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9. 下列关于反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的说法正确的是 (
A. 它的图象在第二、四象限 B. 它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C. 当$x=-\sqrt{2}$时,$y=-1$ D. y随x的增大而减小
B
)A. 它的图象在第二、四象限 B. 它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C. 当$x=-\sqrt{2}$时,$y=-1$ D. y随x的增大而减小
答案
9. B
解析
【分析】
要判断关于反比例函数$y=\frac{2}{x}$的说法是否正确，需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的性质，逐一分析每个选项：先明确$k=2＞0$时图象的位置、增减性，再判断图象的对称性，最后代入数值验证选项。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$：
选项A：当$k＞0$时，图象在第一、三象限，而非第二、四象限，故A错误；
选项B：反比例函数的图象是双曲线，既是轴对称图形（对称轴为直线$y=x$和$y=-x$），也是中心对称图形（对称中心为原点），故B正确；
选项C：当$x=-\sqrt{2}$时，代入函数得$y=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}≠-1$，故C错误；
选项D：$k＞0$时，应为“在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小”，并非整个定义域内$y$随$x$增大而减小（例如$x=1$时$y=2$，$x=-1$时$y=-2$，$x$增大时$y$增大），故D错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，需重点掌握$k$值对图象位置、增减性的影响，以及反比例函数图象的对称性，易错点是增减性的表述需强调“在每个象限内”。
【难度系数】
0.6
要判断关于反比例函数$y=\frac{2}{x}$的说法是否正确，需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的性质，逐一分析每个选项：先明确$k=2＞0$时图象的位置、增减性，再判断图象的对称性，最后代入数值验证选项。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$：
选项A：当$k＞0$时，图象在第一、三象限，而非第二、四象限，故A错误；
选项B：反比例函数的图象是双曲线，既是轴对称图形（对称轴为直线$y=x$和$y=-x$），也是中心对称图形（对称中心为原点），故B正确；
选项C：当$x=-\sqrt{2}$时，代入函数得$y=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}≠-1$，故C错误；
选项D：$k＞0$时，应为“在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小”，并非整个定义域内$y$随$x$增大而减小（例如$x=1$时$y=2$，$x=-1$时$y=-2$，$x$增大时$y$增大），故D错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，需重点掌握$k$值对图象位置、增减性的影响，以及反比例函数图象的对称性，易错点是增减性的表述需强调“在每个象限内”。
【难度系数】
0.6
10. (2025新疆)在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx-k(k≠0)$与 $y=\frac{k}{|x|}$ 的大致图象为(
C
)答案
10. C
解析
【分析】
要判断函数$y=kx-k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的图象，需分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：
1. 分析反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$：因$|x|＞0$，$y$的符号由$k$决定，$k＞0$时$y＞0$，图象在第一、二象限；$k＜0$时$y＜0$，图象在第三、四象限。
2. 分析一次函数$y=kx-k$：变形为$y=k(x-1)$，斜率为$k$且过定点$(1,0)$；$k＞0$时斜率为正、截距$-k＜0$，图象过第一、三、四象限；$k＜0$时斜率为负、截距$-k＞0$，图象过第一、二、四象限。
结合两个函数的图象特征，逐一排除错误选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$中，$y=\frac{k}{|x|}＞0$，图象在第一、二象限；
一次函数$y=kx-k$，斜率$k＞0$，截距$-k＜0$，图象过第一、三、四象限。
观察选项，仅选项C符合该情况。
② 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$中，$y=\frac{k}{|x|}＜0$，图象在第三、四象限；
一次函数$y=kx-k$，斜率$k＜0$，截距$-k＞0$，图象过第一、二、四象限。
观察选项，无符合该情况的选项。
综上，只有选项C满足两个函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象、反比例函数图象、绝对值函数
【点评】
本题结合一次函数与含绝对值的反比例函数图象，通过分类讨论$k$的正负分析函数性质，考查了函数图象的判断方法，是常见的函数综合题型，需熟练掌握两类函数的图象特征。
【难度系数】
0.5
要判断函数$y=kx-k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的图象，需分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：
1. 分析反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$：因$|x|＞0$，$y$的符号由$k$决定，$k＞0$时$y＞0$，图象在第一、二象限；$k＜0$时$y＜0$，图象在第三、四象限。
2. 分析一次函数$y=kx-k$：变形为$y=k(x-1)$，斜率为$k$且过定点$(1,0)$；$k＞0$时斜率为正、截距$-k＜0$，图象过第一、三、四象限；$k＜0$时斜率为负、截距$-k＞0$，图象过第一、二、四象限。
结合两个函数的图象特征，逐一排除错误选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$中，$y=\frac{k}{|x|}＞0$，图象在第一、二象限；
一次函数$y=kx-k$，斜率$k＞0$，截距$-k＜0$，图象过第一、三、四象限。
观察选项，仅选项C符合该情况。
② 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$中，$y=\frac{k}{|x|}＜0$，图象在第三、四象限；
一次函数$y=kx-k$，斜率$k＜0$，截距$-k＞0$，图象过第一、二、四象限。
观察选项，无符合该情况的选项。
综上，只有选项C满足两个函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象、反比例函数图象、绝对值函数
【点评】
本题结合一次函数与含绝对值的反比例函数图象，通过分类讨论$k$的正负分析函数性质，考查了函数图象的判断方法，是常见的函数综合题型，需熟练掌握两类函数的图象特征。
【难度系数】
0.5
11. 一次函数$y=kx+2$(k为常数,且$k≠0$)图象上两点$A(-1,m),B(3,n)$,且$m＞n$,下列关于反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象性质的说法中,正确的是 (
A. 图象关于y轴对称 B. 图象在第一、第三象限
C. y随x的增大而增大 D. 当$x＜0$时,$y＞0$
D
)A. 图象关于y轴对称 B. 图象在第一、第三象限
C. y随x的增大而增大 D. 当$x＜0$时,$y＞0$
答案
11. D
解析
【分析】
要解决本题，需先根据一次函数上两点的坐标关系及$m＞n$的条件求出$k$的符号，再结合$k$的符号分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质，逐一判断选项。步骤如下：1. 将A、B两点代入一次函数表达式，得到$m$、$n$关于$k$的式子；2. 利用$m＞n$的条件列不等式，求解得到$k$的正负；3. 根据$k$的符号，回忆反比例函数的图象与性质，逐一分析各选项，选出正确答案。
【解析】
1. 代入点坐标求$m$、$n$：
因为点$A(-1,m)$在一次函数$y=kx+2$上，将$x=-1$代入得：$m = -k + 2$；
点$B(3,n)$在一次函数$y=kx+2$上，将$x=3$代入得：$n = 3k + 2$。
2. 利用$m＞n$求$k$的符号：
由$m＞n$可得不等式：$-k + 2 ＞ 3k + 2$，
移项整理：$-k - 3k ＞ 2 - 2$，即$-4k ＞ 0$，
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得$k ＜ 0$。
3. 分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＜0$）的性质：
选项A：反比例函数的图象关于原点对称，而非y轴对称，A错误；
选项B：当$k＜0$时，反比例函数图象在第二、四象限，而非第一、三象限，B错误；
选项C：反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，并非整个定义域内，C错误；
选项D：当$x＜0$时，$k＜0$，则$y=\frac{k}{x} = \frac{负数}{负数} = 正数$，即$y＞0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数性质、反比例函数性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题结合一次函数的点坐标关系确定参数符号，考查反比例函数的图象性质，属于基础题型，解题关键是先求出$k$的符号，再逐一分析选项，需准确掌握一次函数与反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先根据一次函数上两点的坐标关系及$m＞n$的条件求出$k$的符号，再结合$k$的符号分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质，逐一判断选项。步骤如下：1. 将A、B两点代入一次函数表达式，得到$m$、$n$关于$k$的式子；2. 利用$m＞n$的条件列不等式，求解得到$k$的正负；3. 根据$k$的符号，回忆反比例函数的图象与性质，逐一分析各选项，选出正确答案。
【解析】
1. 代入点坐标求$m$、$n$：
因为点$A(-1,m)$在一次函数$y=kx+2$上，将$x=-1$代入得：$m = -k + 2$；
点$B(3,n)$在一次函数$y=kx+2$上，将$x=3$代入得：$n = 3k + 2$。
2. 利用$m＞n$求$k$的符号：
由$m＞n$可得不等式：$-k + 2 ＞ 3k + 2$，
移项整理：$-k - 3k ＞ 2 - 2$，即$-4k ＞ 0$，
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得$k ＜ 0$。
3. 分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＜0$）的性质：
选项A：反比例函数的图象关于原点对称，而非y轴对称，A错误；
选项B：当$k＜0$时，反比例函数图象在第二、四象限，而非第一、三象限，B错误；
选项C：反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，并非整个定义域内，C错误；
选项D：当$x＜0$时，$k＜0$，则$y=\frac{k}{x} = \frac{负数}{负数} = 正数$，即$y＞0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数性质、反比例函数性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题结合一次函数的点坐标关系确定参数符号，考查反比例函数的图象性质，属于基础题型，解题关键是先求出$k$的符号，再逐一分析选项，需准确掌握一次函数与反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6
12. 如图所示为反比例函数 $y=\frac{m-6}{x}$ 的图象的一支.根据给出的图象,回答下面的问题:
(1) 该函数的图象位于哪几个象限? 请确定m的取值范围.
(2) 在这个函数的图象上取点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$.如果$y_{1}＜y_{2}$,那么$x_{1}$与$x_{2}$有怎样的大小关系?
(1) 该函数的图象位于哪几个象限? 请确定m的取值范围.
(2) 在这个函数的图象上取点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$.如果$y_{1}＜y_{2}$,那么$x_{1}$与$x_{2}$有怎样的大小关系?
答案
12.（1）该函数的图象位于第二、四象限.$m＜6$
（2）① 当$y_{1}＜y_{2}＜0$时,$x_{1}＜x_{2}$;② 当$0＜y_{1}＜y_{2}$时,
$x_{1}＜x_{2}$;③ 当$y_{1}＜0＜y_{2}$时,$x_{2}＜x_{1}$
（2）① 当$y_{1}＜y_{2}＜0$时,$x_{1}＜x_{2}$;② 当$0＜y_{1}＜y_{2}$时,
$x_{1}＜x_{2}$;③ 当$y_{1}＜0＜y_{2}$时,$x_{2}＜x_{1}$
解析
【分析】
首先观察反比例函数的图像，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像分布由比例系数$k$的符号决定：$k＞0$时图像在第一、三象限，$k＜0$时图像在第二、四象限。对于问题（1），已知图像一支在第四象限，可确定函数所在象限，进而求出$m$的范围；对于问题（2），反比例函数在每个象限内的增减性为“$y$随$x$的增大而增大”，但点$A$、$B$可能在同一象限或不同象限，需分情况讨论$y_1$、$y_2$的符号，再判断$x_1$与$x_2$的关系。
【解析】
（1）反比例函数$y=\frac{m-6}{x}$的图像一支在第四象限，说明该函数的图象位于第二、四象限。
根据反比例函数的性质，当比例系数$k＜0$时，图象在第二、四象限，这里$k=m-6$，因此：
$m - 6 ＜ 0$，解得$m ＜ 6$。
（2）由（1）知$m＜6$，即$k=m-6＜0$，反比例函数$y=\frac{m-6}{x}$在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，需分三种情况讨论：
① 若$y_1 ＜ y_2 ＜ 0$，说明点$A$、$B$都在第四象限，根据增减性，$y$随$x$增大而增大，故$x_1 ＜ x_2$；
② 若$0 ＜ y_1 ＜ y_2$，说明点$A$、$B$都在第二象限，同理，$y$随$x$增大而增大，故$x_1 ＜ x_2$；
③ 若$y_1 ＜ 0 ＜ y_2$，说明点$A$在第四象限，点$B$在第二象限，第四象限的$x$为正，第二象限的$x$为负，故$x_2 ＜ x_1$。
【答案】
（1）该函数的图象位于第二、四象限，$m$的取值范围是$m＜6$；
（2）①当$y_1＜y_2＜0$时，$x_1＜x_2$；②当$0＜y_1＜y_2$时，$x_1＜x_2$；③当$y_1＜0＜y_2$时，$x_2＜x_1$。
【知识点】
反比例函数的图像、反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是利用比例系数判断图像分布，以及分象限讨论函数的增减性，易错点是忽略点在不同象限的情况，直接判断$x$的关系，需注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.5
首先观察反比例函数的图像，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像分布由比例系数$k$的符号决定：$k＞0$时图像在第一、三象限，$k＜0$时图像在第二、四象限。对于问题（1），已知图像一支在第四象限，可确定函数所在象限，进而求出$m$的范围；对于问题（2），反比例函数在每个象限内的增减性为“$y$随$x$的增大而增大”，但点$A$、$B$可能在同一象限或不同象限，需分情况讨论$y_1$、$y_2$的符号，再判断$x_1$与$x_2$的关系。
【解析】
（1）反比例函数$y=\frac{m-6}{x}$的图像一支在第四象限，说明该函数的图象位于第二、四象限。
根据反比例函数的性质，当比例系数$k＜0$时，图象在第二、四象限，这里$k=m-6$，因此：
$m - 6 ＜ 0$，解得$m ＜ 6$。
（2）由（1）知$m＜6$，即$k=m-6＜0$，反比例函数$y=\frac{m-6}{x}$在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，需分三种情况讨论：
① 若$y_1 ＜ y_2 ＜ 0$，说明点$A$、$B$都在第四象限，根据增减性，$y$随$x$增大而增大，故$x_1 ＜ x_2$；
② 若$0 ＜ y_1 ＜ y_2$，说明点$A$、$B$都在第二象限，同理，$y$随$x$增大而增大，故$x_1 ＜ x_2$；
③ 若$y_1 ＜ 0 ＜ y_2$，说明点$A$在第四象限，点$B$在第二象限，第四象限的$x$为正，第二象限的$x$为负，故$x_2 ＜ x_1$。
【答案】
（1）该函数的图象位于第二、四象限，$m$的取值范围是$m＜6$；
（2）①当$y_1＜y_2＜0$时，$x_1＜x_2$；②当$0＜y_1＜y_2$时，$x_1＜x_2$；③当$y_1＜0＜y_2$时，$x_2＜x_1$。
【知识点】
反比例函数的图像、反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是利用比例系数判断图像分布，以及分象限讨论函数的增减性，易错点是忽略点在不同象限的情况，直接判断$x$的关系，需注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.5
13. 如图,正比例函数 $y_{1}=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y_{2}=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点$A(m,2)$.
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 把直线 $y_{1}=\frac{1}{2}x$ 向上平移3个单位长度与 $y_{2}=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点B,连接AB,OB,求$△ AOB$的面积.
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 把直线 $y_{1}=\frac{1}{2}x$ 向上平移3个单位长度与 $y_{2}=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点B,连接AB,OB,求$△ AOB$的面积.
答案
13. (1) $y_{2}=\dfrac{8}{x}$. (2) $S_{△ AOB}=6$.
解析
【分析】
要解决本题，需分两步进行：第一步，利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数求出k，得到反比例函数表达式；第二步，先求出平移后的直线解析式，联立反比例函数解析式得到点B的坐标，最后用平面直角坐标系中三角形面积公式计算△AOB的面积。具体思路：先通过交点A在正比例函数上求A点坐标，再求反比例函数的k值；再根据直线平移规则得到新直线，联立反比例函数求B点坐标，最后用坐标法计算三角形面积。
【解析】
(1) 因为点A(m,2)在正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$的图象上，将$A(m,2)$代入$y_1=\frac{1}{2}x$，得：
$2=\frac{1}{2}m$，解得$m=4$，所以点A的坐标为$(4,2)$。
又因为点A在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将$A(4,2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得：
$k=4×2=8$，因此反比例函数的表达式为$y_2=\frac{8}{x}$。
(2) 直线$y_1=\frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度后，所得直线的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
联立平移后的直线与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+3 \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$
将$y=\frac{1}{2}x+3$代入$y=\frac{8}{x}$，得：
$\frac{1}{2}x+3=\frac{8}{x}$，两边同乘$2x$（$x＞0$）整理得：
$x^2+6x-16=0$，
解这个一元二次方程，判别式$\Delta=6^2-4×1×(-16)=100$，
所以$x=\frac{-6±10}{2}$，因为$x＞0$，故取$x=\frac{-6+10}{2}=2$，
将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x+3$，得$y=4$，即点B的坐标为$(2,4)$。
计算$△ AOB$的面积，利用平面直角坐标系中三角形面积公式：对于原点$O(0,0)$，点$A(x_1,y_1)$，点$B(x_2,y_2)$，面积$S=\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$，
代入$A(4,2)$、$B(2,4)$，得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|4×4 - 2×2|=\frac{1}{2}|16-4|=6$。
【答案】
(1) $y_2=\frac{8}{x}$；(2) $6$
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数平移、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正比例函数、反比例函数的性质，一次函数平移规则，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题关键是正确求出各交点坐标，利用坐标法计算面积，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需分两步进行：第一步，利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数求出k，得到反比例函数表达式；第二步，先求出平移后的直线解析式，联立反比例函数解析式得到点B的坐标，最后用平面直角坐标系中三角形面积公式计算△AOB的面积。具体思路：先通过交点A在正比例函数上求A点坐标，再求反比例函数的k值；再根据直线平移规则得到新直线，联立反比例函数求B点坐标，最后用坐标法计算三角形面积。
【解析】
(1) 因为点A(m,2)在正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$的图象上，将$A(m,2)$代入$y_1=\frac{1}{2}x$，得：
$2=\frac{1}{2}m$，解得$m=4$，所以点A的坐标为$(4,2)$。
又因为点A在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将$A(4,2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得：
$k=4×2=8$，因此反比例函数的表达式为$y_2=\frac{8}{x}$。
(2) 直线$y_1=\frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度后，所得直线的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
联立平移后的直线与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+3 \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$
将$y=\frac{1}{2}x+3$代入$y=\frac{8}{x}$，得：
$\frac{1}{2}x+3=\frac{8}{x}$，两边同乘$2x$（$x＞0$）整理得：
$x^2+6x-16=0$，
解这个一元二次方程，判别式$\Delta=6^2-4×1×(-16)=100$，
所以$x=\frac{-6±10}{2}$，因为$x＞0$，故取$x=\frac{-6+10}{2}=2$，
将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x+3$，得$y=4$，即点B的坐标为$(2,4)$。
计算$△ AOB$的面积，利用平面直角坐标系中三角形面积公式：对于原点$O(0,0)$，点$A(x_1,y_1)$，点$B(x_2,y_2)$，面积$S=\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$，
代入$A(4,2)$、$B(2,4)$，得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|4×4 - 2×2|=\frac{1}{2}|16-4|=6$。
【答案】
(1) $y_2=\frac{8}{x}$；(2) $6$
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数平移、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正比例函数、反比例函数的性质，一次函数平移规则，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题关键是正确求出各交点坐标，利用坐标法计算面积，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.3
