9. 如图所示,阴影部分面积为$18\ \mathrm{cm}^2$,试求正方形边长$a$。

正方形边长$a$为$6\ \mathrm{cm}$。

观察图形，利用割补法分析：
1. 图中上方空白部分是直径为$a$的半圆，下方阴影部分也是直径为$a$的半圆，两个半圆面积完全相等。
2. 将下方的阴影半圆平移，恰好可以填补上方的空白半圆，此时剩余阴影部分刚好是长为$a$、宽为$\frac{a}{2}$的长方形，即阴影部分面积等于正方形面积的$\frac{1}{2}$。
3. 已知阴影面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，列等式：
$\frac{1}{2}a^2 = 18$
整理得$a^2=36$，因为边长$a＞0$，解得$a=6$。

10. （1）计算下列各式的结果：
$\sqrt{1^3}=$ ； $\sqrt{1^3+2^3}=$ ；
$\sqrt{1^3+2^3+3^3}=$ ；$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=$ 。
（2）观察上面的计算结果，你能发现什么规律吗？请利用你发现的规律，直接写出下列结果：
$\sqrt{1^3+2^3+3^3+···+10^3}=$ ；
$\sqrt{1^3+2^3+3^3+···+100^3}=$ 。
（3）请你用字母$n$($n$为正整数)表示上面的规律。

（1）1；3；6；10 （2）55；5050 （3）$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=\frac{n(n+1)}{2}$（n为正整数）

（1）直接计算各二次根式的值：
$\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$；
$\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6$；
$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10$。
（2）观察上述结果可发现规律：根号下从1开始的连续正整数的立方和，等于这些正整数的和。根据正整数求和公式$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，可得：
$\sqrt{1^3+2^3+\dots+10^3}=1+2+\dots+10=\frac{10×11}{2}=55$；
$\sqrt{1^3+2^3+\dots+100^3}=1+2+\dots+100=\frac{100×101}{2}=5050$。
（3）用正整数n表示该规律为：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=\frac{n(n+1)}{2}$。