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1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是()
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
答案
A
解析
根据平行四边形和矩形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分是所有平行四边形都具备的特征，选项B、C、D不符合题意；矩形是特殊的平行四边形，对角线相等，而一般的平行四边形对角线不一定相等，该特征是矩形具有而一般平行四边形不一定具有的，因此选A。
2.如图,矩形的对角线相交于点 O,下列结论一定正确的是()
A.$OA⊥OB$
B.$∠BAC=∠ACB$
C.$OA=OB$
D.$AD=AB$
A.$OA⊥OB$
B.$∠BAC=∠ACB$
C.$OA=OB$
D.$AD=AB$
答案
C
解析
根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，因此OA=OB。逐一判断选项：
A. 仅正方形这类特殊矩形的对角线互相垂直，普通矩形不满足OA⊥OB，错误；
B. 仅邻边相等的特殊矩形（正方形）满足∠BAC=∠ACB，普通矩形不成立，错误；
C. 由矩形对角线的性质可直接推出OA=OB，正确；
D. AD=AB是邻边相等的矩形（正方形）的特征，普通矩形不满足，错误。
A. 仅正方形这类特殊矩形的对角线互相垂直，普通矩形不满足OA⊥OB，错误；
B. 仅邻边相等的特殊矩形（正方形）满足∠BAC=∠ACB，普通矩形不成立，错误；
C. 由矩形对角线的性质可直接推出OA=OB，正确；
D. AD=AB是邻边相等的矩形（正方形）的特征，普通矩形不满足，错误。
3. 如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AB=6,AO=5,则矩形ABCD的面积为
()
A.24
B.30
C.48
D.60
()
A.24
B.30
C.48
D.60
答案
C
解析
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线相等且互相平分，即AC=2AO，且∠ABC=90°。
已知AO=5，可得AC=2×5=10。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=10，由勾股定理得：
BC=√(AC² - AB²)=√(10² - 6²)=√64=8。
∴ 矩形ABCD的面积=AB×BC=6×8=48。
∴ 矩形的对角线相等且互相平分，即AC=2AO，且∠ABC=90°。
已知AO=5，可得AC=2×5=10。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=10，由勾股定理得：
BC=√(AC² - AB²)=√(10² - 6²)=√64=8。
∴ 矩形ABCD的面积=AB×BC=6×8=48。
4.如图,在矩形ABCD中,M是CD上的点.若∠DAM=∠CBM=45°,AD=1,则△ABM的周长是.
答案
$2+2\sqrt{2}$
解析
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C=∠D=90°，AD=BC=1，AB=CD。
1. 在Rt△ADM中，∠DAM=45°，∠D=90°，
∴ ∠AMD=45°，△ADM为等腰直角三角形，
∴ DM=AD=1，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 同理，在Rt△BCM中，∠CBM=45°，∠C=90°，
∴ ∠BMC=45°，△BCM为等腰直角三角形，
∴ CM=BC=1，由勾股定理得：$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 可得$CD=CM+DM=1+1=2$，因此$AB=CD=2$。
4. 计算△ABM的周长：$AB+BM+AM=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
∴ ∠C=∠D=90°，AD=BC=1，AB=CD。
1. 在Rt△ADM中，∠DAM=45°，∠D=90°，
∴ ∠AMD=45°，△ADM为等腰直角三角形，
∴ DM=AD=1，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 同理，在Rt△BCM中，∠CBM=45°，∠C=90°，
∴ ∠BMC=45°，△BCM为等腰直角三角形，
∴ CM=BC=1，由勾股定理得：$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 可得$CD=CM+DM=1+1=2$，因此$AB=CD=2$。
4. 计算△ABM的周长：$AB+BM+AM=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
5.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,若∠AOD=110°,则∠ACD=.
答案
55°
解析
根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，因此OC=OD，可得△OCD为等腰三角形，∠OCD=∠ODC。
1. 由平角的定义，∠AOD + ∠COD = 180°，已知∠AOD=110°，因此∠COD=180°-110°=70°。
2. 在△OCD中，根据三角形内角和为180°，可得∠ACD=∠OCD=(180°-∠COD)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
1. 由平角的定义，∠AOD + ∠COD = 180°，已知∠AOD=110°，因此∠COD=180°-110°=70°。
2. 在△OCD中，根据三角形内角和为180°，可得∠ACD=∠OCD=(180°-∠COD)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
6.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BF$是$AC$边上的中线,$DE$是$△ ABC$的中位线.若$DE=6$,则$BF$的长为________.
答案
6
解析
1. 利用三角形中位线定理计算AC的长度：
三角形的中位线等于第三边的一半，已知DE是$△ ABC$的中位线，$DE=6$，因此：
$DE=\frac{1}{2}AC$，代入数值可得 $AC=2DE=2×6=12$。
2. 利用直角三角形斜边中线的性质计算BF的长度：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，BF是AC边上的中线，因此：
$BF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$。
三角形的中位线等于第三边的一半，已知DE是$△ ABC$的中位线，$DE=6$，因此：
$DE=\frac{1}{2}AC$，代入数值可得 $AC=2DE=2×6=12$。
2. 利用直角三角形斜边中线的性质计算BF的长度：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，BF是AC边上的中线，因此：
$BF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$。
7. 如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O.若E是AO的中点,F是OD的中点,求证$BE=CF$.
答案
通过上述证明可得出BE=CF，命题得证。
解析
要证明BE=CF，可结合矩形的性质与全等三角形的判定推导，步骤如下：
1. 由矩形的性质可知：矩形的对角线相等且互相平分，因此AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，推导可得OA=OB=OC=OD。
2. 已知E是AO的中点，F是OD的中点，因此$OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OD$，结合OA=OD可推出OE=OF。
3. 在△ BOE和△ COF中：
$ \begin{cases}$
OB=OC \\
∠ BOE=∠ COF \\
OE=OF
$ \end{cases} $根据SAS全等判定定理，可得△ BOE ≌ △ COF。4. 由全等三角形对应边相等的性质，即可证得BE=CF。
1. 由矩形的性质可知：矩形的对角线相等且互相平分，因此AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，推导可得OA=OB=OC=OD。
2. 已知E是AO的中点，F是OD的中点，因此$OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OD$，结合OA=OD可推出OE=OF。
3. 在△ BOE和△ COF中：
$ \begin{cases}$
OB=OC \\
∠ BOE=∠ COF \\
OE=OF
$ \end{cases} $根据SAS全等判定定理，可得△ BOE ≌ △ COF。4. 由全等三角形对应边相等的性质，即可证得BE=CF。
8. 如图，BE，CF 都是$△ ABC$的高，M 为 BC 的中点，$EF=4$，$BC=10$，求$△ EFM$的周长.
答案
14
解析
1. 由BE、CF都是△ABC的高，可得$∠ BFC=∠ BEC=90°$，即$△ BFC$和$△ BEC$均为直角三角形。
2. 已知M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$FM=\frac{1}{2}BC$；在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$EM=\frac{1}{2}BC$。
3. 代入$BC=10$，计算得$FM=EM=\frac{1}{2}×10=5$。
4. 结合已知$EF=4$，可得$△ EFM$的周长为$EF+FM+EM=4+5+5=14$。
2. 已知M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$FM=\frac{1}{2}BC$；在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$EM=\frac{1}{2}BC$。
3. 代入$BC=10$，计算得$FM=EM=\frac{1}{2}×10=5$。
4. 结合已知$EF=4$，可得$△ EFM$的周长为$EF+FM+EM=4+5+5=14$。
