21. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组
$\begin{cases}x - 2y = 2m - 7, \\2x + y = 3m + 2.\end{cases}$
（1）当 $ m = 3 $ 时，请求出此方程组的解.
（2）若关于 $ x $，$ y $ 的方程组
$\begin{cases}x - 2y = 2m - 7, \\2x + y = 3m + 2\end{cases}$
的解满足 $ x $，$ y $ 均为正数.
① 求 $ m $ 的取值范围.
② 已知 $ m + n = 3 $，且 $ n ＞ 0 $，$ z = 3m - 2n $，求 $ z $ 的取值范围.

(1) 当$m=3$时，方程组为$\begin{cases}x-2y=-1 \quad ①,\\2x+y=11 \quad ②,\end{cases}$ ①+②×2，得$5x=21$，解得$x=\dfrac{21}{5}$。把$x=\dfrac{21}{5}$代入②，得$2×\dfrac{21}{5}+y=11$，解得$y=\dfrac{13}{5}$。
∴当$m=3$时，方程组的解是$\begin{cases}x=\dfrac{21}{5},\\y=\dfrac{13}{5}.\end{cases}$
(2) ① 解方程组，得$\begin{cases}x=\dfrac{8m-3}{5},\\y=\dfrac{-m+16}{5}.\end{cases}$
∵$x,y$均为正数，
∴$\begin{cases}\dfrac{8m-3}{5}＞0,\\\dfrac{-m+16}{5}＞0.\end{cases}$ 解得$\dfrac{3}{8}＜ m＜ 16$。
②
∵$m+n=3$，
∴$n=3-m$。
∴$z=3m-2n=3m-2(3-m)=5m-6$。
∵$n＞0$，
∴$3-m＞0$。
∴$m＜3$。
∵$\dfrac{3}{8}＜ m＜ 16$，
∴$\dfrac{3}{8}＜ m＜3$。
∴$\dfrac{3}{8}×5 -6＜ 5m-6＜3×5-6$，即$-\dfrac{33}{8}＜ z＜9$。

22. 某电器超市销售进价分别为 160 元/台,120 元/台的 A,B 两种型号的电风扇,近两周的销售情况如下:第一周,A,B 两种型号的电风扇分别销售 3 台和 4 台,销售总收入为 1 200 元;第二周,A,B 两种型号的电风扇分别销售5 台和 6 台,销售总收入为 1 900 元.
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
(1) 求 A,B 两种型号的电风扇的售价.
(2) 若超市准备用不多于 7 500 元的钱数再采购这两种型号的电风扇共50 台,求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台.
(3) 在(2)的条件下,超市销售完这50 台电风扇能否实现利润超过1 850 元的目标?若能,请你给出相应的采购方案;若不能,请你说明理由.

(1) 设A,B两种型号的电风扇的售价分别为$x$元/台,$y$元/台.由题意,得$\begin{cases}3x+4y=1200,\\5x+6y=1900,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=200,\\y=150.\end{cases}$答:A,B两种型号的电风扇的售价分别为200元/台,150元/台.
(2) 设采购A种型号的电风扇$a$台,则采购B种型号的电风扇$(50-a)$台.由题意,得$160a+120(50-a)≤7500$,解得$a≤37.5$.答:当超市最多采购A种型号的电风扇37台时,采购金额不多于7500元.
(3) 由题意,得$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1850$,解得$a＞35$.$\because a≤37.5$,且$a$为整数,$\therefore a$可取36或37.
∴方案有两种:采购A种型号的电风扇36台,B种型号的电风扇14台;采购A种型号的电风扇37台,B种型号的电风扇13台.

23. 已知 AD 是 $△ ABC$ 的角平分线($∠ ABC ≠ ∠ ACB$),过射线 AD 上一点 P 作 $PE ⊥ AD$,交射线 AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 M.
(1) 如图 1,若 $∠ ABC = 40°, ∠ ACB = 70°$,求 $∠ PMB$ 的度数.
(2) 如图 2,若 $∠ ABC - ∠ ACB = 40°$,求 $∠ PMB$ 的度数.
(3) 试探究 $∠ ABC, ∠ ACB, ∠ PMB$ 之间的数量关系,并加以证明.

(1) 如图1,延长EP交AB于点Q.在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°$,$∠ ACB=70°$,$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-40°-70°=70°$.$\because AD$是$△ ABC$的角平分线,$\therefore ∠ QAP=\dfrac{1}{2}∠ QAE=\dfrac{1}{2}×70°=35°$.$\because PE⊥ AD$,$\therefore ∠ APQ=90°$.在$\mathrm{Rt}△ AQP$中,$∠ AQP=90°-∠ QAP=90°-35°=55°$.$\because ∠ AQP=∠ B+∠ PMB$,$\therefore ∠ PMB=∠ AQP-∠ B=55°-40°=15°$.
(2) 设$∠ ACB=x°$,则$∠ ABC=x°+40°$.如图2,延长AB,MP相交于点H.$\because AD$是$△ ABC$的角平分线,$\therefore ∠ HAP=∠ EAP$.$\because AP⊥ PM$,$\therefore ∠ APH=∠ APE=90°$.$\therefore ∠ AHP=∠ AEP$.$\because ∠ ABC=∠ AHP+∠ PMB$,$\therefore x°+40°=∠ AHP+∠ PMB \quad ①$.$\because ∠ ECM=∠ ACB=x°$,$∠ AEP=∠ ECM+∠ PMB$,$\therefore ∠ AEP=x°+∠ PMB \quad ②$.①+②,得$2∠ PMB=40°$.$\therefore ∠ PMB=20°$.
(3) 有两种情形,如下:① 当$∠ ABC＜∠ ACB$时,$∠ PMB=\dfrac{1}{2}(∠ ACB-∠ ABC)$.证明:如图3,延长EP交AB于点Q.$\because AD$是$△ ABC$的角平分线,$\therefore ∠ QAP=∠ EAP$.$\because AP⊥ PM$,$\therefore ∠ APQ=∠ APE=90°$.$\therefore ∠ AQP=∠ AEP$.$\because ∠ AQP=∠ ABC+∠ PMB$,$∠ AEP=∠ MEC=∠ ACB-∠ PMB$,$\therefore ∠ ABC+∠ PMB=∠ ACB-∠ PMB$.$\therefore ∠ PMB=\dfrac{1}{2}(∠ ACB-∠ ABC)$.② 当$∠ ABC＞∠ ACB$时,$∠ PMB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC-∠ ACB)$,证明略.