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【例1】如图，在等边$△ ABC$中，$AB=6$，$AD⊥ BC$于$D$，则$BD=$
3
，$∠ BAD=$30°
。答案
3，30°
解:
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=1/2 BC=1/2 AB=3，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1/2 ∠BAC=1/2 ×60°=30°。
解:
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=1/2 BC=1/2 AB=3，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1/2 ∠BAC=1/2 ×60°=30°。
解析
【分析】
解题时首先提取已知条件：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=6。第一步回忆等边三角形的核心性质：三边长度相等，三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足“三线合一”性质，即底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线完全重合。因此AD既是BC边上的高，也是BC的中线和∠BAC的角平分线，我们可先通过三线合一得到BD与BC的数量关系，再结合等边三角形边长相等求出BD；再利用角平分线的性质求出∠BAD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=6，∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，同时AD平分∠BAC（三线合一），
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
3，30°
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，角的运算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察等边三角形的性质和三线合一的应用，只要熟练掌握等边三角形的边、角特性以及三线合一的对应关系，就能快速得出结果，是等边三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取已知条件：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=6。第一步回忆等边三角形的核心性质：三边长度相等，三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足“三线合一”性质，即底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线完全重合。因此AD既是BC边上的高，也是BC的中线和∠BAC的角平分线，我们可先通过三线合一得到BD与BC的数量关系，再结合等边三角形边长相等求出BD；再利用角平分线的性质求出∠BAD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=6，∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，同时AD平分∠BAC（三线合一），
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
3，30°
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，角的运算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察等边三角形的性质和三线合一的应用，只要熟练掌握等边三角形的边、角特性以及三线合一的对应关系，就能快速得出结果，是等边三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.9
练习1.如图2，在等边△ABC中，点E在BC的延长线上，BD⊥AC于D，BD=DE，则∠E=
30°
。答案
30°
解:
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，∠DBC=1/2 ∠ABC=30°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°。
解:
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，∠DBC=1/2 ∠ABC=30°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°。
解析
【分析】
解题思路可按两步推导：第一步，先利用等边三角形的性质分析已知条件，等边三角形“三线合一”，BD是AC边上的高，因此BD同时是∠ABC的角平分线，结合等边三角形内角为60°，可先算出∠DBC的度数；第二步，由BD=DE可知△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，即可得出∠E与∠DBC相等，进而求出∠E的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC（等边三角形三线合一），
∵等边三角形内角∠ABC=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
又
∵BD=DE，
∴△BDE为等腰三角形，
∴∠E=∠DBC=30°（等腰三角形等边对等角）。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，结合图形找准角的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可按两步推导：第一步，先利用等边三角形的性质分析已知条件，等边三角形“三线合一”，BD是AC边上的高，因此BD同时是∠ABC的角平分线，结合等边三角形内角为60°，可先算出∠DBC的度数；第二步，由BD=DE可知△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，即可得出∠E与∠DBC相等，进而求出∠E的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC（等边三角形三线合一），
∵等边三角形内角∠ABC=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
又
∵BD=DE，
∴△BDE为等腰三角形，
∴∠E=∠DBC=30°（等腰三角形等边对等角）。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，结合图形找准角的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
练习2.如图，△ABC的边BC上有D，E两点，且BD=DE=EC=AD=AE，则∠BAC=
120°
.答案
120°
解:
∵AD=DE=AE，
∴△ADE是等边三角形，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD=1/2 ∠ADE=30°，
同理∠C=∠CAE=1/2 ∠AED=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°。
解:
∵AD=DE=AE，
∴△ADE是等边三角形，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD=1/2 ∠ADE=30°，
同理∠C=∠CAE=1/2 ∠AED=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中的相等边，由AD=DE=AE可先判定△ADE是等边三角形，得到其内角均为60°；再结合BD=AD、AE=EC可知△ABD和△AEC都是等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，就能求出∠BAD和∠CAE的度数，最后将三个角相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵AD=DE=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD，
又
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∴∠BAD=1/2∠ADE=30°，
同理，
∵AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∠AED是△AEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠CAE，
∴∠CAE=1/2∠AED=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类几何题，解题关键是先根据三边相等判定等边三角形得到固定角度，再结合等腰三角形和外角的性质求出其余未知角，能很好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件中的相等边，由AD=DE=AE可先判定△ADE是等边三角形，得到其内角均为60°；再结合BD=AD、AE=EC可知△ABD和△AEC都是等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，就能求出∠BAD和∠CAE的度数，最后将三个角相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵AD=DE=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD，
又
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∴∠BAD=1/2∠ADE=30°，
同理，
∵AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∠AED是△AEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠CAE，
∴∠CAE=1/2∠AED=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类几何题，解题关键是先根据三边相等判定等边三角形得到固定角度，再结合等腰三角形和外角的性质求出其余未知角，能很好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
练习3.已知$△ ABC$为等边三角形.
(1)如图4，$BC=CD$，$BC⊥ CD$，点D在BC左侧，则$α=$
(2)如图5，$BD=BC$，$BD⊥ BC$，点D在AB左侧，则$∠ ADB=$
(1)如图4，$BC=CD$，$BC⊥ CD$，点D在BC左侧，则$α=$
30°
；(2)如图5，$BD=BC$，$BD⊥ BC$，点D在AB左侧，则$∠ ADB=$
75°
.答案
(1)30° (2)75°
解:(1)
∵AC=CD,∠ACD=150°,
∴∠ADC=15°,
∴α=45°-15°=30°.
(2)
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=60°,
∴∠ABD=30°,
∵AB=BD,
∴∠ADB=75°.
解:(1)
∵AC=CD,∠ACD=150°,
∴∠ADC=15°,
∴α=45°-15°=30°.
(2)
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=60°,
∴∠ABD=30°,
∵AB=BD,
∴∠ADB=75°.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先结合等边三角形的性质得到AC=BC、∠ACB=60°，再根据已知BC=CD、BC⊥CD，可推得AC=CD、∠BCD=90°，进而算出∠ACD的度数，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和求出∠ADC的度数，再结合等腰直角△BCD的∠BDC=45°，两者作差即可得到α的度数。
(2) 求解第二问时，先由等边三角形性质得AB=BC、∠ABC=60°，结合已知BD=BC、BD⊥BC，推得AB=BD、∠CBD=90°，算出∠ABD的度数后，再利用等腰三角形内角和性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵BC=CD，BC⊥CD，
∴AC=CD，∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，
在等腰△ACD中，$∠ ADC=(180°-∠ ACD)÷2=(180°-150°)÷2=15°$，
又
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴$α=∠ BDC-∠ ADC=45°-15°=30°$。
(2)
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，BD⊥BC，
∴AB=BD，∠CBD=90°，
∴$∠ ABD=∠ CBD-∠ ABC=90°-60°=30°$，
在等腰△ABD中，$∠ ADB=(180°-∠ ABD)÷2=(180°-30°)÷2=75°$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $75°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的边角性质，准确梳理图形中角的和差关系，结合三角形内角和公式即可求解，有助于提升对特殊三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先结合等边三角形的性质得到AC=BC、∠ACB=60°，再根据已知BC=CD、BC⊥CD，可推得AC=CD、∠BCD=90°，进而算出∠ACD的度数，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和求出∠ADC的度数，再结合等腰直角△BCD的∠BDC=45°，两者作差即可得到α的度数。
(2) 求解第二问时，先由等边三角形性质得AB=BC、∠ABC=60°，结合已知BD=BC、BD⊥BC，推得AB=BD、∠CBD=90°，算出∠ABD的度数后，再利用等腰三角形内角和性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵BC=CD，BC⊥CD，
∴AC=CD，∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，
在等腰△ACD中，$∠ ADC=(180°-∠ ACD)÷2=(180°-150°)÷2=15°$，
又
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴$α=∠ BDC-∠ ADC=45°-15°=30°$。
(2)
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，BD⊥BC，
∴AB=BD，∠CBD=90°，
∴$∠ ABD=∠ CBD-∠ ABC=90°-60°=30°$，
在等腰△ABD中，$∠ ADB=(180°-∠ ABD)÷2=(180°-30°)÷2=75°$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $75°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的边角性质，准确梳理图形中角的和差关系，结合三角形内角和公式即可求解，有助于提升对特殊三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
【例2】下列推理中，不能判断$△ ABC$是等边三角形的是（
A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=AC,∠ B=60°$
C.$∠ A=60°,∠ B=60°$
D.$AB=AC$,且$∠ B=∠ C$
D
）A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=AC,∠ B=60°$
C.$∠ A=60°,∠ B=60°$
D.$AB=AC$,且$∠ B=∠ C$
答案
D
解析
【分析】
解题前先明确等边三角形的三类判定定理：1.三条边都相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐个验证选项是否符合上述判定定理，即可找出无法判定△ABC为等边三角形的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得三个角的度数均为180°÷3=60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定，可判断△ABC是等边三角形；
B. 已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，可判断△ABC是等边三角形；
C. 已知∠A=60°，∠B=60°，则∠C=180°-∠A-∠B=60°，三个角均相等，可判断△ABC是等边三角形；
D. 已知AB=AC且∠B=∠C，这是等腰三角形的基本性质（等腰三角形两腰相等、两底角相等），仅能证明△ABC是等腰三角形，无法证明存在60°内角或三边相等，因此不能判断△ABC是等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心要求是区分等腰三角形和等边三角形的判定差异，明确等边三角形是特殊的等腰三角形，除满足等腰的条件外，还需额外满足有一个内角为60°、或三个内角/三条边全相等的要求，不要混淆等腰的性质和等边的判定依据。
【难度系数】
0.8
解题前先明确等边三角形的三类判定定理：1.三条边都相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐个验证选项是否符合上述判定定理，即可找出无法判定△ABC为等边三角形的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得三个角的度数均为180°÷3=60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定，可判断△ABC是等边三角形；
B. 已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，可判断△ABC是等边三角形；
C. 已知∠A=60°，∠B=60°，则∠C=180°-∠A-∠B=60°，三个角均相等，可判断△ABC是等边三角形；
D. 已知AB=AC且∠B=∠C，这是等腰三角形的基本性质（等腰三角形两腰相等、两底角相等），仅能证明△ABC是等腰三角形，无法证明存在60°内角或三边相等，因此不能判断△ABC是等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心要求是区分等腰三角形和等边三角形的判定差异，明确等边三角形是特殊的等腰三角形，除满足等腰的条件外，还需额外满足有一个内角为60°、或三个内角/三条边全相等的要求，不要混淆等腰的性质和等边的判定依据。
【难度系数】
0.8
练习1.如图6,7,已知线段AB,用尺规作等边△ABC,不写作法,保留痕迹(两种方法).
答案
如图所示，两种作图结果分别为
、
。解析
【分析】
要作等边△ABC，核心是满足三边相等即AB=AC=BC。第一种思路直接利用等边三角形三边相等的特征：分别以A、B为圆心，AB长度为半径作弧，两弧交点就是同时满足AC=AB、BC=AB的点C；第二种思路结合垂直平分线的性质简化操作：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，先作出AB的垂直平分线，保证了AC=BC，再在垂直平分线上选取使AC=AB的点C，即可满足三边相等，两种方法都符合尺规作图要求。
【解析】
方法1（对应第一张图）：分别以点A、点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两弧在AB上方交于点C，连接AC、BC，此时AB=AC=BC，△ABC就是所求的等边三角形，作图痕迹为两段分别以A、B为圆心的圆弧。
方法2（对应第二张图）：①先作线段AB的垂直平分线，作图痕迹为分别以A、B为圆心作弧得到的上下两个交点的连线；②以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AB的垂直平分线交于点C，连接AC、BC，由垂直平分线性质可得AC=BC，又AC=AB，因此AB=AC=BC，△ABC就是所求的等边三角形。
【答案】
两种作图结果分别为、。
【知识点】
尺规作图，等边三角形判定，垂直平分线性质
【点评】
本题是基础的几何作图题，两种作图思路分别依托等边三角形的判定定理和垂直平分线的性质，既考查了基础尺规作图的操作规范，也考查了相关几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.8
要作等边△ABC，核心是满足三边相等即AB=AC=BC。第一种思路直接利用等边三角形三边相等的特征：分别以A、B为圆心，AB长度为半径作弧，两弧交点就是同时满足AC=AB、BC=AB的点C；第二种思路结合垂直平分线的性质简化操作：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，先作出AB的垂直平分线，保证了AC=BC，再在垂直平分线上选取使AC=AB的点C，即可满足三边相等，两种方法都符合尺规作图要求。
【解析】
方法1（对应第一张图）：分别以点A、点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两弧在AB上方交于点C，连接AC、BC，此时AB=AC=BC，△ABC就是所求的等边三角形，作图痕迹为两段分别以A、B为圆心的圆弧。
方法2（对应第二张图）：①先作线段AB的垂直平分线，作图痕迹为分别以A、B为圆心作弧得到的上下两个交点的连线；②以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AB的垂直平分线交于点C，连接AC、BC，由垂直平分线性质可得AC=BC，又AC=AB，因此AB=AC=BC，△ABC就是所求的等边三角形。
【答案】
两种作图结果分别为
、。【知识点】
尺规作图，等边三角形判定，垂直平分线性质
【点评】
本题是基础的几何作图题，两种作图思路分别依托等边三角形的判定定理和垂直平分线的性质，既考查了基础尺规作图的操作规范，也考查了相关几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.8
练习2.已知线段AB，在图8中作∠CAB=30°.(不写作法，保留痕迹)
答案
如图所示，作图结果为
。解析
【分析】
要作∠CAB=30°，首先明确该角顶点为A，其中一条边是AB。30°属于特殊角，我们可以利用等边三角形内角为60°的性质，先作出以A为顶点、AB为边的60°角，再通过尺规作角平分线的方法，将60°角平分为两个30°的角，即可得到符合要求的∠CAB，作图时注意保留所有作图痕迹即可。
【解析】
本题为尺规作图题，可按以下思路操作：先以点A为圆心取适当长度为半径画弧，与AB交于一点，再以该交点为圆心、相同长度为半径画弧，两弧交点与A的连线和AB构成60°角；之后作该60°角的角平分线，在角平分线上取点C，即可得到∠CAB=30°，作图全程保留所有弧线痕迹即可。
【答案】
【知识点】
特殊角尺规作图，角平分线作图，等边三角形性质
【点评】
本题属于基础作图类题型，主要考查对特殊角作图方法的掌握，作图时需注意清晰保留全部作图痕迹，避免遗漏作图步骤对应的痕迹。
【难度系数】
0.7
要作∠CAB=30°，首先明确该角顶点为A，其中一条边是AB。30°属于特殊角，我们可以利用等边三角形内角为60°的性质，先作出以A为顶点、AB为边的60°角，再通过尺规作角平分线的方法，将60°角平分为两个30°的角，即可得到符合要求的∠CAB，作图时注意保留所有作图痕迹即可。
【解析】
本题为尺规作图题，可按以下思路操作：先以点A为圆心取适当长度为半径画弧，与AB交于一点，再以该交点为圆心、相同长度为半径画弧，两弧交点与A的连线和AB构成60°角；之后作该60°角的角平分线，在角平分线上取点C，即可得到∠CAB=30°，作图全程保留所有弧线痕迹即可。
【答案】
【知识点】
特殊角尺规作图，角平分线作图，等边三角形性质
【点评】
本题属于基础作图类题型，主要考查对特殊角作图方法的掌握，作图时需注意清晰保留全部作图痕迹，避免遗漏作图步骤对应的痕迹。
【难度系数】
0.7
