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1. 小明骑自行车从 A 地到 B 地,小力骑自行车从 B 地到 A 地,两人都沿同一公路匀速前进,到达目的地后即停止运动.
(1)若 A,B 两地相距 88 km,小明的速度比小力的速度快 4 km/h,小明先出发$\frac{1}{4}$ h,小力出发 3 h 后两人相遇,求两人的速度;
(2)若两人在上午 8 时同时出发,到上午 10 时,两人相距 36 km,到中午 12 时,两人又相距 36 km. 求 A,B 两地间的路程.
(1)若 A,B 两地相距 88 km,小明的速度比小力的速度快 4 km/h,小明先出发$\frac{1}{4}$ h,小力出发 3 h 后两人相遇,求两人的速度;
(2)若两人在上午 8 时同时出发,到上午 10 时,两人相距 36 km,到中午 12 时,两人又相距 36 km. 求 A,B 两地间的路程.
答案
解:(1)设小力的速度是 x km/h，则小明的速度是(x+4)km/h，
根据题意，得$(3+\frac{1}{4})(x+4)+3x=88$，解得 x=12，
则 x+4=16.
答:小力的速度是 12 km/h，小明的速度是 16 km/h.
(2)设 A,B 两地间的路程为 y km，
根据题意，得$\frac{y-36}{10-8}=\frac{y+36}{12-8}$，解得 y=108.
答:A,B 两地间的路程为 108 km.
根据题意，得$(3+\frac{1}{4})(x+4)+3x=88$，解得 x=12，
则 x+4=16.
答:小力的速度是 12 km/h，小明的速度是 16 km/h.
(2)设 A,B 两地间的路程为 y km，
根据题意，得$\frac{y-36}{10-8}=\frac{y+36}{12-8}$，解得 y=108.
答:A,B 两地间的路程为 108 km.
解析
【分析】
(1) 本题为相遇类行程问题，核心等量关系是两人行驶的路程之和等于A、B两地总距离。首先设小力的速度为x km/h，由小明速度比小力快4km/h可得小明速度为(x+4)km/h；小明先出发$\frac{1}{4}$h，相遇时小明的行驶时间为$(3+\frac{1}{4})$h，小力行驶时间为3h，分别计算两人行驶路程，相加等于总路程88km即可列方程求解。
(2) 本题需先分析两次相距36km的状态：上午10时两人还未相遇，两人行驶的总路程为（总路程-36）km，行驶时间为2h；中午12时两人相遇后继续行驶错开，总行驶路程为（总路程+36）km，行驶时间为4h。由于两人匀速前进，速度和始终不变，因此“总路程和÷行驶时间=速度和”的等量关系成立，据此列方程即可求出总路程。
【解析】
(1) 设小力的速度是x km/h，则小明的速度是(x+4)km/h。
根据相遇时两人路程和等于总路程，列方程：
$(3+\frac{1}{4})(x+4)+3x=88$
展开计算：$\frac{13}{4}x +13 +3x =88$
合并同类项：$\frac{25}{4}x =75$
解得：$x=12$
则小明的速度为$x+4=12+4=16$（km/h）
(2) 设A,B两地间的路程为y km。
根据两人速度和不变，列方程：
$\frac{y-36}{10-8}=\frac{y+36}{12-8}$
化简：$\frac{y-36}{2}=\frac{y+36}{4}$
两边同乘4：$2(y-36)=y+36$
展开：$2y-72=y+36$
解得：$y=108$
【答案】
(1) 小力的速度是12 km/h，小明的速度是16 km/h；(2) A、B两地间的路程为108 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题，路程速度时间关系
【点评】
这是行程问题的典型考题，第一问侧重考查相遇问题的基础路程关系，解题时需注意不同主体的行驶时间差异；第二问需要准确判断两次相距36km对应的相遇前、相遇后两种运动状态，抓住速度和不变的隐含等量关系即可顺利解题，能有效提升对行程问题的过程分析能力。
【难度系数】
0.65
(1) 本题为相遇类行程问题，核心等量关系是两人行驶的路程之和等于A、B两地总距离。首先设小力的速度为x km/h，由小明速度比小力快4km/h可得小明速度为(x+4)km/h；小明先出发$\frac{1}{4}$h，相遇时小明的行驶时间为$(3+\frac{1}{4})$h，小力行驶时间为3h，分别计算两人行驶路程，相加等于总路程88km即可列方程求解。
(2) 本题需先分析两次相距36km的状态：上午10时两人还未相遇，两人行驶的总路程为（总路程-36）km，行驶时间为2h；中午12时两人相遇后继续行驶错开，总行驶路程为（总路程+36）km，行驶时间为4h。由于两人匀速前进，速度和始终不变，因此“总路程和÷行驶时间=速度和”的等量关系成立，据此列方程即可求出总路程。
【解析】
(1) 设小力的速度是x km/h，则小明的速度是(x+4)km/h。
根据相遇时两人路程和等于总路程，列方程：
$(3+\frac{1}{4})(x+4)+3x=88$
展开计算：$\frac{13}{4}x +13 +3x =88$
合并同类项：$\frac{25}{4}x =75$
解得：$x=12$
则小明的速度为$x+4=12+4=16$（km/h）
(2) 设A,B两地间的路程为y km。
根据两人速度和不变，列方程：
$\frac{y-36}{10-8}=\frac{y+36}{12-8}$
化简：$\frac{y-36}{2}=\frac{y+36}{4}$
两边同乘4：$2(y-36)=y+36$
展开：$2y-72=y+36$
解得：$y=108$
【答案】
(1) 小力的速度是12 km/h，小明的速度是16 km/h；(2) A、B两地间的路程为108 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题，路程速度时间关系
【点评】
这是行程问题的典型考题，第一问侧重考查相遇问题的基础路程关系，解题时需注意不同主体的行驶时间差异；第二问需要准确判断两次相距36km对应的相遇前、相遇后两种运动状态，抓住速度和不变的隐含等量关系即可顺利解题，能有效提升对行程问题的过程分析能力。
【难度系数】
0.65
2.一条河中有甲、乙两艘船，现它们同时从 A 地顺流而行，乙船到 B 地时接到通知要立即调头（调头时间不计）到 A，B 两地之间的 C 地执行任务，甲船则继续顺流而行.已知甲、乙两艘船在静水中的速度都是 7.5 千米/时，水流速度是 2.5 千米/时，A，C 两地之间的距离为 10 千米.如果乙船由 A 地经 B 地再到 C 地共用 4 小时，那么乙船从 B 地到 C 地时，甲船驶离 B 地多少千米？
答案
解:设 B 地与 C 地之间的距离为 x 千米，
根据题意，得$\frac{10+x}{7.5+2.5}+\frac{x}{7.5-2.5}=4$，
解得 x=10，
则乙船从 B 地到 C 地时，甲船驶离 B 地的距离为$(7.5+2.5)×\frac{10}{7.5-2.5}=20$(千米).
答:乙船从 B 地到 C 地时，甲船驶离 B 地 20 千米.
根据题意，得$\frac{10+x}{7.5+2.5}+\frac{x}{7.5-2.5}=4$，
解得 x=10，
则乙船从 B 地到 C 地时，甲船驶离 B 地的距离为$(7.5+2.5)×\frac{10}{7.5-2.5}=20$(千米).
答:乙船从 B 地到 C 地时，甲船驶离 B 地 20 千米.
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程问题，解题思路可分为三步：第一步先明确流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，可先算出两船顺流速度为10千米/时，逆流速度为5千米/时；第二步找等量关系列方程，乙船总用时4小时，分为A到B的顺流行驶时间、B到C的逆流行驶时间两部分，设B、C两地距离为x千米，则A到B的路程为(10+x)千米，分别表示两段时间相加等于4小时，即可解方程求出x；第三步计算所求距离，乙船从B到C的行驶时间内，甲船一直顺流行驶，用顺流速度乘这段时间即可得到甲船驶离B地的距离。
【解析】
解：设B地与C地之间的距离为x千米，
乙船顺流速度为：$7.5+2.5=10$（千米/时），逆流速度为：$7.5-2.5=5$（千米/时）
根据乙船总用时4小时，列方程得：
$\frac{10+x}{10}+\frac{x}{5}=4$
解方程：
两边同乘10得：$10+x + 2x = 40$
$3x=30$
解得$x=10$
乙船从B地到C地的用时为：$\frac{10}{5}=2$（小时）
这段时间甲船顺流行驶的距离为：$10×2=20$（千米）
【答案】
乙船从B地到C地时，甲船驶离B地20千米
【知识点】
1.流水行船问题
2.一元一次方程的应用
3.行程问题公式
【点评】
本题属于典型的分段行程问题，核心是梳理清楚不同行驶阶段的速度、路程、时间的对应关系，抓住总时间这个不变量建立方程求解，再结合两段行驶时间相同的特点计算最终路程，能很好地考查学生分析行程过程的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道流水行船类的行程问题，解题思路可分为三步：第一步先明确流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，可先算出两船顺流速度为10千米/时，逆流速度为5千米/时；第二步找等量关系列方程，乙船总用时4小时，分为A到B的顺流行驶时间、B到C的逆流行驶时间两部分，设B、C两地距离为x千米，则A到B的路程为(10+x)千米，分别表示两段时间相加等于4小时，即可解方程求出x；第三步计算所求距离，乙船从B到C的行驶时间内，甲船一直顺流行驶，用顺流速度乘这段时间即可得到甲船驶离B地的距离。
【解析】
解：设B地与C地之间的距离为x千米，
乙船顺流速度为：$7.5+2.5=10$（千米/时），逆流速度为：$7.5-2.5=5$（千米/时）
根据乙船总用时4小时，列方程得：
$\frac{10+x}{10}+\frac{x}{5}=4$
解方程：
两边同乘10得：$10+x + 2x = 40$
$3x=30$
解得$x=10$
乙船从B地到C地的用时为：$\frac{10}{5}=2$（小时）
这段时间甲船顺流行驶的距离为：$10×2=20$（千米）
【答案】
乙船从B地到C地时，甲船驶离B地20千米
【知识点】
1.流水行船问题
2.一元一次方程的应用
3.行程问题公式
【点评】
本题属于典型的分段行程问题，核心是梳理清楚不同行驶阶段的速度、路程、时间的对应关系，抓住总时间这个不变量建立方程求解，再结合两段行驶时间相同的特点计算最终路程，能很好地考查学生分析行程过程的能力。
【难度系数】
0.6
