3 已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如图①，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；
（2）如图②，若∠DOE＝α，求∠AOC的度数（用含α的式子表示），并探究∠DOE与∠AOC之间的数量关系.

3. (1) 因为 $∠ COD=90°,∠ DOE=25°$，所以 $∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-25°=65°$. 又因为 OE 平分 $∠ BOC$，所以 $∠ BOC=2∠ COE=130°$. 所以 $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-130°=50°$
(2) 因为 $∠ COD=90°,∠ DOE=α$，所以 $∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-α$. 又因为 OE 平分 $∠ BOC$，所以 $∠ BOC=2∠ COE=180°-2α$. 所以 $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-(180°-2α)=2α$. 所以 $∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC$

【分析】
（1）解题时先利用直角的定义，结合已知∠DOE的度数求出∠COE的度数；再根据角平分线的定义得到∠BOC的度数；最后利用平角为180°，通过邻补角的和差关系求出∠AOC的度数。
（2）类比第（1）问的解题思路，将∠DOE的具体度数替换为α，按照相同的步骤推导∠AOC的表达式，再对比α和∠AOC的表达式即可得到两者的数量关系。
【解析】
（1）
∵∠COD是直角，
∴∠COD=90°，
已知∠DOE=25°，
∴∠COE=∠COD - ∠DOE = 90° - 25° = 65°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2×65°=130°，
∵O是直线AB上一点，∠AOB为平角等于180°，
∴∠AOC=180° - ∠BOC = 180° - 130° = 50°。
（2）
∵∠COD是直角，
∴∠COD=90°，
已知∠DOE=α，
∴∠COE=∠COD - ∠DOE = 90° - α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2×(90° - α)=180° - 2α，
∵O是直线AB上一点，∠AOB为平角等于180°，
∴∠AOC=180° - ∠BOC = 180° - (180° - 2α) = 2α，
由此可得∠DOE和∠AOC的数量关系为：$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{50°}$；
（2）$\boldsymbol{∠AOC=2α}$，数量关系为$\boldsymbol{∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC}$。
【知识点】
角平分线的定义；直角的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是基础的角度运算题，解题的核心是理清各个角之间的和差关系，结合角平分线、平角、直角的性质逐步推导即可，掌握角度运算的基本逻辑就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

4 如图①,射线 OC 在∠AOB 的内部,图中共有三个角,即∠AOC,∠AOB,∠BOC.若上述三个角中有一个角的度数是另外一个角度数的一半,则称射线 OC 为∠AOB 的“优线”.
(1) 一个角的平分线这个角的“优线”(填“是”或“不是”);一个角共有条“优线”.
(2) 若∠AOB=60°,射线 OC 为∠AOB 的“优线”,则∠AOC 的度数为.
(3) 如图②,∠AOB=120°,射线 OP 从 OA 处出发,绕点 O 以每秒2°的速度按顺时针方向旋转,射线 OQ 从 OB 处出发,绕点 O 以每秒1°的速度按逆时针方向旋转,两条射线同时旋转,至 OP,OQ 相遇时停止,设旋转的时间为 t s.问:当 t 为何值时,射线 OP 是∠AOQ 的“优线”?

4. (1) 是 3 (2) $30°$ 或 $20°$ 或 $40°$ (3) 根据题意，得 $∠ AOP=(2t)°,∠ BOQ=t°$，则 $∠ AOQ=∠ AOB-∠ BOQ=(120-t)°$，所以 $∠ POQ=∠ AOQ-∠ AOP=(120-3t)°$. ① 当 $∠ AOP=∠ POQ=\frac{1}{2}∠ AOQ$ 时，$2t=\frac{1}{2}(120-t)$，解得 $t=24$(经检验，符合题意). ② 当 $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ POQ$ 时，$2t=\frac{1}{2}(120-3t)$，解得 $t=\frac{120}{7}$(经检验，符合题意). ③ 当 $∠ POQ=\frac{1}{2}∠ AOP$ 时，$120-3t=t$，解得 $t=30$(经检验，符合题意). 综上所述，当 t 的值为 24 或 $\frac{120}{7}$ 或 30 时，射线 OP 是 $∠ AOQ$ 的“优线”

【分析】
(1) 先明确“优线”的定义：射线在角内部时，得到的三个角中存在一个角是另一个角的一半，该射线就是这个角的优线。角平分线将原角分成两个相等的小角，每个小角都是原角的一半，满足优线的定义，因此角平分线是优线。对于一个角，分三种不同的角度关系可得到3条不同的优线，因此共3条。
(2) 已知∠AOB=60°，OC为优线，分三类情况讨论：①∠AOC是∠BOC的一半；②∠BOC是∠AOC的一半；③小角是∠AOB的一半，分别计算即可得到∠AOC的所有可能值。
(3) 首先根据旋转速度和时间表示出∠AOP、∠BOQ的度数，再结合角的和差关系表示出∠AOQ、∠POQ的度数，然后根据“优线”的定义分三种情况列一元一次方程求解，最后检验解是否符合运动的取值范围即可。
【解析】
(1) 角平分线把一个角分成两个相等的角，每个小角都是原角的$\frac{1}{2}$，满足“优线”的定义，因此一个角的平分线是这个角的“优线”；一个角的“优线”对应三种不同的角度关系，共3条。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC$时，$∠ AOC + 2∠ AOC=60°$，解得$∠ AOC=20°$；
② 当$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC$时，$∠ AOC + \frac{1}{2}∠ AOC=60°$，解得$∠ AOC=40°$；
③ 当$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$时，$∠ AOC=\frac{1}{2}×60°=30°$；
因此$∠ AOC$的度数为$20°$或$30°$或$40°$。
(3) 根据题意，旋转$t$秒时，$∠ AOP=(2t)°$，$∠ BOQ=t°$，则$∠ AOQ=∠ AOB - ∠ BOQ=(120 - t)°$，$∠ POQ=∠ AOQ - ∠ AOP=(120 - 3t)°$。
分三种情况讨论：
① 当$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOQ$时，$2t=\frac{1}{2}(120 - t)$，解得$t=24$，经检验符合题意；
② 当$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ POQ$时，$2t=\frac{1}{2}(120 - 3t)$，解得$t=\frac{120}{7}$，经检验符合题意；
③ 当$∠ POQ=\frac{1}{2}∠ AOP$时，$120 - 3t = t$，解得$t=30$，经检验符合题意。
综上，当$t$为24或$\frac{120}{7}$或30时，射线OP是$∠ AOQ$的“优线”。
【答案】
(1) 是；3
(2) $20°$或$30°$或$40°$
(3) $t$的值为24或$\frac{120}{7}$或30
【知识点】
角的和差计算，新定义问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合新定义考查角的计算与动态几何问题，解题时需要紧扣定义分类讨论所有可能的情况，避免漏解，动态问题中要正确用含参数的式子表示各角的度数，同时注意检验解是否符合实际运动范围。
【难度系数】
0.6