1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$. 若 $9a+3b+c=0$, 则该方程一定有一个根为（）

A.$-3$
B.$3$
C.$\pm 3$
D.不能确定

B

【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。题目给出了9a+3b+c=0，我们只需将x=3代入原方程，看是否满足等式即可判断根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在未知数$x=m$，使得$am^2+bm+c=0$，则$x=m$是该方程的根。
将$x=3$代入方程左边得：$a×3^2 + b×3 + c = 9a + 3b + c$，已知$9a+3b+c=0$，即左边等于右边，因此$x=3$是方程的根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的概念，无需解方程，直接通过代入验证即可得出结论，属于基础概念题，重点考查对根的定义的理解与应用。
【难度系数】
0.8

2. 已知$(m-3)x^{m^2-7}+2026x-2026=0$是关于$x$的一元二次方程,则$m$的值为（）

A.$3$
B.$0$
C.$-3$
D.$\pm3$

C

【分析】
要解决这道题，需紧扣一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0。首先根据“未知数最高次数为2”列出关于m的方程，解出m的可能值；再根据“二次项系数不为0”排除不符合的m值，即可得到答案。
【解析】
因为方程$(m-3)x^{m^2-7}+2026x-2026=0$是关于x的一元二次方程，所以需满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$m^2 -7 = 2$，解得$m^2=9$，因此$m=3$或$m=-3$；
2. 二次项系数不能为0，即$m-3≠0$，因此$m≠3$。
综合两个条件，$m=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是同时满足“最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个条件，容易因忽略二次项系数的限制而错选D，需注意细节。
【难度系数】
0.5

3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(ac ≠ 0)$ 有一根为 $x=m$,则关于 $x$ 的一元二次方程 $cx^2-bx+a=0(ac ≠ 0)$ 必有一根为（）

A.$-m$
B.$\dfrac{1}{m}$
C.$m$
D.$-\dfrac{1}{m}$

D 提示: 因为 $m$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(ac ≠ 0)$ 的一个根, 所以 $am^2+bm+c=0$, 所以 $a+\dfrac{b}{m}+\dfrac{c}{m^2}=0$, 所以 $c(-\dfrac{1}{m})^2-(-\dfrac{1}{m})b+a=0$, 所以 $-\dfrac{1}{m}$ 是方程 $cx^2-bx+a=0(ac ≠ 0)$ 的一个根.

【分析】要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义：若$x=m$是方程的根，则代入方程等式成立。已知方程$ax^2+bx+c=0$有根$m$，代入得到$am^2+bm+c=0$；结合$ac≠0$可推出$m≠0$，对等式两边除以$m^2$后整理，使其符合目标方程$cx^2-bx+a=0$的形式，即可找到目标方程的根。
【解析】
∵ $m$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(ac≠0)$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$am^2 + bm + c = 0$。
又
∵ $ac≠0$，
∴ $a≠0$且$c≠0$，若$m=0$，代入得$c=0$，与$ac≠0$矛盾，故$m≠0$。
对等式$am^2 + bm + c = 0$两边同时除以$m^2$，得：
$a + \frac{b}{m} + \frac{c}{m^2} = 0$，
整理为：$c·(-\frac{1}{m})^2 - b·(-\frac{1}{m}) + a = 0$，
这表明当$x=-\frac{1}{m}$时，方程$cx^2 -bx +a=0$成立，因此方程$cx^2 -bx +a=0$必有一根为$-\frac{1}{m}$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的定义；方程的变形
【点评】本题考查一元二次方程根的定义的应用，关键是利用已知根的等式，通过合理变形（两边除以$m^2$）匹配目标方程的结构，需注意$m≠0$的隐含条件，难度适中。
【难度系数】0.5

4. 如图,某小区在一块长16 m、宽9 m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路,其中一条和矩形的一边平行,另外两条和矩形的另一边平行,空地剩下的部分种植花草,使得花草区域占地面积为$120\ \mathrm{m}^2$.设小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$,现给出下列方程:①$(16-2x)(9-x)=120$; ②$16×9-9×2x-(16-2x)x=120$; ③$16×9-9×2x-16x+x^2=120$.其中正确的是（）


A.①
B.②
C.①②
D.①②③

C

【分析】
要判断方程是否正确，可通过两种思路分析：一是利用平移法将分散的花草区域合并为规则矩形，直接计算面积；二是用矩形总面积减去小路的总面积，得到花草区域面积，需注意小路交叉部分的面积计算是否正确。
【解析】
方法一：平移法。将两条纵向小路向矩形左右两边平移，一条横向小路向矩形上边平移，此时花草区域合并为一个新的矩形，该矩形的长为原矩形长减去2条纵向小路的宽度，即$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为原矩形宽减去1条横向小路的宽度，即$(9-x)\ \mathrm{m}$，根据花草面积为$120\ \mathrm{m}^2$，可得方程$(16-2x)(9-x)=120$，故①正确。
方法二：总面积减小路面积法。原矩形总面积为$16×9=144\ \mathrm{m}^2$；两条纵向小路的总面积为$2×9x=18x\ \mathrm{m}^2$，一条横向小路的长因被两条纵向小路各占$x\ \mathrm{m}$，故其面积为$(16-2x)x\ \mathrm{m}^2$，因此小路总面积为$18x + (16-2x)x$，则花草面积为$16×9 - [18x + (16-2x)x] =120$，整理后与②式一致，故②正确；③式中计算小路面积时，交叉部分重复减去了$x^2$，应加回$2x^2$，故③错误。综上，正确的是①②，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积、一元二次方程应用
【点评】
本题考查一元二次方程在几何面积问题中的应用，核心是掌握“平移法简化图形”或“正确计算小路面积（避免重复/遗漏）”，属于基础应用题，需理清图形各部分的数量关系。
【难度系数】
0.6

5. 若$m$是方程$x^{2}+x-1=0$的一个根，则代数式$m^{3}+2m^{2}-7$的值是.

-6 提示: 由题意, 得 $m^2+m=1$, 所以 $m^3+2m^2-7=m^3+m^2+m^2-7=m(m^2+m)+m^2-7=-6$.

【分析】
要解决这个问题，首先利用“方程的根满足方程”这一性质，得到关于$m$的二次关系式，再通过对所求代数式进行降次变形，将高次项转化为已知的低次关系式，进而计算出结果。
【解析】
解：因为$m$是方程$x^2 + x -1 =0$的根，所以将$x=m$代入方程得：
$m^2 + m -1 =0$，即$m^2 + m =1$。
对代数式$m^3 + 2m^2 -7$变形：
$m^3 + 2m^2 -7 = m^3 + m^2 + m^2 -7$
$= m(m^2 + m) + m^2 -7$
将$m^2 + m =1$代入上式：
$= m×1 + m^2 -7 = m^2 + m -7$
再代入$m^2 + m =1$：
$=1 -7 = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值（降次法）
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的降次求值，核心是利用方程根的性质进行合理变形，将高次代数式转化为低次形式简化计算，属于基础题型，需掌握代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.6

6. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + c = 0$ 和一元一次方程 $2x - 6 = 0$ 为“相伴方程”，则$c$ 的值为.

3 提示: 解方程 $2x-6=0$, 得 $x=3$. 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+c=0$ 和一元一次方程 $2x-6=0$ 为“相伴方程”, 所以 $x=3$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+c=0$ 的解, 所以 $9-12+c=0$, 解得 $c=3$.

【分析】首先明确“相伴方程”的定义：两个方程有相同的整数解。因此先解已知的一元一次方程，得到它的解，该解即为一元二次方程的解，将其代入一元二次方程即可求出c的值。
【解析】解方程2x - 6 = 0，移项得2x = 6，系数化为1，得x = 3。因为方程x² - 4x + c = 0与2x - 6 = 0是“相伴方程”，所以x = 3是方程x² - 4x + c = 0的解，将x = 3代入方程得：3² - 4×3 + c = 0，计算得9 - 12 + c = 0，解得c = 3。
【答案】3
【知识点】一元一次方程的解、一元二次方程的解
【点评】本题是新定义类型的基础题，核心是理解“相伴方程”的定义，通过解一元一次方程获取公共解，再利用方程解的定义代入二次方程求解参数，难度较低，主要考查学生对新定义的理解和方程解的应用能力。
【难度系数】0.8

7. 在一元二次方程 $x^{2}-2ax+b=0$ 中, 若 $a^{2}-b＞0$, 则称 $a$ 是该方程的中点值.
(1) 方程 $x^{2}-10x+1=0$ 的中点值是多少?
(2) 已知方程 $x^{2}-mx+n=0$ 的中点值是3,且其中一个根是 1,求 $mn$ 的值.

解:(1) 由题意, 得 $2a=10$, 解得 $a=5$. 又因为 $5^2-1=24＞0$, 所以方程 $x^2-10x+1=0$ 的中点值是 5.
(2) 由题意, 得 $\dfrac{1}{2}m=3$, 解得 $m=6$, 所以方程为 $x^2-6x+n=0$. 把 $x=1$ 代入, 得 $n=5$. 经检验, $3^2-5=4＞0$, 所以 $m=6,n=5$ 符合题意, 所以 $mn=30$.

【分析】
首先明确题目中“中点值”的定义：对于一元二次方程$x^2 -2ax +b=0$，满足$a^2 -b＞0$的$a$即为该方程的中点值。解题时，需先将给定方程与标准形式对比，找到对应关系求出$a$（或$m$），再验证中点值的条件；第二问需利用中点值求出$m$，结合方程的根求出$n$，最后计算$mn$。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -10x +1=0$，对比标准形式$x^2 -2ax +b=0$，可得$2a=10$，解得$a=5$。验证中点值条件：$a^2 -b=5^2 -1=24＞0$，符合要求，因此该方程的中点值为5。
(2) 已知方程$x^2 -mx +n=0$的中点值是3，根据定义，中点值$a=3$，对应标准形式中$2a=m$，故$m=2×3=6$，此时方程为$x^2 -6x +n=0$。将根$x=1$代入方程，得$1^2 -6×1 +n=0$，解得$n=5$。验证中点值条件：$3^2 -5=4＞0$，符合要求，因此$m=6$，$n=5$，则$mn=6×5=30$。
【答案】
(1) 5；(2) 30
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“中点值”的定义，将新定义转化为一元二次方程系数的关系，再结合方程根的性质求解，整体难度不大，主要考查学生对新定义的理解能力和一元二次方程基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.6