登录
3. 项目学习小组将一个瓶身为柱状体的空塑料瓶,去掉瓶盖及上端,在瓶底处系上一块质量合适的石块,做好密封,然后将其放置在盛有适量水的容器里,即可制作出浮力秤,其总质量为$25\ \mathrm{g}$。不放物体时,待浮力秤静止,液面所对应瓶子的位置标记为“$0$”刻度,如图所示。($g$取$10\ \mathrm{N/kg}$,$\rho_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^{3}$)
(1) 空载时浮力秤所受的浮力是多少?
(2) 若浮力秤圆柱状部分的横截面积为$40\ \mathrm{cm}^{2}$,则图中“$2$”刻度右边对应的质量应标上多少?
(3) 将该浮力秤放在水中时,液面距离瓶底的距离为$h_{1}$,若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$,则该液体的密度$\rho_{\mathrm{液}}$是多少? (忽略石块的体积,用物理量符号$\rho_{\mathrm{水}}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{\mathrm{液}}$)
(1) 空载时浮力秤所受的浮力是多少?
(2) 若浮力秤圆柱状部分的横截面积为$40\ \mathrm{cm}^{2}$,则图中“$2$”刻度右边对应的质量应标上多少?
(3) 将该浮力秤放在水中时,液面距离瓶底的距离为$h_{1}$,若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$,则该液体的密度$\rho_{\mathrm{液}}$是多少? (忽略石块的体积,用物理量符号$\rho_{\mathrm{水}}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{\mathrm{液}}$)
答案
3．(1) 空载时浮力秤漂浮，依据平衡条件可知$F_{浮} = G_{秤} = m_{秤}g = 0.025kg × 10 N/kg = 0.25N (2) $浮力秤浸到“2”刻度漂浮时,秤内被测物的质量为$m_{测}，$依据漂浮时受力平衡,不放被测物时$G_{秤} = F_{浮} = \rho_{水}gV_{0}，$放入被测物时$,F_{浮}' = G_{秤} + m_{测}g，$由阿基米德原理可知$F_{浮}' = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g \Delta V_{排}，$则$G_{秤} + m_{测}g = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g \Delta V_{排}，$即$m_{测}g = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g \Delta V_{排} - G_{秤} = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g \Delta V_{排} - \rho_{水}gV_{0}，$$m_{测} = \rho_{水} \Delta V_{排} = \rho_{水}S \Delta h = 1.0g/cm^{3} × 40 cm^{2} × 2 cm = 80g (3) $在水和液体中浮力秤均漂浮,浮力等于重力,则$\rho_{水}gSh_{1} = \rho_{液}gSh_{2}，$故$\rho_{液} = \frac{h_{1}}{h_{2}} \rho_{水}$
解析
(1) 空载时浮力秤漂浮，所受浮力等于其重力，即$F_{浮}=G_{秤}=m_{秤}g$。已知$m_{秤}=25\ \mathrm{g}=0.025\ \mathrm{kg}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，则$F_{浮}=0.025\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.25\ \mathrm{N}$。
(2) 设“2”刻度对应的质量为$m_{测}$，此时浮力秤仍漂浮，浮力等于总重力，即$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g$。由阿基米德原理，$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$，空载时$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，则$\Delta F_{浮}=m_{测}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，$\Delta V_{排}=S\Delta h$。已知$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^{3}$，$S=40\ \mathrm{cm}^{2}$，$\Delta h=2\ \mathrm{cm}$，可得$m_{测}=\rho_{水}S\Delta h=1.0\ \mathrm{g/cm}^{3}×40\ \mathrm{cm}^{2}×2\ \mathrm{cm}=80\ \mathrm{g}$。
(3) 浮力秤在水和液体中均漂浮，浮力等于重力，即$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}$，解得$\rho_{液}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{水}$。
(1) $0.25\ \mathrm{N}$
(2) $80\ \mathrm{g}$
(3) $\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{水}$
(2) 设“2”刻度对应的质量为$m_{测}$，此时浮力秤仍漂浮，浮力等于总重力，即$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g$。由阿基米德原理，$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$，空载时$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，则$\Delta F_{浮}=m_{测}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，$\Delta V_{排}=S\Delta h$。已知$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^{3}$，$S=40\ \mathrm{cm}^{2}$，$\Delta h=2\ \mathrm{cm}$，可得$m_{测}=\rho_{水}S\Delta h=1.0\ \mathrm{g/cm}^{3}×40\ \mathrm{cm}^{2}×2\ \mathrm{cm}=80\ \mathrm{g}$。
(3) 浮力秤在水和液体中均漂浮，浮力等于重力，即$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}$，解得$\rho_{液}=\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{水}$。
(1) $0.25\ \mathrm{N}$
(2) $80\ \mathrm{g}$
(3) $\frac{h_{1}}{h_{2}}\rho_{水}$
4. (2025·宿迁校级一模)如图甲所示,在容器底部固定一个轻质弹簧,在弹簧上端连有一棱长为$0.1\ \mathrm{m}$的实心正方体物块$A$,当容器中水的深度为$20\ \mathrm{cm}$时,物块$A$有$\dfrac{3}{5}$的体积露出水面,此时弹簧恰好处于自然伸长状态。求:(已知水的密度为$1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)
(1) 物块$A$受到的浮力。
(2) 物块$A$的密度。
(3) 往容器中缓慢加水(水未溢出)至物块$A$恰好浸没时水面升高的高度(整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示)。
(1) 物块$A$受到的浮力。
(2) 物块$A$的密度。
(3) 往容器中缓慢加水(水未溢出)至物块$A$恰好浸没时水面升高的高度(整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示)。
答案
4．(1) 正方体物块A的体积$V = (0.1m)^{3} = 0.001m^{3}，$排开水的体积$V_{排} = V - V_{露} = V - \frac{3}{5}V = \frac{2}{5}V = \frac{2}{5} × 0.001m^{3} = 4 × 10^{-4} m^{3}，$所以物块A受到的浮力$F_{浮} = \rho_{水}gV_{排} = 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 4 × 10^{-4} m^{3} = 4N (2) $弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变,此时物块漂浮,所以$F_{浮} = G，$即$\rho_{水}gV_{排} = \rho_{物}gV，$所以物块A的密度$\rho_{物} = \frac{V_{排}}{V} \rho_{水} = \frac{2}{5} × 1 × 10^{3} kg/m^{3} = 0.4 × 10^{3} kg/m^{3} (3) $物块A刚好浸没时,弹簧的拉力$F_{1} = F_{浮}' - G = \rho_{水}gV - \rho_{物}gV = 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.001m^{3} - 0.4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.001m^{3} = 6N，$由图乙可知,此时弹簧伸长了6cm,当容器中水的深度为20cm时,物块A有$\frac{3}{5}$的体积露出水面,此时弹簧恰好处于自然伸长状态,则弹簧的原长$L_{0} = h_{1} - h_{A浸} = 20cm - (1 - \frac{3}{5}) × 10cm = 16cm，$所以，物块A刚好浸没时弹簧的长度$L' = L_{0} + \Delta L = 16cm + 6cm = 22cm;$则浸没时水面的高度$h_{2} = L' + L_{A} = 22cm + 10cm = 32cm，$所以水面升高的高度$\Delta h = h_{2} - h_{1} = 32cm - 20cm = 12cm$
解析
(1) 物块$A$的体积$V=(0.1\ \mathrm{m})^{3}=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$，排开水的体积$V_{\mathrm{排}}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，浮力$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$。
(2) 弹簧自然伸长时物块漂浮，$F_{\mathrm{浮}}=G$，即$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=\rho_{\mathrm{物}}gV$，则$\rho_{\mathrm{物}}=\frac{V_{\mathrm{排}}}{V}\rho_{\mathrm{水}}=\frac{2}{5}×1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 物块恰好浸没时，浮力$F_{\mathrm{浮}}'=\rho_{\mathrm{水}}gV=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=10\ \mathrm{N}$，重力$G=\rho_{\mathrm{物}}gV=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$，弹簧拉力$F=F_{\mathrm{浮}}'-G=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$。由图乙知弹簧伸长量$\Delta L=6\ \mathrm{cm}$。初始时弹簧原长$L_{0}=h_{1}-h_{\mathrm{浸}}=20\ \mathrm{cm}-(1-\frac{3}{5})×10\ \mathrm{cm}=16\ \mathrm{cm}$，此时弹簧长度$L'=L_{0}+\Delta L=16\ \mathrm{cm}+6\ \mathrm{cm}=22\ \mathrm{cm}$，水面高度$h_{2}=L'+10\ \mathrm{cm}=32\ \mathrm{cm}$，水面升高高度$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32\ \mathrm{cm}-20\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$。
(2) 弹簧自然伸长时物块漂浮，$F_{\mathrm{浮}}=G$，即$\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=\rho_{\mathrm{物}}gV$，则$\rho_{\mathrm{物}}=\frac{V_{\mathrm{排}}}{V}\rho_{\mathrm{水}}=\frac{2}{5}×1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 物块恰好浸没时，浮力$F_{\mathrm{浮}}'=\rho_{\mathrm{水}}gV=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=10\ \mathrm{N}$，重力$G=\rho_{\mathrm{物}}gV=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$，弹簧拉力$F=F_{\mathrm{浮}}'-G=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$。由图乙知弹簧伸长量$\Delta L=6\ \mathrm{cm}$。初始时弹簧原长$L_{0}=h_{1}-h_{\mathrm{浸}}=20\ \mathrm{cm}-(1-\frac{3}{5})×10\ \mathrm{cm}=16\ \mathrm{cm}$，此时弹簧长度$L'=L_{0}+\Delta L=16\ \mathrm{cm}+6\ \mathrm{cm}=22\ \mathrm{cm}$，水面高度$h_{2}=L'+10\ \mathrm{cm}=32\ \mathrm{cm}$，水面升高高度$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32\ \mathrm{cm}-20\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$。
