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6.（跨学科·物理）如图，一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心O的光线b（此光线的方向不发生改变）相交于点P，与主光轴交于点F。若$∠ 2 = 40°$，$∠ 3 = 70°$，则$∠ 1$的度数为（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先结合凸透镜的光学性质梳理几何等量关系：①过光心的光线传播方向不变，可推出∠2的对顶角与∠2相等；②平行于主光轴的光线a经凸透镜折射后过焦点，且入射光线a与主光轴平行。再利用三角形外角性质求出折射光线与主光轴的夹角，最后根据平行线的性质计算∠1的度数即可。
【解析】
1. 过光心的光线传播方向不改变，光线b是过光心的直线，根据对顶角相等，可得△OPF中$∠ POF=∠ 2=40°$。
2. $∠ 3$是△OPF的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠ 3=∠ POF+∠ OFP$。
代入已知$∠ 3=70°$，$∠ POF=40°$，计算得$∠ OFP=70°-40°=30°$，即折射后的光线与主光轴的夹角为30°。
3. 已知入射光线a平行于主光轴，折射光线为截线，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ 1+∠ OFP=180°$。
代入$∠ OFP=30°$，得$∠ 1=180°-30°=150°$。
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等；三角形外角性质；平行线的性质
【点评】
本题是跨学科综合题，结合物理凸透镜光学性质考查基础几何角度计算，解题核心是将物理规律转化为几何中的等量关系，再结合三角形、平行线的相关性质求解，很好地体现了不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合凸透镜的光学性质梳理几何等量关系：①过光心的光线传播方向不变，可推出∠2的对顶角与∠2相等；②平行于主光轴的光线a经凸透镜折射后过焦点，且入射光线a与主光轴平行。再利用三角形外角性质求出折射光线与主光轴的夹角，最后根据平行线的性质计算∠1的度数即可。
【解析】
1. 过光心的光线传播方向不改变，光线b是过光心的直线，根据对顶角相等，可得△OPF中$∠ POF=∠ 2=40°$。
2. $∠ 3$是△OPF的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠ 3=∠ POF+∠ OFP$。
代入已知$∠ 3=70°$，$∠ POF=40°$，计算得$∠ OFP=70°-40°=30°$，即折射后的光线与主光轴的夹角为30°。
3. 已知入射光线a平行于主光轴，折射光线为截线，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ 1+∠ OFP=180°$。
代入$∠ OFP=30°$，得$∠ 1=180°-30°=150°$。
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等；三角形外角性质；平行线的性质
【点评】
本题是跨学科综合题，结合物理凸透镜光学性质考查基础几何角度计算，解题核心是将物理规律转化为几何中的等量关系，再结合三角形、平行线的相关性质求解，很好地体现了不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.7
7. $-8$的立方根与$\sqrt{81}$的算术平方根的和为
1
.答案
7.1
解析
【分析】
要解决本题，我们需要分步计算两个加数的值，再求和即可。首先明确两个加数分别是：-8的立方根、√81的算术平方根。第一步先根据立方根的定义算出-8的立方根；第二步注意要先化简√81得到具体数值，再求这个数值的算术平方根，不能直接把√81的算术平方根等同于81的算术平方根，这是本题的易错点；最后将两个结果相加就能得到最终答案。
【解析】
1. 计算-8的立方根
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
2. 计算$\sqrt{81}$的算术平方根
首先化简$\sqrt{81}$：因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
再求9的算术平方根：算术平方根是指非负数的非负平方根，所以9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
3. 计算两个数的和
将上述两个结果相加：$-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
立方根的运算，算术平方根的定义，实数的加法
【点评】
本题考查基础概念的应用，易错点是容易忽略先化简$\sqrt{81}$，误将第二个加数当成9导致计算错误，只要牢固掌握立方根和算术平方根的概念，分步计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们需要分步计算两个加数的值，再求和即可。首先明确两个加数分别是：-8的立方根、√81的算术平方根。第一步先根据立方根的定义算出-8的立方根；第二步注意要先化简√81得到具体数值，再求这个数值的算术平方根，不能直接把√81的算术平方根等同于81的算术平方根，这是本题的易错点；最后将两个结果相加就能得到最终答案。
【解析】
1. 计算-8的立方根
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
2. 计算$\sqrt{81}$的算术平方根
首先化简$\sqrt{81}$：因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
再求9的算术平方根：算术平方根是指非负数的非负平方根，所以9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
3. 计算两个数的和
将上述两个结果相加：$-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
立方根的运算，算术平方根的定义，实数的加法
【点评】
本题考查基础概念的应用，易错点是容易忽略先化简$\sqrt{81}$，误将第二个加数当成9导致计算错误，只要牢固掌握立方根和算术平方根的概念，分步计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.6
8.（传统文化）借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观. 以点N为坐标原点，NP所在直线为x轴，MN所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知点Q的坐标为(5，5)，则“善”字的笔画“↗”下端所在的位置点C的坐标为
(3, 2)
.答案
8.(3, 2)
解析
【分析】
首先明确平面直角坐标系的三要素：原点是N，x轴为NP所在直线（向右为正方向），y轴为MN所在直线（向上为正方向）。已知右上角点Q的坐标为(5,5)，可推出每个小方格的边长对应1个单位长度。要确定点C的坐标，只需分别找到它在x轴、y轴上对应的投影数值即可：横坐标是点C到y轴的水平距离，纵坐标是点C到x轴的垂直距离。
【解析】
解：由题意可知，原点为N(0,0)，x轴正方向向右，y轴正方向向上，Q(5,5)说明每个小方格边长为1个单位长度。
观察点C的位置：水平方向距离y轴3个单位，故横坐标为3；竖直方向距离x轴2个单位，故纵坐标为2。
因此点C的坐标为(3,2)。
【答案】
(3, 2)
【知识点】
平面直角坐标系的认识；点的坐标确定
【点评】
本题结合传统书法文化考查坐标的相关知识，情境新颖，难度较低，重点考查学生对坐标定义的理解和应用能力，是一道结合生活实际的基础题。
【难度系数】
0.8
首先明确平面直角坐标系的三要素：原点是N，x轴为NP所在直线（向右为正方向），y轴为MN所在直线（向上为正方向）。已知右上角点Q的坐标为(5,5)，可推出每个小方格的边长对应1个单位长度。要确定点C的坐标，只需分别找到它在x轴、y轴上对应的投影数值即可：横坐标是点C到y轴的水平距离，纵坐标是点C到x轴的垂直距离。
【解析】
解：由题意可知，原点为N(0,0)，x轴正方向向右，y轴正方向向上，Q(5,5)说明每个小方格边长为1个单位长度。
观察点C的位置：水平方向距离y轴3个单位，故横坐标为3；竖直方向距离x轴2个单位，故纵坐标为2。
因此点C的坐标为(3,2)。
【答案】
(3, 2)
【知识点】
平面直角坐标系的认识；点的坐标确定
【点评】
本题结合传统书法文化考查坐标的相关知识，情境新颖，难度较低，重点考查学生对坐标定义的理解和应用能力，是一道结合生活实际的基础题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若∠1 + ∠2 = 115°，则∠EMF的度数是
（第9题）
50
°。（第9题）答案
9.50
解析
【分析】
解题思路可分为五步：第一步，利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等，即∠DEG=∠1、∠AFH=∠2；第二步，结合折叠前后对应角相等的性质，推出∠DEM=2∠1、∠AFM=2∠2；第三步，代入已知∠1+∠2=115°，计算出∠DEM与∠AFM的和；第四步，根据平角为180°，求出△EMF中两个内角∠MEF与∠MFE的和；第五步，利用三角形内角和定理计算出∠EMF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等可得：∠DEG=∠1，∠AFH=∠2。
由折叠的性质可知：∠DEG=∠MEG，∠AFH=∠MFH，
∴∠DEM=∠DEG+∠MEG=2∠1，∠AFM=∠AFH+∠MFH=2∠2，
∴∠DEM+∠AFM=2(∠1+∠2)，
∵∠1+∠2=115°，
∴∠DEM+∠AFM=2×115°=230°，
又
∵∠DEM+∠MEF=180°，∠AFM+∠MFE=180°，
∴∠MEF+∠MFE=180°+180°-(∠DEM+∠AFM)=360°-230°=130°，
在△EMF中，根据三角形内角和为180°可得：
∠EMF=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-130°=50°。
【答案】
50
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角度转化关系，即可快速求出角度，解题时要注意折叠前后对应角的等量关系不要找错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为五步：第一步，利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等，即∠DEG=∠1、∠AFH=∠2；第二步，结合折叠前后对应角相等的性质，推出∠DEM=2∠1、∠AFM=2∠2；第三步，代入已知∠1+∠2=115°，计算出∠DEM与∠AFM的和；第四步，根据平角为180°，求出△EMF中两个内角∠MEF与∠MFE的和；第五步，利用三角形内角和定理计算出∠EMF的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等可得：∠DEG=∠1，∠AFH=∠2。
由折叠的性质可知：∠DEG=∠MEG，∠AFH=∠MFH，
∴∠DEM=∠DEG+∠MEG=2∠1，∠AFM=∠AFH+∠MFH=2∠2，
∴∠DEM+∠AFM=2(∠1+∠2)，
∵∠1+∠2=115°，
∴∠DEM+∠AFM=2×115°=230°，
又
∵∠DEM+∠MEF=180°，∠AFM+∠MFE=180°，
∴∠MEF+∠MFE=180°+180°-(∠DEM+∠AFM)=360°-230°=130°，
在△EMF中，根据三角形内角和为180°可得：
∠EMF=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-130°=50°。
【答案】
50
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角度转化关系，即可快速求出角度，解题时要注意折叠前后对应角的等量关系不要找错。
【难度系数】
0.7
10. 若不等式组$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\ 1 - 2x ≤ 7\end{cases}$有三个非负整数解，则$m$的取值范围是 ______ .
答案
10.$2 ＜ m ≤ 3$
解析
【分析】
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，合并得到不等式组的解集；再根据“有三个非负整数解”的条件，确定这三个非负整数解的具体值，最后结合解集的边界特征判断参数m的取值范围，注意需验证端点值是否符合要求，避免出错。
【解析】
解不等式$x - m ＜ 0$，移项得：$x ＜ m$；
解不等式$1 - 2x ≤ 7$，移项得：$-2x ≤ 7 - 1$，即$-2x ≤ 6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -3$；
因此不等式组的解集为$\boldsymbol{-3 ≤ x ＜ m}$。
已知不等式组有三个非负整数解，非负整数指大于等于0的整数，因此这三个解为$0$、$1$、$2$，
由此可得：$m$需要满足大于$2$（保证$2$在解集中），且小于等于$3$（保证$3$不在解集中），
即$2 ＜ m ≤ 3$。
【答案】
$2 ＜ m ≤ 3$
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解应用
【点评】
本题属于不等式组参数求解的典型题型，核心是先求出固定解集，再结合整数解的个数反推参数范围，解题的易错点是端点值的取舍，需要单独验证端点是否符合题意。
【难度系数】
0.6
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，合并得到不等式组的解集；再根据“有三个非负整数解”的条件，确定这三个非负整数解的具体值，最后结合解集的边界特征判断参数m的取值范围，注意需验证端点值是否符合要求，避免出错。
【解析】
解不等式$x - m ＜ 0$，移项得：$x ＜ m$；
解不等式$1 - 2x ≤ 7$，移项得：$-2x ≤ 7 - 1$，即$-2x ≤ 6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -3$；
因此不等式组的解集为$\boldsymbol{-3 ≤ x ＜ m}$。
已知不等式组有三个非负整数解，非负整数指大于等于0的整数，因此这三个解为$0$、$1$、$2$，
由此可得：$m$需要满足大于$2$（保证$2$在解集中），且小于等于$3$（保证$3$不在解集中），
即$2 ＜ m ≤ 3$。
【答案】
$2 ＜ m ≤ 3$
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解应用
【点评】
本题属于不等式组参数求解的典型题型，核心是先求出固定解集，再结合整数解的个数反推参数范围，解题的易错点是端点值的取舍，需要单独验证端点是否符合题意。
【难度系数】
0.6
11. 在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示. 设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，则可列方程组为.
答案
11.$\begin{cases} x - 2y + y = 8, \\ x + 3y = 16 \end{cases}$
解析
【分析】
要列出关于小长方形长$x$、宽$y$的方程组，需要从图形中找到2组等量关系：首先观察水平方向，大长方形的长$BC=16cm$，它由1个小长方形的长和3个小长方形的宽拼接组成，可得到第一个等量关系；再观察竖直方向标注的$8cm$长度，该长度等于小长方形的长减去2个小长方形的宽后，再加上1个小长方形的宽，可得到第二个等量关系，联立两个等式即可得到方程组。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
1. 分析水平方向长度：大长方形的长$BC=16cm$，对应1个小长方形的长加3个小长方形的宽，列方程得：$x + 3y = 16$；
2. 分析竖直方向长度：标注的$8cm$长度对应“小长方形的长减去2个小长方形的宽，再加1个小长方形的宽”，列方程得：$x - 2y + y = 8$。
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x - 2y + y = 8, \\ x + 3y = 16 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 几何图形等量分析
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，解题核心是仔细观察图形的拼接结构，从不同方向的长度构成中挖掘隐含的等量关系，即可顺利列对方程组。
【难度系数】
0.7
要列出关于小长方形长$x$、宽$y$的方程组，需要从图形中找到2组等量关系：首先观察水平方向，大长方形的长$BC=16cm$，它由1个小长方形的长和3个小长方形的宽拼接组成，可得到第一个等量关系；再观察竖直方向标注的$8cm$长度，该长度等于小长方形的长减去2个小长方形的宽后，再加上1个小长方形的宽，可得到第二个等量关系，联立两个等式即可得到方程组。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
1. 分析水平方向长度：大长方形的长$BC=16cm$，对应1个小长方形的长加3个小长方形的宽，列方程得：$x + 3y = 16$；
2. 分析竖直方向长度：标注的$8cm$长度对应“小长方形的长减去2个小长方形的宽，再加1个小长方形的宽”，列方程得：$x - 2y + y = 8$。
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x - 2y + y = 8, \\ x + 3y = 16 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 几何图形等量分析
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，解题核心是仔细观察图形的拼接结构，从不同方向的长度构成中挖掘隐含的等量关系，即可顺利列对方程组。
【难度系数】
0.7
