一、怎样简便就怎样算。
$\frac{5}{9}+\frac{4}{5}+\frac{4}{9}$
$\frac{4}{3}-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}$
$\frac{3}{8}-(\frac{5}{7}-\frac{5}{8})$

$1\frac{4}{5}$；$\frac{1}{3}$；$\frac{2}{7}$

这三道题都可以利用加法运算定律和减法的性质进行简便计算：
1. 第一题运用加法交换律，优先计算同分母分数相加凑整：
$\frac{5}{9}+\frac{4}{5}+\frac{4}{9}$
$=(\frac{5}{9}+\frac{4}{9})+\frac{4}{5}$
$=1+\frac{4}{5}$
$=1\frac{4}{5}$
2. 第二题运用减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个减数的和，凑整简化计算：
$\frac{4}{3}-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}$
$=\frac{4}{3}-(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})$
$=\frac{4}{3}-1$
$=\frac{1}{3}$
3. 第三题先去括号，注意括号前是减号时去括号后括号内运算符号要变号，再用加法交换律凑整计算：
$\frac{3}{8}-(\frac{5}{7}-\frac{5}{8})$
$=\frac{3}{8}-\frac{5}{7}+\frac{5}{8}$
$=(\frac{3}{8}+\frac{5}{8})-\frac{5}{7}$
$=1-\frac{5}{7}$
$=\frac{2}{7}$

1. 《三国志》分为《魏书》《蜀书》《吴书》三部分，全书共65卷。其中《魏书》的卷数占全书卷数的$\frac{6}{13}$，《蜀书》的卷数是《魏书》卷数的$\frac{1}{2}$，《蜀书》有( )卷。

15

首先计算《魏书》的卷数：已知全书共65卷，《魏书》的卷数占全书卷数的$\frac{6}{13}$，因此《魏书》的卷数为$65×\frac{6}{13}=30$卷。再计算《蜀书》的卷数：已知《蜀书》的卷数是《魏书》卷数的$\frac{1}{2}$，因此《蜀书》的卷数为$30×\frac{1}{2}=15$卷。

2. 下面是一个正方体的平面展开图,每个面上都填有一个数,而且相对的两个面上的数互为倒数,那么$☆×△=(\quad)$

$\frac{1}{2}$

首先根据正方体平面展开图“相间、Z端是对面”的规则，确定各组相对的面：
1. 数字3的相对面是$\frac{1}{3}$，符合互为倒数的条件（$3×\frac{1}{3}=1$）；
2. 数字1的相对面是$☆$，数字2的相对面是$△$。
根据“相对的两个面上的数互为倒数”，互为倒数的两个数乘积为1：
$△$是2的倒数，$△ = 1÷2=\frac{1}{2}$
$☆$是1的倒数，$☆ = 1÷1=1$
因此计算$☆×△ = 1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

3. 如图一个正方形和一个直角三角形组成了一个梯形。直角三角形的一条直角边的长度恰好是另一条直角边的$\frac{1}{2}$，那么直角三角形的面积占整个梯形面积的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。

$\frac{1}{5}$

我们用五年级常用的设数法解题，计算更简便：
1. 设正方形的边长为2，由图可知直角三角形的竖直直角边和正方形边长相等，长度为2。
2. 根据题意，直角三角形的另一条水平直角边长度为：$2×\frac{1}{2}=1$。
3. 计算直角三角形的面积：$S_{\mathrm{三角形}}=1×2÷2=1$。
4. 计算正方形的面积：$S_{\mathrm{正方形}}=2×2=4$。
5. 整个梯形的面积为正方形面积加直角三角形面积：$S_{\mathrm{梯形}}=4+1=5$。
6. 计算占比：直角三角形面积占整个梯形面积的$1÷5=\frac{1}{5}$。

三、解决问题。

答案略

1. 垃圾处理站原计划处理$\frac{1}{2}$吨垃圾，处理了$\frac{1}{4}$吨时，又送来等待处理的垃圾$\frac{1}{5}$吨。这个垃圾站还要处理多少吨垃圾？

$\frac{9}{20}$吨

这是分数加减法的实际应用问题，解题步骤如下：
1. 先计算原计划的垃圾处理了$\frac{1}{4}$吨后剩余未处理的吨数：用原计划处理的总吨数减去已经处理的吨数，列式为$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$。
2. 再把剩余未处理的垃圾吨数，加上新送来的等待处理的$\frac{1}{5}$吨，得到总共还要处理的垃圾吨数。
3. 异分母分数相加减先通分，2、4、5的最小公倍数是20，计算得：
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{10}{20} - \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$（吨）

2. 一杯牛奶$\frac{1}{2}$升，小明先喝了$\frac{1}{3}$，歇了一会后，又喝了剩下的一半，这时还剩这杯牛奶的几分之几没喝？（可以画图验证你的想法）

$\frac{1}{3}$

我们把这杯牛奶的总量看作单位“1”。
1. 计算第一次喝完后剩余的牛奶占整杯的分率：小明先喝了这杯牛奶的$\frac{1}{3}$，剩余部分占整杯的 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
2. 计算第二次喝完后剩余的牛奶占整杯的分率：第二次喝了第一次剩下的一半，也就是最终剩余的部分占第一次剩余牛奶的$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，因此最终剩余牛奶占整杯的 $\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$。
本题给出的$\frac{1}{2}$升是牛奶的实际容量，求剩余牛奶占整杯的分率不需要用到该数值，也可画图验证：把代表整杯牛奶的图形平均分成6份，第一次喝掉2份，第二次喝掉剩余4份中的2份，最后剩下2份，占整体的$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

某小学课外社团分为艺术和体育两类。五(1)班参加艺术社团的学生人数占班级总人数的$\frac{1}{2}$，参加体育社团的学生人数占班级总人数的$\frac{3}{5}$。
（1）同时参加两个社团的学生最多占班级总人数的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
（2）同时参加两个社团的学生最少占班级总人数的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。

（1）$\frac{1}{2}$
（2）$\frac{1}{10}$