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15. 定义：关于$x$的方程$ax-b=0$与方程$bx-a=0$($a$、$b$均为不等于0的常数)称互为“反对方程”，例如：方程$2x-1=0$与方程$x-2=0$互为“反对方程”。
(1)若关于$x$的方程$5x-3=0$与方程$3x-c=0$互为“反对方程”，则$c=$
(2)若关于$x$的方程$4x+3m+2=0$与方程$5x-n+2=0$互为“反对方程”，求$mn$的值；
(3)若关于$x$的方程$2x-c=0$与其“反对方程”的解都是整数，求整数$c$的值。
(1)若关于$x$的方程$5x-3=0$与方程$3x-c=0$互为“反对方程”，则$c=$
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；(2)若关于$x$的方程$4x+3m+2=0$与方程$5x-n+2=0$互为“反对方程”，求$mn$的值；
(3)若关于$x$的方程$2x-c=0$与其“反对方程”的解都是整数，求整数$c$的值。
答案
15. (1)5 (2)$mn=-14$ (3)$c$的值为$\pm2$.
解析
【分析】
解题核心是准确理解“反对方程”的定义：关于x的方程$ax-b=0$与$bx-a=0$（$a$、$b$均不为0）互为反对方程，即把原方程的一次项系数$a$和常数项对应的$b$互换位置，即可得到对应反对方程。
(1) 先确定已知方程的$a$、$b$值，按定义写出反对方程，对比系数即可求$c$；
(2) 先将两个方程整理为$ax-b=0$的标准形式，根据反对方程的对应系数相等关系分别求$m$、$n$，再计算$mn$；
(3) 先写出原方程的反对方程，分别求两个方程的解，再结合解为整数、$c$为整数的条件筛选出符合要求的$c$值。
【解析】
(1) 根据“反对方程”定义，方程$5x-3=0$中$a=5$，$b=3$，其反对方程为$3x-5=0$，已知它与$3x-c=0$互为反对方程，对比得$c=5$。
(2) 将两个方程整理为$ax-b=0$的标准形式：
方程$4x+3m+2=0$变形为$4x - (-3m-2)=0$，
方程$5x-n+2=0$变形为$5x - (n-2)=0$，
∵两个方程互为反对方程，
∴$\begin{cases}-3m-2=5 \\ n-2=4\end{cases}$
解第一个方程：$-3m=7$，得$m=-\frac{7}{3}$，
解第二个方程：$n=6$，
∴$mn=(-\frac{7}{3})×6=-14$。
(3) 方程$2x-c=0$的“反对方程”为$cx-2=0$，
分别解两个方程：
解$2x-c=0$得$x=\frac{c}{2}$，
解$cx-2=0$得$x=\frac{2}{c}$，
由题意两个解均为整数，且$c$为不等于0的整数：
首先$\frac{2}{c}$为整数，则$c$是2的整数因数，可能取值为$\pm1、\pm2$，
再验证$\frac{c}{2}$为整数：
$c=1$时$\frac{1}{2}$不是整数，舍去；$c=-1$时$-\frac{1}{2}$不是整数，舍去；
$c=2$时$\frac{2}{2}=1$是整数，符合要求；$c=-2$时$\frac{-2}{2}=-1$是整数，符合要求；
综上，整数$c$的值为$\pm2$。
【答案】
(1)$5$；(2)$mn=-14$；(3)$c$的值为$\pm2$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的解，整数解判定
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题关键是准确理解新定义内涵，将新定义问题转化为常规一元一次方程求解问题，注意隐含的系数不为0的条件，求解整数解时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题核心是准确理解“反对方程”的定义：关于x的方程$ax-b=0$与$bx-a=0$（$a$、$b$均不为0）互为反对方程，即把原方程的一次项系数$a$和常数项对应的$b$互换位置，即可得到对应反对方程。
(1) 先确定已知方程的$a$、$b$值，按定义写出反对方程，对比系数即可求$c$；
(2) 先将两个方程整理为$ax-b=0$的标准形式，根据反对方程的对应系数相等关系分别求$m$、$n$，再计算$mn$；
(3) 先写出原方程的反对方程，分别求两个方程的解，再结合解为整数、$c$为整数的条件筛选出符合要求的$c$值。
【解析】
(1) 根据“反对方程”定义，方程$5x-3=0$中$a=5$，$b=3$，其反对方程为$3x-5=0$，已知它与$3x-c=0$互为反对方程，对比得$c=5$。
(2) 将两个方程整理为$ax-b=0$的标准形式：
方程$4x+3m+2=0$变形为$4x - (-3m-2)=0$，
方程$5x-n+2=0$变形为$5x - (n-2)=0$，
∵两个方程互为反对方程，
∴$\begin{cases}-3m-2=5 \\ n-2=4\end{cases}$
解第一个方程：$-3m=7$，得$m=-\frac{7}{3}$，
解第二个方程：$n=6$，
∴$mn=(-\frac{7}{3})×6=-14$。
(3) 方程$2x-c=0$的“反对方程”为$cx-2=0$，
分别解两个方程：
解$2x-c=0$得$x=\frac{c}{2}$，
解$cx-2=0$得$x=\frac{2}{c}$，
由题意两个解均为整数，且$c$为不等于0的整数：
首先$\frac{2}{c}$为整数，则$c$是2的整数因数，可能取值为$\pm1、\pm2$，
再验证$\frac{c}{2}$为整数：
$c=1$时$\frac{1}{2}$不是整数，舍去；$c=-1$时$-\frac{1}{2}$不是整数，舍去；
$c=2$时$\frac{2}{2}=1$是整数，符合要求；$c=-2$时$\frac{-2}{2}=-1$是整数，符合要求；
综上，整数$c$的值为$\pm2$。
【答案】
(1)$5$；(2)$mn=-14$；(3)$c$的值为$\pm2$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的解，整数解判定
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题关键是准确理解新定义内涵，将新定义问题转化为常规一元一次方程求解问题，注意隐含的系数不为0的条件，求解整数解时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
16.（环保理念）为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费. 峰时段为8:00—21:00；谷时段为21:00—次日8:00. 如表为该地某户居民11月份的电费账单的部分信息，设其中的峰时电量为x千瓦时，根据所给信息，解决下列问题.
(1)填空(用含x的代数式表示)：①
月日 星期 天气
(2)由题意，可列方程为
(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？
(1)填空(用含x的代数式表示)：①
$350-x$
，②$0.56x$
，③$0.36(350-x)$
；月日 星期 天气
(2)由题意，可列方程为
$0.56x+0.36(350-x)=160$
；(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？
答案
16. (1)$350-x$ $0.56x$ $0.36(350-x)$ (2)$0.56x+0.36(350-x)=160$ (3)该账单中的峰时电量为170千瓦时，谷时电量180千瓦时.
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：①合计电量=峰时电量+谷时电量，已知总电量和峰时电量，即可用代数式表示谷时电量；②电费=单价×用电量，结合峰、谷时段的单价和对应电量，就能分别表示出两个时段的电费；③总电费为峰时电费与谷时电费之和，据此可列方程，最后求解一元一次方程即可得到峰、谷时的实际电量。
【解析】
(1) 已知合计电量为350千瓦时，峰时电量为x千瓦时，因此谷时电量为总电量减去峰时电量，即$\boxed{350-x}$千瓦时；
峰时电费=峰时单价×峰时电量，峰时单价为0.56元/千瓦时，因此峰时金额为$\boxed{0.56x}$元；
谷时电费=谷时单价×谷时电量，谷时单价为0.36元/千瓦时，因此谷时金额为$\boxed{0.36(350-x)}$元。
(2) 已知合计金额为160元，即峰时电费+谷时电费=160元，因此可列方程：$\boxed{0.56x + 0.36(350 - x) = 160}$。
(3) 解上述方程：
去括号得：$0.56x + 126 - 0.36x = 160$
合并同类项得：$0.2x + 126 = 160$
移项得：$0.2x = 160 - 126$，即$0.2x = 34$
系数化为1得：$x = 170$
则谷时电量为$350 - 170 = 180$（千瓦时）。
【答案】
(1) $350-x$；$0.56x$；$0.36(350-x)$
(2) $0.56x+0.36(350-x)=160$
(3) 峰时电量为170千瓦时，谷时电量为180千瓦时。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的实际应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合生活中峰谷计费的实际场景考查一元一次方程的应用，解题核心是理清用电量、单价、总费用三者的数量关系，找准等量关系列方程求解，题目贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.75
解题时首先梳理题目中的数量关系：①合计电量=峰时电量+谷时电量，已知总电量和峰时电量，即可用代数式表示谷时电量；②电费=单价×用电量，结合峰、谷时段的单价和对应电量，就能分别表示出两个时段的电费；③总电费为峰时电费与谷时电费之和，据此可列方程，最后求解一元一次方程即可得到峰、谷时的实际电量。
【解析】
(1) 已知合计电量为350千瓦时，峰时电量为x千瓦时，因此谷时电量为总电量减去峰时电量，即$\boxed{350-x}$千瓦时；
峰时电费=峰时单价×峰时电量，峰时单价为0.56元/千瓦时，因此峰时金额为$\boxed{0.56x}$元；
谷时电费=谷时单价×谷时电量，谷时单价为0.36元/千瓦时，因此谷时金额为$\boxed{0.36(350-x)}$元。
(2) 已知合计金额为160元，即峰时电费+谷时电费=160元，因此可列方程：$\boxed{0.56x + 0.36(350 - x) = 160}$。
(3) 解上述方程：
去括号得：$0.56x + 126 - 0.36x = 160$
合并同类项得：$0.2x + 126 = 160$
移项得：$0.2x = 160 - 126$，即$0.2x = 34$
系数化为1得：$x = 170$
则谷时电量为$350 - 170 = 180$（千瓦时）。
【答案】
(1) $350-x$；$0.56x$；$0.36(350-x)$
(2) $0.56x+0.36(350-x)=160$
(3) 峰时电量为170千瓦时，谷时电量为180千瓦时。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的实际应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合生活中峰谷计费的实际场景考查一元一次方程的应用，解题核心是理清用电量、单价、总费用三者的数量关系，找准等量关系列方程求解，题目贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.75
