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3. 王师傅加工一批零件，其中有1个不合格，略轻一些。质检人员说用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数范围是( )。
A.4~9
B.10~27
C.28~91
D.92~100
A.4~9
B.10~27
C.28~91
D.92~100
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，核心是理解找次品的规律：利用天平平衡原理，每次将零件分成三份（尽量平均分），这样每次称重能排除最多的正品，最快缩小次品范围。我们需要推导“至少称3次能保证找出次品”对应的零件数量范围：
1. 先明确每次称重能覆盖的最大零件数：称1次最多从3个零件中找出次品；称2次时，每次都分成3份，最多能处理3×3=9个零件；称3次时，最多能处理3×3×3=27个零件。
2. 再确定最少数量：至少称3次的话，零件数量要超过称2次能处理的最大数量（9个），也就是从10个开始。
综上，零件个数范围是10~27。
【解析】
找次品时，每次称重可将零件平均分成3份，通过天平平衡判断次品所在的份数，每次能将次品范围缩小到原来的$\frac{1}{3}$：
1. 称1次：最多可从$3^1=3$个零件中保证找出次品，对应范围$1∼3$；
2. 称2次：最多可从$3^2=9$个零件中保证找出次品，对应范围$4∼9$；
3. 称3次：最多可从$3^3=27$个零件中保证找出次品，最少数量为称2次的最大数量$+1=9+1=10$个，因此零件个数范围是$10∼27$。
【答案】
B
【知识点】
找次品问题；天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品问题的规律应用，关键是掌握“n次称重最多可从$3^n$个物品中保证找出次品”的规律，理解每次将物品分成三份尽量平均分是缩小次品范围的最优策略。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，核心是理解找次品的规律：利用天平平衡原理，每次将零件分成三份（尽量平均分），这样每次称重能排除最多的正品，最快缩小次品范围。我们需要推导“至少称3次能保证找出次品”对应的零件数量范围：
1. 先明确每次称重能覆盖的最大零件数：称1次最多从3个零件中找出次品；称2次时，每次都分成3份，最多能处理3×3=9个零件；称3次时，最多能处理3×3×3=27个零件。
2. 再确定最少数量：至少称3次的话，零件数量要超过称2次能处理的最大数量（9个），也就是从10个开始。
综上，零件个数范围是10~27。
【解析】
找次品时，每次称重可将零件平均分成3份，通过天平平衡判断次品所在的份数，每次能将次品范围缩小到原来的$\frac{1}{3}$：
1. 称1次：最多可从$3^1=3$个零件中保证找出次品，对应范围$1∼3$；
2. 称2次：最多可从$3^2=9$个零件中保证找出次品，对应范围$4∼9$；
3. 称3次：最多可从$3^3=27$个零件中保证找出次品，最少数量为称2次的最大数量$+1=9+1=10$个，因此零件个数范围是$10∼27$。
【答案】
B
【知识点】
找次品问题；天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品问题的规律应用，关键是掌握“n次称重最多可从$3^n$个物品中保证找出次品”的规律，理解每次将物品分成三份尽量平均分是缩小次品范围的最优策略。
【难度系数】
0.6
三、我会解答。
1. 28个零件里有一个不合格，不合格的零件比合格的重一些。用天平称，至少称几次就能保证把不合格的找出来？
1. 28个零件里有一个不合格，不合格的零件比合格的重一些。用天平称，至少称几次就能保证把不合格的找出来？
答案
1. 4次
解析
【分析】
要解决找不合格零件的问题，核心思路是利用天平“平衡则次品在未称部分，不平衡则次品在较重部分”的特点，采用三分法分组，每次尽量将零件平均分成三份，这样能最大程度缩小次品所在范围，同时必须考虑最坏情况（即每次都需要排查数量最多的那组），才能确定“保证找到次品”的最少次数。具体思考步骤：
1. 第一次分组：28个零件无法完全平均分成三份，所以分成9、9、10，先称两个9，确定次品在9个还是10个的组里；
2. 针对不同分组情况继续三分：若在9个中，可继续分成3、3、3，逐步缩小到1个；若在10个中，分成3、3、4，最坏情况是在4个里，再继续分组排查；
3. 最终通过逐步排除，确定最坏情况下需要的最少次数。
【解析】
我们采用三分法，结合最坏情况分析：
1. 第一次称量：把28个零件分成9个、9个、10个三份，将两份9个的零件分别放在天平两端。
若天平平衡，不合格零件在剩下的10个中；
若天平不平衡，不合格零件在较重的9个中。
2. 情况一：不合格零件在9个中
第二次称量：把9个零件分成3个、3个、3个三份，任取两份放在天平两端。
平衡则不合格零件在剩下的3个中；不平衡则在较重的3个中。
第三次称量：把3个零件分成1个、1个、1个三份，任取两份放在天平两端。
平衡则剩下的1个是不合格零件；不平衡则较重的1个是不合格零件。此情况共需3次，但这是较优情况，我们需考虑最坏情况。
3. 情况二：不合格零件在10个中
第二次称量：把10个零件分成3个、3个、4个三份，将两份3个的零件放在天平两端。
平衡则不合格零件在剩下的4个中；不平衡则在较重的3个中（若在3个中，第三次可找到，属于较优情况）。
第三次称量（最坏情况：在4个中）：把4个零件分成1个、1个、2个三份，将两份1个的零件放在天平两端。
平衡则不合格零件在剩下的2个中；不平衡则较重的1个是不合格零件。
第四次称量：把剩下的2个零件分别放在天平两端，较重的那个就是不合格零件。
综合最坏情况，至少称4次就能保证找出不合格零件。
【答案】
4次
【知识点】
找次品问题，三分法策略
【点评】
本题考查找次品的最优解题策略，关键在于利用天平的平衡特性，通过合理的三分分组逐步缩小次品范围，解题时需考虑最坏情况，才能确定“保证找到”的最少次数，培养逻辑推理和严谨思考的能力。
【难度系数】
0.3
要解决找不合格零件的问题，核心思路是利用天平“平衡则次品在未称部分，不平衡则次品在较重部分”的特点，采用三分法分组，每次尽量将零件平均分成三份，这样能最大程度缩小次品所在范围，同时必须考虑最坏情况（即每次都需要排查数量最多的那组），才能确定“保证找到次品”的最少次数。具体思考步骤：
1. 第一次分组：28个零件无法完全平均分成三份，所以分成9、9、10，先称两个9，确定次品在9个还是10个的组里；
2. 针对不同分组情况继续三分：若在9个中，可继续分成3、3、3，逐步缩小到1个；若在10个中，分成3、3、4，最坏情况是在4个里，再继续分组排查；
3. 最终通过逐步排除，确定最坏情况下需要的最少次数。
【解析】
我们采用三分法，结合最坏情况分析：
1. 第一次称量：把28个零件分成9个、9个、10个三份，将两份9个的零件分别放在天平两端。
若天平平衡，不合格零件在剩下的10个中；
若天平不平衡，不合格零件在较重的9个中。
2. 情况一：不合格零件在9个中
第二次称量：把9个零件分成3个、3个、3个三份，任取两份放在天平两端。
平衡则不合格零件在剩下的3个中；不平衡则在较重的3个中。
第三次称量：把3个零件分成1个、1个、1个三份，任取两份放在天平两端。
平衡则剩下的1个是不合格零件；不平衡则较重的1个是不合格零件。此情况共需3次，但这是较优情况，我们需考虑最坏情况。
3. 情况二：不合格零件在10个中
第二次称量：把10个零件分成3个、3个、4个三份，将两份3个的零件放在天平两端。
平衡则不合格零件在剩下的4个中；不平衡则在较重的3个中（若在3个中，第三次可找到，属于较优情况）。
第三次称量（最坏情况：在4个中）：把4个零件分成1个、1个、2个三份，将两份1个的零件放在天平两端。
平衡则不合格零件在剩下的2个中；不平衡则较重的1个是不合格零件。
第四次称量：把剩下的2个零件分别放在天平两端，较重的那个就是不合格零件。
综合最坏情况，至少称4次就能保证找出不合格零件。
【答案】
4次
【知识点】
找次品问题，三分法策略
【点评】
本题考查找次品的最优解题策略，关键在于利用天平的平衡特性，通过合理的三分分组逐步缩小次品范围，解题时需考虑最坏情况，才能确定“保证找到”的最少次数，培养逻辑推理和严谨思考的能力。
【难度系数】
0.3
2. 有9袋瓜子，其中一袋质量稍轻，如何利用天平把它找出来？用图表示出称的过程。
答案
1. 将9袋瓜子平均分成3份，每份3袋。
2. 第一次称量：把其中两份放在天平两端。
若天平平衡，稍轻的在未称的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
若天平不平衡，稍轻的在轻的一端的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
称量过程图：
```
9(3,3,3)
├─天平平衡→3(1,1,1)
│ ├─平衡→剩余1袋（稍轻）
│ └─不平衡→轻端1袋（稍轻）
└─天平不平衡→轻端3袋(1,1,1)
├─平衡→剩余1袋（稍轻）
└─不平衡→轻端1袋（稍轻）
```
答：至少称2次可找出质量稍轻的那袋瓜子。
2. 第一次称量：把其中两份放在天平两端。
若天平平衡，稍轻的在未称的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
若天平不平衡，稍轻的在轻的一端的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
称量过程图：
```
9(3,3,3)
├─天平平衡→3(1,1,1)
│ ├─平衡→剩余1袋（稍轻）
│ └─不平衡→轻端1袋（稍轻）
└─天平不平衡→轻端3袋(1,1,1)
├─平衡→剩余1袋（稍轻）
└─不平衡→轻端1袋（稍轻）
```
答：至少称2次可找出质量稍轻的那袋瓜子。
解析
【分析】
要找出质量稍轻的一袋瓜子，核心是利用天平的平衡原理，通过合理分组来缩小次品的范围。因为天平一次可对比两组物品，将9袋平均分成3份（每份3袋）是最优策略：第一次称量就能把次品范围从9袋缩小到3袋，之后再对这3袋重复类似操作，就能快速确定次品。具体思考步骤：首先把9袋分成3份，称其中两份，根据天平是否平衡判断次品在哪3袋中；再把有次品的3袋分成3份，称其中两袋，就能找出稍轻的那袋。
【解析】
1. 将9袋瓜子平均分成3份，每份3袋。
2. 第一次称量：把其中两份放在天平两端。
若天平平衡，稍轻的在未称的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
若天平不平衡，稍轻的在轻的一端的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
称量过程图：
```
9(3,3,3)
├─天平平衡→3(1,1,1)
│ ├─平衡→剩余1袋（稍轻）
│ └─不平衡→轻端1袋（稍轻）
└─天平不平衡→轻端3袋(1,1,1)
├─平衡→剩余1袋（稍轻）
└─不平衡→轻端1袋（稍轻）
```
答：至少称2次可找出质量稍轻的那袋瓜子。
【答案】
至少称2次可找出质量稍轻的那袋瓜子，称量过程如上述解析及图示。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题是找次品的基础典型题，通过合理分组（平均分成3份）的优化策略，能以最少的称量次数确定次品，既考查了对天平平衡原理的运用，也培养了学生的逻辑推理与优化思维。
【难度系数】
0.7
要找出质量稍轻的一袋瓜子，核心是利用天平的平衡原理，通过合理分组来缩小次品的范围。因为天平一次可对比两组物品，将9袋平均分成3份（每份3袋）是最优策略：第一次称量就能把次品范围从9袋缩小到3袋，之后再对这3袋重复类似操作，就能快速确定次品。具体思考步骤：首先把9袋分成3份，称其中两份，根据天平是否平衡判断次品在哪3袋中；再把有次品的3袋分成3份，称其中两袋，就能找出稍轻的那袋。
【解析】
1. 将9袋瓜子平均分成3份，每份3袋。
2. 第一次称量：把其中两份放在天平两端。
若天平平衡，稍轻的在未称的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
若天平不平衡，稍轻的在轻的一端的3袋中；
第二次称量：从这3袋中任取2袋放在天平两端，
平衡则剩下的1袋是稍轻的；
不平衡则轻的一端的袋子是稍轻的。
称量过程图：
```
9(3,3,3)
├─天平平衡→3(1,1,1)
│ ├─平衡→剩余1袋（稍轻）
│ └─不平衡→轻端1袋（稍轻）
└─天平不平衡→轻端3袋(1,1,1)
├─平衡→剩余1袋（稍轻）
└─不平衡→轻端1袋（稍轻）
```
答：至少称2次可找出质量稍轻的那袋瓜子。
【答案】
至少称2次可找出质量稍轻的那袋瓜子，称量过程如上述解析及图示。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题是找次品的基础典型题，通过合理分组（平均分成3份）的优化策略，能以最少的称量次数确定次品，既考查了对天平平衡原理的运用，也培养了学生的逻辑推理与优化思维。
【难度系数】
0.7
四、我会做。
有8瓶眼药水，编号是 $ \textcircled{1} $至 $ \textcircled{8} $，其中6瓶是一样重的，是合格产品，另外两瓶都轻1g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：第一次 $ \textcircled{1} $ $ +\textcircled{2} $比 $ \textcircled{3} $ $ +\textcircled{4} $重，第二次 $ \textcircled{5} $ $ +\textcircled{6} $比 $ \textcircled{7} $ $ +\textcircled{8} $轻，第三次 $ \textcircled{1} $ $ +\textcircled{3} $ $ +\textcircled{5} $与 $ \textcircled{2} $ $ +\textcircled{4} $ $ +\textcircled{8} $一样重，那么这两瓶不合格的产品分别是几号？
有8瓶眼药水，编号是 $ \textcircled{1} $至 $ \textcircled{8} $，其中6瓶是一样重的，是合格产品，另外两瓶都轻1g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：第一次 $ \textcircled{1} $ $ +\textcircled{2} $比 $ \textcircled{3} $ $ +\textcircled{4} $重，第二次 $ \textcircled{5} $ $ +\textcircled{6} $比 $ \textcircled{7} $ $ +\textcircled{8} $轻，第三次 $ \textcircled{1} $ $ +\textcircled{3} $ $ +\textcircled{5} $与 $ \textcircled{2} $ $ +\textcircled{4} $ $ +\textcircled{8} $一样重，那么这两瓶不合格的产品分别是几号？
答案
④和⑤是不合格产品。
解析
【分析】
首先，根据三次称重结果逐步缩小不合格产品范围：
1. 第一次称重：①+②比③+④重，由于合格产品重量相同，说明③和④中至少有一瓶是轻1g的不合格产品，同时①、②是合格产品（若①或②不合格，①+②会更轻，与结果矛盾）。
2. 第二次称重：⑤+⑥比⑦+⑧轻，同理可得⑤和⑥中至少有一瓶是不合格产品，同时⑦、⑧是合格产品。
3. 第三次称重：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，结合前两次结论，①、②、⑦、⑧都是合格产品，等式两边去掉合格产品后，可转化为③+⑤的重量等于④的重量（合格产品重量相同可抵消）。结合只有两瓶不合格的条件，假设④是不合格产品，那么③必须是合格产品，此时⑤只能是不合格产品，这样既满足前两次称重结果，也符合第三次称重平衡的条件。
【解析】
步骤1：根据第一次称重①+②＞③+④，得出：①、②为合格产品，③、④中至少有1瓶不合格；
步骤2：根据第二次称重⑤+⑥＜⑦+⑧，得出：⑦、⑧为合格产品，⑤、⑥中至少有1瓶不合格；
步骤3：结合“只有两瓶不合格”，可知不合格产品分别在③、④和⑤、⑥中各1瓶；
步骤4：设合格产品重量为$a$，第三次称重①+③+⑤=②+④+⑧，代入合格产品重量可得：$a + \mathrm{③的重量} + \mathrm{⑤的重量} = a + \mathrm{④的重量} + a$，化简得：$\mathrm{③的重量} + \mathrm{⑤的重量} = \mathrm{④的重量} + a$；
步骤5：假设③是合格产品（重量为$a$），则等式变为$a + \mathrm{⑤的重量} = \mathrm{④的重量} + a$，即$\mathrm{⑤的重量} = \mathrm{④的重量}$，结合不合格产品轻1g的特点，可知④和⑤都为不合格产品（重量为$a-1$），代入验证所有称重结果均成立。
【答案】
④和⑤是不合格产品。
【知识点】
逻辑推理、等量代换
【点评】
本题主要考查逻辑推理能力，需要结合多次称重结果逐步缩小范围，通过假设验证的方法确定不合格产品，解题关键是利用合格产品重量相同的特点对等式进行简化分析。
【难度系数】
0.4
首先，根据三次称重结果逐步缩小不合格产品范围：
1. 第一次称重：①+②比③+④重，由于合格产品重量相同，说明③和④中至少有一瓶是轻1g的不合格产品，同时①、②是合格产品（若①或②不合格，①+②会更轻，与结果矛盾）。
2. 第二次称重：⑤+⑥比⑦+⑧轻，同理可得⑤和⑥中至少有一瓶是不合格产品，同时⑦、⑧是合格产品。
3. 第三次称重：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，结合前两次结论，①、②、⑦、⑧都是合格产品，等式两边去掉合格产品后，可转化为③+⑤的重量等于④的重量（合格产品重量相同可抵消）。结合只有两瓶不合格的条件，假设④是不合格产品，那么③必须是合格产品，此时⑤只能是不合格产品，这样既满足前两次称重结果，也符合第三次称重平衡的条件。
【解析】
步骤1：根据第一次称重①+②＞③+④，得出：①、②为合格产品，③、④中至少有1瓶不合格；
步骤2：根据第二次称重⑤+⑥＜⑦+⑧，得出：⑦、⑧为合格产品，⑤、⑥中至少有1瓶不合格；
步骤3：结合“只有两瓶不合格”，可知不合格产品分别在③、④和⑤、⑥中各1瓶；
步骤4：设合格产品重量为$a$，第三次称重①+③+⑤=②+④+⑧，代入合格产品重量可得：$a + \mathrm{③的重量} + \mathrm{⑤的重量} = a + \mathrm{④的重量} + a$，化简得：$\mathrm{③的重量} + \mathrm{⑤的重量} = \mathrm{④的重量} + a$；
步骤5：假设③是合格产品（重量为$a$），则等式变为$a + \mathrm{⑤的重量} = \mathrm{④的重量} + a$，即$\mathrm{⑤的重量} = \mathrm{④的重量}$，结合不合格产品轻1g的特点，可知④和⑤都为不合格产品（重量为$a-1$），代入验证所有称重结果均成立。
【答案】
④和⑤是不合格产品。
【知识点】
逻辑推理、等量代换
【点评】
本题主要考查逻辑推理能力，需要结合多次称重结果逐步缩小范围，通过假设验证的方法确定不合格产品，解题关键是利用合格产品重量相同的特点对等式进行简化分析。
【难度系数】
0.4
