相等且均不为0的条件，求出x的值；再结合已知$a+b+c=0$的条件求出y的值，得到方程组的解后将其代入$mx+ny=p$，推导得出m、n、p的数量关系，最后代入所求代数式化简即可得到结果。
【解析】
(1) 方程$2x-3y=4$的“变更方程”为$4x-3y=2$，组成方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 4 \\4x - 3y = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2x=-2$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入$2x-3y=4$，得$-2-3y=4$，解得$y=-2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}$。
(2) 由题意得原方程和它的“变更方程”组成的方程组为：
$\begin{cases}ax + by = c \\ cx + by = a \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$(a - c)x = c - a$。
因为$a,b,c$互不相同且均不为0，所以$a - c ≠ 0$，
因此$x=\frac{c-a}{a-c}=-1$。
把$x=-1$代入$ax+by=c$，得$-a + by = c$，整理得$by = a + c$。
已知$a + b + c = 0$，即$a + c = -b$，代入上式得$by=-b$。
又$b≠0$，所以$y=-1$。
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$。
把$\begin{cases}x=-1 \\ y=-1\end{cases}$代入$mx+ny=p$，得$-m -n = p$，即$m+n=-p$，$n+p=-m$。
将$m+n=-p$、$n+p=-m$代入代数式：
$\begin{aligned}&(m+n)m - p(n+p) + 2026\\=&(-p)· m - p· (-m) + 2026\\=&-pm + pm + 2026\\=&2026\end{aligned}$
最终代数式的值为$2026$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}$；(2)$2026$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式化简求值
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程组的求解和代数式的化简运算，解题关键是准确理解“变更方程”的定义，灵活运用加减消元法求解方程组，再通过代入参数关系化简代数式，注重对学生阅读理解能力和基础代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
25.【观察思考】
第1个方程组为$\begin{cases}2x + y = 4, \\x - y = -1,\end{cases}$解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 2;\end{cases}$
第2个方程组为$\begin{cases}3x + y = 7, \\2x - y = -2,\end{cases}$解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 4;\end{cases}$
第3个方程组为$\begin{cases}4x + y = 10, \\3x - y = -3,\end{cases}$解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 6;\end{cases}$
……
【发现规律】
(1)按照以上规律,写出第4个方程组为________,解为________;
(2)写出你猜想的第$n$个方程组为________,它的解为________;(用含$n$的式子表示)
【应用规律】
(3)已知方程组$\begin{cases}mx + y = 43, \\(m - 1)x - y = -k,\end{cases}$且存在上面这样的方程组规律,求$m$和$k$的值.
第1个方程组为$\begin{cases}2x + y = 4, \\x - y = -1,\end{cases}$解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 2;\end{cases}$
第2个方程组为$\begin{cases}3x + y = 7, \\2x - y = -2,\end{cases}$解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 4;\end{cases}$
第3个方程组为$\begin{cases}4x + y = 10, \\3x - y = -3,\end{cases}$解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 6;\end{cases}$
……
【发现规律】
(1)按照以上规律,写出第4个方程组为________,解为________;
(2)写出你猜想的第$n$个方程组为________,它的解为________;(用含$n$的式子表示)
【应用规律】
(3)已知方程组$\begin{cases}mx + y = 43, \\(m - 1)x - y = -k,\end{cases}$且存在上面这样的方程组规律,求$m$和$k$的值.
答案
解：
(1) 第4个方程组为$\begin{cases}5x + y = 13, \\4x - y = -4,\end{cases}$，解为$\begin{cases}x=1, \\y=8;\end{cases}$
(2) 第$n$个方程组为$\begin{cases}(n+1)x + y = 3n + 1, \\nx - y = -n,\end{cases}$，它的解为$\begin{cases}x=1, \\y=2n;\end{cases}$
(3) 根据上述规律，该方程组对应第$n$个方程组，可得：
$3n+1=43$
解得$n=14$
由第$n$个方程组的形式可知：
$m = n+1 = 14+1 = 15$
且$-k = -n$，即$k = n = 14$
综上，$m$的值为$15$，$k$的值为$14$。
(1) 第4个方程组为$\begin{cases}5x + y = 13, \\4x - y = -4,\end{cases}$，解为$\begin{cases}x=1, \\y=8;\end{cases}$
(2) 第$n$个方程组为$\begin{cases}(n+1)x + y = 3n + 1, \\nx - y = -n,\end{cases}$，它的解为$\begin{cases}x=1, \\y=2n;\end{cases}$
(3) 根据上述规律，该方程组对应第$n$个方程组，可得：
$3n+1=43$
解得$n=14$
由第$n$个方程组的形式可知：
$m = n+1 = 14+1 = 15$
且$-k = -n$，即$k = n = 14$
综上，$m$的值为$15$，$k$的值为$14$。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的规律探究题，解题思路如下：首先观察前3个给出的方程组的系数、常数项、解的变化特征，总结通用规律：①所有方程组的解中x恒为1，y的值是序号数的2倍；②第一个方程x的系数为序号+1，右边常数项每次增加3；③第二个方程x的系数等于序号数，右边常数项为负的序号数。接下来按照规律写出第4个方程组、第n个方程组及对应解，最后把第(3)问的方程组和总结的第n个方程组对应，列等式求出参数即可。
【解析】
(1) 观察前3个方程组的变化规律：
第1个到第3个方程组，第一个方程x的系数依次为2、3、4，右边常数依次为4、7、10；第二个方程x的系数依次为1、2、3，右边常数依次为-1、-2、-3；解的y值依次为2、4、6。
因此第4个方程组第一个方程x系数为$4+1=5$，右边常数为$10+3=13$，第二个方程x系数为4，右边常数为$-4$，解的y值为$2×4=8$。
(2) 设序号为n（n为正整数），则第n个方程组第一个方程x系数为$n+1$，右边常数为$3n+1$，第二个方程x系数为$n$，右边常数为$-n$，解的y值为$2n$，x恒为1。
(3) 已知方程组符合上述规律，对应第n个方程组的结构：
由第一个方程右边常数相等，得$3n + 1 = 43$，解得$n=14$；
对比第一个方程x的系数，得$m = n + 1 = 14 + 1 = 15$；
对比第二个方程右边常数，得$-k = -n$，即$k = n =14$。
【答案】
(1) $\begin{cases}5x + y = 13, \\4x - y = -4,\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}(n+1)x + y = 3n + 1, \\nx - y = -n,\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=2n;\end{cases}$
(3) $m=15$，$k=14$
【知识点】
二元一次方程组，规律探究，代数式求值
【点评】
本题侧重考查归纳推理能力，需要从多个已知案例中提炼通用规律，再将规律应用到未知问题中，能锻炼学生观察、总结、应用的综合解题能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的规律探究题，解题思路如下：首先观察前3个给出的方程组的系数、常数项、解的变化特征，总结通用规律：①所有方程组的解中x恒为1，y的值是序号数的2倍；②第一个方程x的系数为序号+1，右边常数项每次增加3；③第二个方程x的系数等于序号数，右边常数项为负的序号数。接下来按照规律写出第4个方程组、第n个方程组及对应解，最后把第(3)问的方程组和总结的第n个方程组对应，列等式求出参数即可。
【解析】
(1) 观察前3个方程组的变化规律：
第1个到第3个方程组，第一个方程x的系数依次为2、3、4，右边常数依次为4、7、10；第二个方程x的系数依次为1、2、3，右边常数依次为-1、-2、-3；解的y值依次为2、4、6。
因此第4个方程组第一个方程x系数为$4+1=5$，右边常数为$10+3=13$，第二个方程x系数为4，右边常数为$-4$，解的y值为$2×4=8$。
(2) 设序号为n（n为正整数），则第n个方程组第一个方程x系数为$n+1$，右边常数为$3n+1$，第二个方程x系数为$n$，右边常数为$-n$，解的y值为$2n$，x恒为1。
(3) 已知方程组符合上述规律，对应第n个方程组的结构：
由第一个方程右边常数相等，得$3n + 1 = 43$，解得$n=14$；
对比第一个方程x的系数，得$m = n + 1 = 14 + 1 = 15$；
对比第二个方程右边常数，得$-k = -n$，即$k = n =14$。
【答案】
(1) $\begin{cases}5x + y = 13, \\4x - y = -4,\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}(n+1)x + y = 3n + 1, \\nx - y = -n,\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=2n;\end{cases}$
(3) $m=15$，$k=14$
【知识点】
二元一次方程组，规律探究，代数式求值
【点评】
本题侧重考查归纳推理能力，需要从多个已知案例中提炼通用规律，再将规律应用到未知问题中，能锻炼学生观察、总结、应用的综合解题能力。
【难度系数】
0.7
