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7 如图所示为$∠ PAB$.
(1) 利用尺规在$∠ PAB$外作$∠ APQ$,使得$∠ APQ=∠ PAB$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 判断$PQ$与$AB$的位置关系,并给出依据.
(1) 利用尺规在$∠ PAB$外作$∠ APQ$,使得$∠ APQ=∠ PAB$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 判断$PQ$与$AB$的位置关系,并给出依据.
答案
(1) 如图,$∠APQ$即为所求作
(2) $PQ// AB$ 依据:内错角相等,两直线平行
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需利用尺规作一个角等于已知角，核心是通过构造等长线段保证角相等；第二问根据所作角的位置关系，结合平行线判定定理判断直线位置。首先回忆尺规作等角的步骤：以已知角顶点为圆心画弧，再以目标点为圆心、相同半径画弧，截取对应长度得到交点，作射线即可得到等角；再根据内错角的性质判断平行关系。
【解析】
(1) 尺规作∠APQ=∠PAB的步骤：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AP于点M、N；②以点P为圆心，AM长为半径画弧，交AP于点E；③以点E为圆心，MN长为半径画弧，与步骤②的弧交于点F；④过P、F作射线PQ，∠APQ即为所求（保留作图痕迹）。
(2) PQ与AB平行，依据：由作图得∠APQ=∠PAB，这两个角是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，故PQ//AB。
【答案】
(1) 如图，∠APQ即为所求作；(2) PQ//AB，依据：内错角相等，两直线平行
【知识点】
尺规作图、平行线的判定
【点评】
本题考查基本尺规作图与平行线判定的结合，属于基础几何题，侧重考查学生的作图能力和定理应用能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问需利用尺规作一个角等于已知角，核心是通过构造等长线段保证角相等；第二问根据所作角的位置关系，结合平行线判定定理判断直线位置。首先回忆尺规作等角的步骤：以已知角顶点为圆心画弧，再以目标点为圆心、相同半径画弧，截取对应长度得到交点，作射线即可得到等角；再根据内错角的性质判断平行关系。
【解析】
(1) 尺规作∠APQ=∠PAB的步骤：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AP于点M、N；②以点P为圆心，AM长为半径画弧，交AP于点E；③以点E为圆心，MN长为半径画弧，与步骤②的弧交于点F；④过P、F作射线PQ，∠APQ即为所求（保留作图痕迹）。
(2) PQ与AB平行，依据：由作图得∠APQ=∠PAB，这两个角是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，故PQ//AB。
【答案】
(1) 如图，∠APQ即为所求作
；(2) PQ//AB，依据：内错角相等，两直线平行【知识点】
尺规作图、平行线的判定
【点评】
本题考查基本尺规作图与平行线判定的结合，属于基础几何题，侧重考查学生的作图能力和定理应用能力。
【难度系数】
0.6
8 如图$,AB// CD,PE⊥ AB,PF⊥ BD,PG⊥ CD$，垂足分别为$E,F,G$，且$PE=PG=PF,$则$∠ BPD=$
90°
.答案
8. $90°$
解析
【分析】
要推导∠BPD的度数，需结合角平分线的判定、平行线的性质及三角形内角和定理。首先，根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由PE⊥AB、PG⊥CD且PE=PG，可知点P在∠ABD和∠CDB的角平分线上；再结合PF⊥BD且PE=PF，可确认BP平分∠ABD、DP平分∠CDB。接着利用AB//CD得同旁内角∠ABD与∠CDB互补，进而求出∠PBD与∠PDB的和，最后通过三角形内角和算出∠BPD。
【解析】
1. 因为PE⊥AB，PG⊥CD，且PE=PG，根据角平分线的判定定理，点P在∠ABD的角平分线上，同时也在∠CDB的角平分线上；
2. 又PF⊥BD，且PE=PF，进一步确认BP平分∠ABD；同理PG=PF，确认DP平分∠CDB；
3. 由于AB//CD，根据平行线的性质，同旁内角互补，故∠ABD + ∠CDB = 180°；
4. 因为BP平分∠ABD，DP平分∠CDB，所以∠PBD = $\frac{1}{2}$∠ABD，∠PDB = $\frac{1}{2}$∠CDB；
5. 因此∠PBD + ∠PDB = $\frac{1}{2}$(∠ABD + ∠CDB) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°；
6. 在△BPD中，由三角形内角和为180°，得∠BPD = 180° - (∠PBD + ∠PDB) = 180° - 90° = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合运用角平分线判定、平行线性质及三角形内角和知识，逻辑推导清晰，需熟练掌握相关定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要推导∠BPD的度数，需结合角平分线的判定、平行线的性质及三角形内角和定理。首先，根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由PE⊥AB、PG⊥CD且PE=PG，可知点P在∠ABD和∠CDB的角平分线上；再结合PF⊥BD且PE=PF，可确认BP平分∠ABD、DP平分∠CDB。接着利用AB//CD得同旁内角∠ABD与∠CDB互补，进而求出∠PBD与∠PDB的和，最后通过三角形内角和算出∠BPD。
【解析】
1. 因为PE⊥AB，PG⊥CD，且PE=PG，根据角平分线的判定定理，点P在∠ABD的角平分线上，同时也在∠CDB的角平分线上；
2. 又PF⊥BD，且PE=PF，进一步确认BP平分∠ABD；同理PG=PF，确认DP平分∠CDB；
3. 由于AB//CD，根据平行线的性质，同旁内角互补，故∠ABD + ∠CDB = 180°；
4. 因为BP平分∠ABD，DP平分∠CDB，所以∠PBD = $\frac{1}{2}$∠ABD，∠PDB = $\frac{1}{2}$∠CDB；
5. 因此∠PBD + ∠PDB = $\frac{1}{2}$(∠ABD + ∠CDB) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°；
6. 在△BPD中，由三角形内角和为180°，得∠BPD = 180° - (∠PBD + ∠PDB) = 180° - 90° = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合运用角平分线判定、平行线性质及三角形内角和知识，逻辑推导清晰，需熟练掌握相关定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
9 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$AC=6$,$BC=8$,$AB=10$,点$D$在线段$BC$上,$△ ACD$的面积为9.求证:$AD$是$△ ABC$的角平分线.
答案
如图,过点$D$作$AB$的垂线,垂足为$H$. 易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$. $\because S_{△ ACD}=9$,$\therefore \frac{1}{2}AC·CD=9$,即$\frac{1}{2}×6×CD=9$,解得$CD=3$. 又$\because S_{△ ABD}=S_{△ ABC}−S_{△ ACD}=24−9=15$,$\therefore \frac{1}{2}·AB·DH=15$,即$\frac{1}{2}×10×DH=15$,解得$DH=3$. $\therefore DH=CD$. $\because ∠C=90°$,$DH⊥AB$,$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线
解析
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，需证明点D到AC和AB的距离相等。解题思路为：先计算△ABC的面积，再由△ACD的面积求出CD的长度；接着计算△ABD的面积，进而求出点D到AB的垂线段DH的长度；最后比较CD与DH的长度，若相等，结合垂直条件即可证明AD是角平分线。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的面积：
∵ ∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
2. 求CD的长度：
已知$S_{△ACD}=9$，且$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×CD$，代入AC=6得：
$9=\frac{1}{2}×6×CD$，解得$CD=3$。
3. 求DH的长度：
过点D作DH⊥AB于H，$S_{△ABD}=S_{△ABC}-S_{△ACD}=24-9=15$，
又$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DH$，代入AB=10得：
$15=\frac{1}{2}×10×DH$，解得$DH=3$。
4. 证明AD是角平分线：
∵ $CD=3$，$DH=3$，
∴ $CD=DH$，
又
∵ ∠C=90°（即DC⊥AC），DH⊥AB，
根据角平分线的判定定理，点D在∠BAC的平分线上，即AD是△ABC的角平分线。
【答案】
如图,过点$D$作$AB$的垂线,垂足为$H$. 易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$. $\because S_{△ ACD}=9$,$\therefore \frac{1}{2}AC·CD=9$,即$\frac{1}{2}×6×CD=9$,解得$CD=3$. 又$\because S_{△ ABD}=S_{△ ABC}−S_{△ ACD}=24−9=15$,$\therefore \frac{1}{2}·AB·DH=15$,即$\frac{1}{2}×10×DH=15$,解得$DH=3$. $\therefore DH=CD$. $\because ∠C=90°$,$DH⊥AB$,$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线
【知识点】
角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定定理的典型应用，通过面积法求线段长度，将几何证明转化为线段长度的计算，需熟练掌握面积公式和角平分线的判定方法，是初中几何的基础题型。
【难度系数】
0.6
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，需证明点D到AC和AB的距离相等。解题思路为：先计算△ABC的面积，再由△ACD的面积求出CD的长度；接着计算△ABD的面积，进而求出点D到AB的垂线段DH的长度；最后比较CD与DH的长度，若相等，结合垂直条件即可证明AD是角平分线。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的面积：
∵ ∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
2. 求CD的长度：
已知$S_{△ACD}=9$，且$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×CD$，代入AC=6得：
$9=\frac{1}{2}×6×CD$，解得$CD=3$。
3. 求DH的长度：
过点D作DH⊥AB于H，$S_{△ABD}=S_{△ABC}-S_{△ACD}=24-9=15$，
又$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DH$，代入AB=10得：
$15=\frac{1}{2}×10×DH$，解得$DH=3$。
4. 证明AD是角平分线：
∵ $CD=3$，$DH=3$，
∴ $CD=DH$，
又
∵ ∠C=90°（即DC⊥AC），DH⊥AB，
根据角平分线的判定定理，点D在∠BAC的平分线上，即AD是△ABC的角平分线。
【答案】
如图,过点$D$作$AB$的垂线,垂足为$H$. 易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$. $\because S_{△ ACD}=9$,$\therefore \frac{1}{2}AC·CD=9$,即$\frac{1}{2}×6×CD=9$,解得$CD=3$. 又$\because S_{△ ABD}=S_{△ ABC}−S_{△ ACD}=24−9=15$,$\therefore \frac{1}{2}·AB·DH=15$,即$\frac{1}{2}×10×DH=15$,解得$DH=3$. $\therefore DH=CD$. $\because ∠C=90°$,$DH⊥AB$,$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线
【知识点】
角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定定理的典型应用，通过面积法求线段长度，将几何证明转化为线段长度的计算，需熟练掌握面积公式和角平分线的判定方法，是初中几何的基础题型。
【难度系数】
0.6
10 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$于点$E$,点$F$在$AC$上,且$BD=DF$.
(1) 求证:$CF=EB$;
(2) 请你判断$AE$,$AF$与$BE$之间的数量关系,并说明理由.
(1) 求证:$CF=EB$;
(2) 请你判断$AE$,$AF$与$BE$之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1) $\because AD$平分$∠BAC$,$DE⊥AB$,$∠C=90°$,$\therefore DC=DE$. 在$\mathrm{Rt}△ DCF$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中,$\begin{cases}DF=DB,\\DC=DE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ DCF≌\mathrm{Rt}△ DEB. \therefore CF=EB$
(2) $AF+BE=AE$ 理由:$\because ∠C=∠DEA=90°$,$DC=DE$,$AD=AD$,$\therefore \mathrm{Rt}△ DCA≌\mathrm{Rt}△ DEA$. $\therefore AC=AE$. $\therefore AF+FC=AC=AE$,即$AF+BE=AE$
(2) $AF+BE=AE$ 理由:$\because ∠C=∠DEA=90°$,$DC=DE$,$AD=AD$,$\therefore \mathrm{Rt}△ DCA≌\mathrm{Rt}△ DEA$. $\therefore AC=AE$. $\therefore AF+FC=AC=AE$,即$AF+BE=AE$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用角平分线的性质得到线段DC与DE相等，再通过直角三角形全等的HL判定定理证明△DCF和△DEB全等，从而得到CF=EB；对于第二问，先证明△DCA和△DEA全等得到AC=AE，再结合第一问的结论CF=BE，通过线段和差关系推导出AF、BE与AE的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质，可得 DC=DE。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
(2) 数量关系：AF + BE = AE，理由如下：
∵ ∠C=∠DEA=90°，
在Rt△DCA和Rt△DEA中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DC=DE \end{cases}$
∴ Rt△DCA ≌ Rt△DEA（HL），
∴ AC = AE。
又
∵ AC = AF + CF，且由(1)知 CF=EB，
∴ AF + BE = AE。
【答案】
(1) 证明成立，CF=EB；(2) AF + BE = AE。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定（HL），线段和差。
【点评】
本题是几何证明的常规题型，主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的HL判定定理，需要熟练运用全等三角形的性质转换线段，结合线段和差关系推导结论，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用角平分线的性质得到线段DC与DE相等，再通过直角三角形全等的HL判定定理证明△DCF和△DEB全等，从而得到CF=EB；对于第二问，先证明△DCA和△DEA全等得到AC=AE，再结合第一问的结论CF=BE，通过线段和差关系推导出AF、BE与AE的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质，可得 DC=DE。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
(2) 数量关系：AF + BE = AE，理由如下：
∵ ∠C=∠DEA=90°，
在Rt△DCA和Rt△DEA中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DC=DE \end{cases}$
∴ Rt△DCA ≌ Rt△DEA（HL），
∴ AC = AE。
又
∵ AC = AF + CF，且由(1)知 CF=EB，
∴ AF + BE = AE。
【答案】
(1) 证明成立，CF=EB；(2) AF + BE = AE。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定（HL），线段和差。
【点评】
本题是几何证明的常规题型，主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的HL判定定理，需要熟练运用全等三角形的性质转换线段，结合线段和差关系推导结论，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
11 如图所示为$∠ AOB$与$∠ EO'F$，分别以点$O$和点$O'$为圆心，同样长为半径画弧，交$OA$，$OB$于点$A'$，$B'$，交$O'E$，$O'F$于点$E'$，$F'$；再以点$B'$为圆心，$E'F'$长为半径画弧，交弧$A'B'$于点$H$，作射线$OH$.下列结论不一定正确的是（
A.$∠ EO'F=\dfrac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ EO'F$
C.$∠ HOB=∠ EO'F$
D.$∠ EO'F+∠ AOH=∠ AOB$
A
）A.$∠ EO'F=\dfrac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ EO'F$
C.$∠ HOB=∠ EO'F$
D.$∠ EO'F+∠ AOH=∠ AOB$
答案
11. A
解析
【分析】
要解决本题，需先明确图中作图是尺规作角相等的过程：第一步，以O、O'为圆心，相同长度为半径画弧，可得OA'=OB'=O'E'=O'F'；第二步，以B'为圆心，E'F'长为半径画弧，交弧A'B'于H，可得B'H=E'F'，由此可推出∠HOB=∠EO'F。再结合角的和差关系逐一分析选项：选项A无法从作图中得到OH平分∠AOB，结论不一定正确；选项B可通过角的和差判断∠AOB＞∠EO'F；选项C由作图的边相等可证角相等；选项D结合角的和差可验证等式成立。
【解析】
根据尺规作图原理，该操作是作一个角等于已知角：
1. 取相同半径画弧，得OA'=OB'=O'E'=O'F'；
2. 以B'为圆心，E'F'长为半径画弧，得B'H=E'F'，因此△OB'H≌△O'F'E'（SSS），故∠HOB=∠EO'F。
逐一分析选项：
A选项：作图未体现OH是∠AOB的角平分线，无法推出∠EO'F=1/2∠AOB，结论不一定正确；
B选项：∠AOB=∠AOH + ∠HOB=∠AOH + ∠EO'F，显然∠AOB＞∠EO'F，结论正确；
C选项：由△OB'H≌△O'F'E'，得∠HOB=∠EO'F，结论正确；
D选项：∠AOB=∠AOH + ∠HOB=∠AOH + ∠EO'F，即∠EO'F + ∠AOH=∠AOB，结论正确。
综上，不一定正确的是A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角、角的和差、全等三角形判定
【点评】
本题考查尺规作角的原理及角的关系，关键是理解作图过程中得到的边相等关系，进而推导角相等，结合角的和差逐一判断选项，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确图中作图是尺规作角相等的过程：第一步，以O、O'为圆心，相同长度为半径画弧，可得OA'=OB'=O'E'=O'F'；第二步，以B'为圆心，E'F'长为半径画弧，交弧A'B'于H，可得B'H=E'F'，由此可推出∠HOB=∠EO'F。再结合角的和差关系逐一分析选项：选项A无法从作图中得到OH平分∠AOB，结论不一定正确；选项B可通过角的和差判断∠AOB＞∠EO'F；选项C由作图的边相等可证角相等；选项D结合角的和差可验证等式成立。
【解析】
根据尺规作图原理，该操作是作一个角等于已知角：
1. 取相同半径画弧，得OA'=OB'=O'E'=O'F'；
2. 以B'为圆心，E'F'长为半径画弧，得B'H=E'F'，因此△OB'H≌△O'F'E'（SSS），故∠HOB=∠EO'F。
逐一分析选项：
A选项：作图未体现OH是∠AOB的角平分线，无法推出∠EO'F=1/2∠AOB，结论不一定正确；
B选项：∠AOB=∠AOH + ∠HOB=∠AOH + ∠EO'F，显然∠AOB＞∠EO'F，结论正确；
C选项：由△OB'H≌△O'F'E'，得∠HOB=∠EO'F，结论正确；
D选项：∠AOB=∠AOH + ∠HOB=∠AOH + ∠EO'F，即∠EO'F + ∠AOH=∠AOB，结论正确。
综上，不一定正确的是A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角、角的和差、全等三角形判定
【点评】
本题考查尺规作角的原理及角的关系，关键是理解作图过程中得到的边相等关系，进而推导角相等，结合角的和差逐一判断选项，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
