登录
疑难点拨
为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加射击比赛,特统计了他们最近10次射击训练的成绩,其中,他们射击的平均成绩为8.9环,方差分别是$s^{2}_{甲}=0.8$环²,$s^{2}_{乙}=13$环²,从稳定性的角度看
点拨 方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据离散程度越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,数据的离散程度越小,即波动越小,数据越稳定.
为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加射击比赛,特统计了他们最近10次射击训练的成绩,其中,他们射击的平均成绩为8.9环,方差分别是$s^{2}_{甲}=0.8$环²,$s^{2}_{乙}=13$环²,从稳定性的角度看
甲
(填"甲"或"乙")的成绩更稳定.点拨 方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据离散程度越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,数据的离散程度越小,即波动越小,数据越稳定.
答案
甲
解析
【分析】要判断谁的成绩更稳定，需依据方差的核心意义：方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定。接下来比较甲、乙两人的方差大小，即可得出结论。
【解析】方差是衡量一组数据波动（离散）程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。已知甲的方差$s^2_甲=0.8$，乙的方差$s^2_乙=13$，因为$0.8＜13$，即甲的方差小于乙的方差，所以从稳定性角度看，甲的成绩更稳定。
【答案】甲
【知识点】方差的意义
【点评】本题考查方差意义的基础应用，属于统计部分的基础题，只要掌握“方差越小数据越稳定”的关系即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】方差是衡量一组数据波动（离散）程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。已知甲的方差$s^2_甲=0.8$，乙的方差$s^2_乙=13$，因为$0.8＜13$，即甲的方差小于乙的方差，所以从稳定性角度看，甲的成绩更稳定。
【答案】甲
【知识点】方差的意义
【点评】本题考查方差意义的基础应用，属于统计部分的基础题，只要掌握“方差越小数据越稳定”的关系即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.7
1. 在某校举办的"学习强国"演讲比赛中,六位评委给小华的评分(单位:分)分别为8,7.5,9.5,8.5,8.5,9,则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为
2.5
.答案
1. 2.5
解析
【分析】首先明确离差平方和的定义：一组数据中每个数据与该组数据平均值的差的平方之和。解题时需先计算这组评分的平均数，再分别计算每个评分与平均数的差的平方，最后求和得到离差平方和。
【解析】1. 计算六位评委评分的平均数：$\bar{x} = \frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6} = \frac{51}{6} = 8.5$；
2. 计算离差平方和：$\sum_{i=1}^{6}(x_i - \bar{x})^2 = (8-8.5)^2 + (7.5-8.5)^2 + (9.5-8.5)^2 + (8.5-8.5)^2 + (8.5-8.5)^2 + (9-8.5)^2 = 0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25 = 2.5$；
【答案】2.5
【知识点】离差平方和、平均数计算
【点评】本题考查统计中离差平方和的基础计算，核心是掌握离差平方和的定义，步骤清晰，计算简单，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】1. 计算六位评委评分的平均数：$\bar{x} = \frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6} = \frac{51}{6} = 8.5$；
2. 计算离差平方和：$\sum_{i=1}^{6}(x_i - \bar{x})^2 = (8-8.5)^2 + (7.5-8.5)^2 + (9.5-8.5)^2 + (8.5-8.5)^2 + (8.5-8.5)^2 + (9-8.5)^2 = 0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25 = 2.5$；
【答案】2.5
【知识点】离差平方和、平均数计算
【点评】本题考查统计中离差平方和的基础计算，核心是掌握离差平方和的定义，步骤清晰，计算简单，属于基础题型。
【难度系数】0.7
2. 一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 (
A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
D
)A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
答案
2. D
解析
【分析】要计算这组数据的方差，需按照方差的计算逻辑分步进行：首先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数，即可得到方差。
【解析】解：1. 计算平均数：这组数据为2,3,3,4，共4个数据，总和为$2+3+3+4=12$，因此平均数$\bar{x}=\frac{12}{4}=3$；
2. 计算每个数据与平均数的差的平方：$(2-3)^2=1$，$(3-3)^2=0$，$(3-3)^2=0$，$(4-3)^2=1$；
3. 计算方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，代入得$s^2=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)=0.5$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】方差计算、平均数计算
【点评】本题考查统计模块中基础的方差计算，属于常规基础题，只要牢记方差计算公式并准确计算即可得分，需注意计算过程的数值准确性。
【难度系数】0.8
【解析】解：1. 计算平均数：这组数据为2,3,3,4，共4个数据，总和为$2+3+3+4=12$，因此平均数$\bar{x}=\frac{12}{4}=3$；
2. 计算每个数据与平均数的差的平方：$(2-3)^2=1$，$(3-3)^2=0$，$(3-3)^2=0$，$(4-3)^2=1$；
3. 计算方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，代入得$s^2=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)=0.5$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】方差计算、平均数计算
【点评】本题考查统计模块中基础的方差计算，属于常规基础题，只要牢记方差计算公式并准确计算即可得分，需注意计算过程的数值准确性。
【难度系数】0.8
3. (2026盐城阜宁)某校开展了红色经典故事演讲比赛,其中5名同学的成绩(单位:分)分别为:86,88,90,92,94,这组数据的方差是 (
A.7分²
B.8分²
C.9分²
D.10分²
B
)A.7分²
B.8分²
C.9分²
D.10分²
答案
3. B
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需遵循方差的计算步骤：先求出数据的平均数，再根据方差公式计算各数据与平均数差值的平方的平均数，即可得到方差。
【解析】
1. 计算数据的平均数：
这组数据为86,88,90,92,94，共5个，平均数$\bar{x}=\frac{86+88+90+92+94}{5}=\frac{450}{5}=90$。
2. 代入方差公式计算：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n=5$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(86-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(92-90)^2+(94-90)^2]$
$=\frac{1}{5}[16+4+0+4+16]=\frac{40}{5}=8$（分²），对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
方差计算、平均数
【点评】
本题考查方差的基础计算，属于统计类基础题，只要牢记方差公式，按步骤计算即可，计算时需注意差值的平方运算准确性。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，需遵循方差的计算步骤：先求出数据的平均数，再根据方差公式计算各数据与平均数差值的平方的平均数，即可得到方差。
【解析】
1. 计算数据的平均数：
这组数据为86,88,90,92,94，共5个，平均数$\bar{x}=\frac{86+88+90+92+94}{5}=\frac{450}{5}=90$。
2. 代入方差公式计算：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n=5$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(86-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(92-90)^2+(94-90)^2]$
$=\frac{1}{5}[16+4+0+4+16]=\frac{40}{5}=8$（分²），对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
方差计算、平均数
【点评】
本题考查方差的基础计算，属于统计类基础题，只要牢记方差公式，按步骤计算即可，计算时需注意差值的平方运算准确性。
【难度系数】
0.8
4. 已知一组数据4,4,4,x的方差为0,则这组数据的平均数为
4
.答案
4. 4
解析
【分析】首先明确方差的意义：方差是衡量数据波动程度的统计量，当方差为0时，说明这组数据无波动，所有数据都相等。据此先确定x的值，再计算这组数据的平均数。
【解析】根据方差的性质：若一组数据的方差为0，则该组数据的所有数值均相等。已知数据为4,4,4,x，因此x=4。这组数据的平均数$\bar{x}$=$\frac{4+4+4+4}{4}$=4。
【答案】4
【知识点】方差的性质、平均数的计算
【点评】本题考查方差的基本性质和平均数的计算，属于基础题，只要理解方差为0的含义即可快速求解。
【难度系数】0.3
【解析】根据方差的性质：若一组数据的方差为0，则该组数据的所有数值均相等。已知数据为4,4,4,x，因此x=4。这组数据的平均数$\bar{x}$=$\frac{4+4+4+4}{4}$=4。
【答案】4
【知识点】方差的性质、平均数的计算
【点评】本题考查方差的基本性质和平均数的计算，属于基础题，只要理解方差为0的含义即可快速求解。
【难度系数】0.3
5. 已知一组数据的方差$s^{2}=\frac{1}{5}×[(4-8)^{2}+(7-8)^{2}+(9-8)^{2}+(m-8)^{2}+(n-8)^{2}]$,则$m+n=$
20
.答案
5. 20
解析
【分析】
要解决本题，需先明确方差的计算公式：方差是各数据与平均数的差的平方的平均数，即$s^2=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k (x_i-\bar{x})^2$，其中$\bar{x}$是数据的平均数，$k$是数据个数。本题给出的方差表达式中，每个差的减数为8，可直接确定这组数据的平均数$\bar{x}=8$，数据共5个，分别为4、7、9、m、n。再利用平均数的定义（平均数=所有数据之和÷数据个数）建立方程，即可求出$m+n$的值。
【解析】
根据方差公式，可知这组数据的平均数$\bar{x}=8$，数据个数为5，这组数据为4、7、9、m、n。
根据平均数的计算公式：
$\bar{x}=\frac{4+7+9+m+n}{5}$
将$\bar{x}=8$代入上式：
$8=\frac{20 + m + n}{5}$
两边同乘5得：
$40 = 20 + m + n$
移项计算得：
$m + n = 20$
【答案】
20
【知识点】
方差、平均数
【点评】
本题考查方差与平均数的基础概念，核心是理解方差公式中隐含的平均数信息，利用平均数定义建立方程求解，属于统计模块的基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先明确方差的计算公式：方差是各数据与平均数的差的平方的平均数，即$s^2=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k (x_i-\bar{x})^2$，其中$\bar{x}$是数据的平均数，$k$是数据个数。本题给出的方差表达式中，每个差的减数为8，可直接确定这组数据的平均数$\bar{x}=8$，数据共5个，分别为4、7、9、m、n。再利用平均数的定义（平均数=所有数据之和÷数据个数）建立方程，即可求出$m+n$的值。
【解析】
根据方差公式，可知这组数据的平均数$\bar{x}=8$，数据个数为5，这组数据为4、7、9、m、n。
根据平均数的计算公式：
$\bar{x}=\frac{4+7+9+m+n}{5}$
将$\bar{x}=8$代入上式：
$8=\frac{20 + m + n}{5}$
两边同乘5得：
$40 = 20 + m + n$
移项计算得：
$m + n = 20$
【答案】
20
【知识点】
方差、平均数
【点评】
本题考查方差与平均数的基础概念，核心是理解方差公式中隐含的平均数信息，利用平均数定义建立方程求解，属于统计模块的基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两名队员练习射击,每次射击的环数为整数,两人各射击10次,其成绩分别绘制成如图所示的统计图,两幅图均有部分被污染,两名队员10次的射击成绩整理后,得到的统计表如下表所示.
(1) 甲队员射中7环的次数为
(2)
(1) 甲队员射中7环的次数为
4
;$a=$7
,$b=$7
,$c=$7.5
;(2)
甲
队员的发挥更稳定.答案
6. (1) 4 7 7 7.5 (2) 甲
解析
【分析】
要解决本题，需明确统计相关概念：频数是某数据出现的次数，平均数为数据总和除以个数，中位数是排序后中间位置的数（偶数个时为中间两数的平均数），众数是出现次数最多的数，方差反映数据稳定性（方差越小越稳定）。对于（1），甲射击总次数为10，用总次数减去其他环数的次数可得射中7环的次数，再结合对应统计量的定义计算a、b、c；对于（2），通过比较甲、乙方差大小判断发挥稳定性。
【解析】
（1）甲射击总次数为10次，结合统计图信息，甲射中6环、8环、9环、10环的次数分别为2、2、1、1，因此甲射中7环的次数为：10 - (2+2+1+1) = 4次；
甲的平均数a = 7，乙的中位数b = 7，乙的众数c = 7.5；
（2）方差越小，数据的发挥越稳定，甲的方差小于乙的方差，因此甲队员发挥更稳定。
【答案】
(1) 4；7；7；7.5 (2) 甲
【知识点】
频数计算；平均数；中位数；众数；方差
【点评】
本题考查统计量的基础应用，需掌握频数、平均数、中位数、众数的计算方法，以及方差的稳定性意义，属于统计部分的常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需明确统计相关概念：频数是某数据出现的次数，平均数为数据总和除以个数，中位数是排序后中间位置的数（偶数个时为中间两数的平均数），众数是出现次数最多的数，方差反映数据稳定性（方差越小越稳定）。对于（1），甲射击总次数为10，用总次数减去其他环数的次数可得射中7环的次数，再结合对应统计量的定义计算a、b、c；对于（2），通过比较甲、乙方差大小判断发挥稳定性。
【解析】
（1）甲射击总次数为10次，结合统计图信息，甲射中6环、8环、9环、10环的次数分别为2、2、1、1，因此甲射中7环的次数为：10 - (2+2+1+1) = 4次；
甲的平均数a = 7，乙的中位数b = 7，乙的众数c = 7.5；
（2）方差越小，数据的发挥越稳定，甲的方差小于乙的方差，因此甲队员发挥更稳定。
【答案】
(1) 4；7；7；7.5 (2) 甲
【知识点】
频数计算；平均数；中位数；众数；方差
【点评】
本题考查统计量的基础应用，需掌握频数、平均数、中位数、众数的计算方法，以及方差的稳定性意义，属于统计部分的常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.4
