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1. 一农家乐基地里养了$a$只鸡，$b$只兔，则共有个头，条腿。
答案
$a+b$；$2a+4b$
解析
根据生活常识，1只鸡有1个头、2条腿，1只兔有1个头、4条腿。总头数是鸡的头数与兔的头数之和，a只鸡对应a个头，b只兔对应b个头，因此总头数为a+b；总腿数是鸡的总腿数与兔的总腿数之和，a只鸡总腿数为2a，b只兔总腿数为4b，因此总腿数为2a+4b。
2. 单项式$-\dfrac{3x^2yz^3}{2}$的系数是________，次数是________；多项式$6x^2 - 2x + 7$是________次________项式。
答案
$-\dfrac{3}{2}$；6；二；三
解析
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，可得单项式$-\dfrac{3x^2yz^3}{2}$的数字因数为$-\dfrac{3}{2}$，即系数是$-\dfrac{3}{2}$；根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，该式中字母x、y、z的指数分别为2、1、3，指数和为$2+1+3=6$，即次数是6。根据多项式的相关定义：多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式含有几项就叫几项式，多项式$6x^2 - 2x + 7$中最高次项是$6x^2$，次数为2，该多项式共包含$6x^2$、$-2x$、$7$三项，因此它是二次三项式。
3. 若$m,n$互为倒数，则$mn^2-(n-1)$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
1
解析
根据倒数的定义，若两个数互为倒数，则它们的乘积为1，因此由m，n互为倒数可得mn=1。对所求代数式去括号、变形：
$mn^2-(n-1)=mn· n -n +1$
将mn=1代入上式，可得：
$原式=1× n -n +1 = n-n+1=1$
$mn^2-(n-1)=mn· n -n +1$
将mn=1代入上式，可得：
$原式=1× n -n +1 = n-n+1=1$
4. 当$x=-2$时,代数式$\sqrt{5x^2 - 3x - 1}$的值是$\underline{\hspace{10cm}}$。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
将$x=-2$代入代数式的被开方数中逐步计算：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$，可得$5x^2=5×4=20$
2. 再计算一次项：$-3x=-3×(-2)=6$
3. 合并计算被开方数：$5x^2 - 3x -1 = 20 + 6 -1 = 25$
4. 最后计算算术平方根：$\sqrt{25}=5$，得到代数式的结果。
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$，可得$5x^2=5×4=20$
2. 再计算一次项：$-3x=-3×(-2)=6$
3. 合并计算被开方数：$5x^2 - 3x -1 = 20 + 6 -1 = 25$
4. 最后计算算术平方根：$\sqrt{25}=5$，得到代数式的结果。
5. 代数式$a+b^2$的意义是()。
A.$a$与$b$的和的平方
B.$a,b$两数的平方和
C.$a$与$b$的平方
D.$a$与$b$的平方的和
A.$a$与$b$的和的平方
B.$a,b$两数的平方和
C.$a$与$b$的平方
D.$a$与$b$的平方的和
答案
D
解析
逐一比对各选项对应的代数式：
1. 选项A对应代数式为$(a+b)^2$，与题干$a+b^2$不符；
2. 选项B对应代数式为$a^2+b^2$，与题干$a+b^2$不符；
3. 选项C表述不完整，不存在和的运算关系，与题干代数式结构不符；
4. 选项D“a与b的平方的和”对应的代数式就是$a+b^2$，和题干一致。
1. 选项A对应代数式为$(a+b)^2$，与题干$a+b^2$不符；
2. 选项B对应代数式为$a^2+b^2$，与题干$a+b^2$不符；
3. 选项C表述不完整，不存在和的运算关系，与题干代数式结构不符；
4. 选项D“a与b的平方的和”对应的代数式就是$a+b^2$，和题干一致。
6. 先化简,再求值:$2(a^{2}b+ab^{2})-2(a^{2}b-1)-3(ab^{2}+1)$,其中$a=-2,b=2$。
答案
7
解析
1. 去括号：根据乘法分配律和去括号法则展开原式
原式=2a²b + 2ab² - 2a²b + 2 - 3ab² - 3
2. 合并同类项：将同类项的系数分别相加减
=(2a²b - 2a²b) + (2ab² - 3ab²) + (2 - 3)
= -ab² - 1
3. 代入数值计算：把a=-2，b=2代入化简后的式子
原式= -(-2)×2² - 1 = 2×4 - 1 = 8 - 1 = 7
原式=2a²b + 2ab² - 2a²b + 2 - 3ab² - 3
2. 合并同类项：将同类项的系数分别相加减
=(2a²b - 2a²b) + (2ab² - 3ab²) + (2 - 3)
= -ab² - 1
3. 代入数值计算：把a=-2，b=2代入化简后的式子
原式= -(-2)×2² - 1 = 2×4 - 1 = 8 - 1 = 7
7. 当$ a $取非常大的数时，代数式$\dfrac{3a - 100}{6a}$的值接近于（）。
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.1
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.1
答案
A
解析
先对代数式拆分变形：
$\dfrac{3a - 100}{6a}=\dfrac{3a}{6a}-\dfrac{100}{6a}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{100}{6a}$
当$a$取非常大的数时，$\dfrac{100}{6a}$的数值会无限趋近于0，因此该代数式的值接近于$\dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{3a - 100}{6a}=\dfrac{3a}{6a}-\dfrac{100}{6a}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{100}{6a}$
当$a$取非常大的数时，$\dfrac{100}{6a}$的数值会无限趋近于0，因此该代数式的值接近于$\dfrac{1}{2}$。
8. 如图甲,把一个长为m、宽为n的长方形(m＞n)沿虚线剪开,拼接成图乙,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为()。
A.$m-n$
B.$\dfrac{m-n}{2}$
C.$\dfrac{m}{2}$
D.$\dfrac{n}{2}$
A.$m-n$
B.$\dfrac{m-n}{2}$
C.$\dfrac{m}{2}$
D.$\dfrac{n}{2}$
答案
B
解析
设去掉的小正方形的边长为$a$。
方法1：从拼接后大正方形的边长相等分析：拼接得到的大正方形的边长，水平方向可表示为$m-a$，竖直方向可表示为$n+a$，因此有$m-a = n+a$，移项整理得$2a = m-n$，即$a=\frac{m-n}{2}$。
方法2：用面积验证：原长方形面积为$mn$，图乙的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即$(n+a)^2 -a^2 = mn$，展开化简得$n^2+2na=mn$，两边除以非零的$n$，同样可得$a=\frac{m-n}{2}$。
最终结论：去掉的小正方形边长为$\frac{m-n}{2}$。
方法1：从拼接后大正方形的边长相等分析：拼接得到的大正方形的边长，水平方向可表示为$m-a$，竖直方向可表示为$n+a$，因此有$m-a = n+a$，移项整理得$2a = m-n$，即$a=\frac{m-n}{2}$。
方法2：用面积验证：原长方形面积为$mn$，图乙的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即$(n+a)^2 -a^2 = mn$，展开化简得$n^2+2na=mn$，两边除以非零的$n$，同样可得$a=\frac{m-n}{2}$。
最终结论：去掉的小正方形边长为$\frac{m-n}{2}$。
9. 阅读下面例题的解题过程:
例题:已知$x^2 - 2x = 1$,求代数式$3x^2 - 6x - 5$的值。
解:$\because 3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5$,
$\therefore$当$x^2 - 2x = 1$时,$3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5 = 3× 1 - 5 = -2$。
请解答下列问题:
(1)若$m - n = 1$,则代数式$2m - 2n - 1 =$,$2 - m + n =$。
(2)已知$x^2 + 2x - 2000 = 0$,求代数式$\frac{1}{2}x^2 + x$的值。
(3)已知$21x^2 - 14x - 2 = 5$,求代数式$6x^2 - 4x + 5$的值。
例题:已知$x^2 - 2x = 1$,求代数式$3x^2 - 6x - 5$的值。
解:$\because 3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5$,
$\therefore$当$x^2 - 2x = 1$时,$3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5 = 3× 1 - 5 = -2$。
请解答下列问题:
(1)若$m - n = 1$,则代数式$2m - 2n - 1 =$,$2 - m + n =$。
(2)已知$x^2 + 2x - 2000 = 0$,求代数式$\frac{1}{2}x^2 + x$的值。
(3)已知$21x^2 - 14x - 2 = 5$,求代数式$6x^2 - 4x + 5$的值。
答案
(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{1000}$；(3) $\boldsymbol{7}$
解析
本题采用整体代入法求解，仿照例题将所求代数式变形为含有已知条件中整体式子的形式，再代入数值计算即可：
(1) 对第一个代数式变形：$2m-2n-1=2(m-n)-1$，将$m-n=1$代入，得$2×1 -1=1$；
对第二个代数式变形：$2 - m + n = 2 - (m - n)$，将$m-n=1$代入，得$2 - 1 = 1$。
(2) 由已知$x^2+2x-2000=0$，移项可得$x^2+2x=2000$，
对所求代数式变形：$\frac{1}{2}x^2 + x = \frac{1}{2}(x^2 + 2x)$，将$x^2+2x=2000$代入，得$\frac{1}{2}×2000=1000$。
(3) 由已知$21x^2-14x-2=5$，移项得$21x^2-14x=7$，两边同时除以7得$3x^2-2x=1$，
对所求代数式变形：$6x^2-4x+5=2(3x^2-2x)+5$，将$3x^2-2x=1$代入，得$2×1 +5=7$。
(1) 对第一个代数式变形：$2m-2n-1=2(m-n)-1$，将$m-n=1$代入，得$2×1 -1=1$；
对第二个代数式变形：$2 - m + n = 2 - (m - n)$，将$m-n=1$代入，得$2 - 1 = 1$。
(2) 由已知$x^2+2x-2000=0$，移项可得$x^2+2x=2000$，
对所求代数式变形：$\frac{1}{2}x^2 + x = \frac{1}{2}(x^2 + 2x)$，将$x^2+2x=2000$代入，得$\frac{1}{2}×2000=1000$。
(3) 由已知$21x^2-14x-2=5$，移项得$21x^2-14x=7$，两边同时除以7得$3x^2-2x=1$，
对所求代数式变形：$6x^2-4x+5=2(3x^2-2x)+5$，将$3x^2-2x=1$代入，得$2×1 +5=7$。
