23. 定义:如果一个四边形有两条邻边相等,且这两条边的夹角的对角是直角,那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”,把夹角所对的直角称为“对直角”。
(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,若$∠ ADB=40°,∠ CDB=20°,∠ C=140°$,$∠ ABC=70°$,请判断四边形 ABCD 是否为“等对直四边形”,并说明理由。
(2)如图 2,若四边形 ABCD 是“等对直四边形”,$∠ A$是“对直角”,$AD=4$,$AB=6$,对角线 BD 恰好平分四边形 ABCD 中的一个内角,求此时 BC的长。
(3)如图 3,若四边形 ABCD 是“等对直四边形”,$∠ DAB$是“对直角”,$DA=2,DB=2\sqrt{10},DC=2\sqrt{5}$,求此时对角线 AC 的长。

第 23 题图

23. 解:(1)四边形$ABCD$是“等对直四边形”。理由如下:因为$∠ CDB=20°,∠ C=140°$,所以$∠ CBD=20°$,所以$CD=CB$。因为$∠ ADB=40°,∠ ABC=70°$,所以$∠ A=90°$,所以四边形$ABCD$是“等对直四边形”。
(2)第一种情况:$BD$平分$∠ ABC$,因为四边形$ABCD$是“等对直四边形”,$∠ A$是“对直角”,所以$CD=CB,∠ A=90°$,所以$∠ CDB=∠ CBD$,因为$BD$平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ CBD$,所以$∠ ABD=∠ CDB$,所以$DC// AB$。如图1,过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,则四边形$ADCE$是平行四边形。设$BC$的长为$x$,则$AE=CD=BC=x$。因为$AD=4,AB=6$,所以$CE=AD=4,BE=AB-AE=6-x$。在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$CE^2+BE^2=BC^2$,所以$4^2+(6-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{13}{3}$,所以$BC=\frac{13}{3}$。第二种情况:$BD$平分$∠ ADC$,同理可证$AD// CB$。如图2,过点$C$作$CF⊥ AD$交$AD$的延长线于点$F$,则四边形$ABCF$是平行四边形。设$BC$的长为$x$,则$AF=CD=BC=x$。因为$AD=4,AB=6$,所以$CF=AB=6,DF=AF-AD=x-4$,所以$6^2+(x-4)^2=x^2$,解得$x=\frac{13}{2}$,所以$BC=\frac{13}{2}$。综上,$BC$的长为$\frac{13}{3}$或$\frac{13}{2}$。
(3)如图3,过点$C$作$CF⊥ AD$交$AD$的延长线于点$F$,过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,则$∠ F=∠ CEB=90°$。因为四边形$ABCD$是“等对直四边形”,$∠ DAB$是“对直角”,所以$CD=CB,∠ DAB=90°$。因为$DA=2,DB=2\sqrt{10}$,所以$AB=\sqrt{DB^2-DA^2}=6$。因为$DB=2\sqrt{10},DC=2\sqrt{5}$,所以$DB^2=DC^2+BC^2$,所以$∠ DCB=90°$。因为$∠ DCB+∠ DAB=180°$,所以$∠ ADC+∠ ABC=180°$。因为$∠ ADC+∠ CDF=180°$,所以$∠ CBE=∠ CDF$。因为$CD=CB$,所以$△ CDF≌△ CBE(\mathrm{AAS})$,所以$DF=BE,CF=CE$,所以四边形$AECF$是正方形,所以$AE=AF$,所以$AB-BE=AD+DF$,即$6-BE=2+BE$,所以$BE=2$,所以$AE=CE=4$,所以$AC=4\sqrt{2}$。