登录
7. 某宾馆有二人间、三人间和四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租住这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
C
）A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
7. C
解析
【分析】
首先明确题目中的等量关系：①三种客房总数量为7间；②20人刚好住满所有房间；隐含条件是三种客房都要租，所以每种房间数量至少为1间，均为正整数。我们可以设两个未知数，用含未知数的式子表示第三种房间的数量，根据总人数列方程，再结合未知数的正整数约束和总房间数约束筛选符合条件的解，就能得到租房方案的数量。
【解析】
解：设租住二人间$x$间，三人间$y$间，则四人间为$(7-x-y)$间，根据题意可知$x$、$y$均为正整数，且$7-x-y≥1$（三种客房都租住，故四人间数量至少1间）。
根据总人数为20人可列方程：
$2x + 3y + 4(7 - x - y) = 20$
展开化简：
$2x + 3y + 28 - 4x - 4y = 20$
整理得：$2x + y = 8$
结合约束条件$x≥1$，$y≥1$，$x+y≤6$筛选正整数解：
当$x=1$时，$y=8-2×1=6$，此时$x+y=7＞6$，不符合要求，舍去；
当$x=2$时，$y=8-2×2=4$，此时$x+y=6$，四人间数量为$7-6=1$，符合要求；
当$x=3$时，$y=8-2×3=2$，此时$x+y=5$，四人间数量为$7-5=2$，符合要求；
当$x≥4$时，$y≤0$，不符合三人间数量为正整数的要求，舍去。
综上，符合条件的租房方案共2种。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程整数解，方案设计应用
【点评】
本题是典型的实际问题方案设计题，解题关键是找准等量关系列方程，尤其要注意挖掘题目中“同时租住三种客房”的隐含约束条件，结合未知数的实际意义筛选有效解，避免出现多算或漏算的情况。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中的等量关系：①三种客房总数量为7间；②20人刚好住满所有房间；隐含条件是三种客房都要租，所以每种房间数量至少为1间，均为正整数。我们可以设两个未知数，用含未知数的式子表示第三种房间的数量，根据总人数列方程，再结合未知数的正整数约束和总房间数约束筛选符合条件的解，就能得到租房方案的数量。
【解析】
解：设租住二人间$x$间，三人间$y$间，则四人间为$(7-x-y)$间，根据题意可知$x$、$y$均为正整数，且$7-x-y≥1$（三种客房都租住，故四人间数量至少1间）。
根据总人数为20人可列方程：
$2x + 3y + 4(7 - x - y) = 20$
展开化简：
$2x + 3y + 28 - 4x - 4y = 20$
整理得：$2x + y = 8$
结合约束条件$x≥1$，$y≥1$，$x+y≤6$筛选正整数解：
当$x=1$时，$y=8-2×1=6$，此时$x+y=7＞6$，不符合要求，舍去；
当$x=2$时，$y=8-2×2=4$，此时$x+y=6$，四人间数量为$7-6=1$，符合要求；
当$x=3$时，$y=8-2×3=2$，此时$x+y=5$，四人间数量为$7-5=2$，符合要求；
当$x≥4$时，$y≤0$，不符合三人间数量为正整数的要求，舍去。
综上，符合条件的租房方案共2种。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程整数解，方案设计应用
【点评】
本题是典型的实际问题方案设计题，解题关键是找准等量关系列方程，尤其要注意挖掘题目中“同时租住三种客房”的隐含约束条件，结合未知数的实际意义筛选有效解，避免出现多算或漏算的情况。
【难度系数】
0.6
8. 如图，由4个形状大小相同的长方形，拼成1个面积为81的大正方形，若中间小正方形的面积为9，则每个长方形的长、宽分别是
6, 3
。答案
8. 6, 3
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形面积入手，先计算出大正方形和中间小正方形的边长；再观察拼接图形的边长关系：大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差；找到这两个等量关系后，设长方形的长和宽为未知数，列二元一次方程组即可求解。
【解析】
解：已知大正方形的面积为81，由$9×9=81$可得大正方形的边长为9；
中间小正方形的面积为9，由$3×3=9$可得小正方形的边长为3。
设每个长方形的长为$x$，宽为$y$，根据图形的边长关系列方程组：
$\begin{cases}x + y = 9 \\x - y = 3\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2x=12$，解得$x=6$；
把$x=6$代入$x+y=9$，得$6+y=9$，解得$y=3$。
【答案】
6，3
【知识点】
二元一次方程组的应用，正方形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，核心是通过观察拼接图形的结构，提炼出未知量的等量关系，再通过解方程组得到结果，掌握图形边长的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的正方形面积入手，先计算出大正方形和中间小正方形的边长；再观察拼接图形的边长关系：大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差；找到这两个等量关系后，设长方形的长和宽为未知数，列二元一次方程组即可求解。
【解析】
解：已知大正方形的面积为81，由$9×9=81$可得大正方形的边长为9；
中间小正方形的面积为9，由$3×3=9$可得小正方形的边长为3。
设每个长方形的长为$x$，宽为$y$，根据图形的边长关系列方程组：
$\begin{cases}x + y = 9 \\x - y = 3\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2x=12$，解得$x=6$；
把$x=6$代入$x+y=9$，得$6+y=9$，解得$y=3$。
【答案】
6，3
【知识点】
二元一次方程组的应用，正方形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，核心是通过观察拼接图形的结构，提炼出未知量的等量关系，再通过解方程组得到结果，掌握图形边长的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元；购甲1件，乙2件，丙3件共需285元；那么购甲、乙、丙各1件共需
150
元。答案
9. 150
解析
【分析】
我们可以先设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题目给出的两个购买总价的条件，可列出两个含三个未知数的方程。由于题目要求的是x+y+z的整体值，无需单独求解每个未知数，因此可以将两个方程左右两边分别相加，得到x+y+z的倍数关系，进而直接计算出三者各买1件的总费用。
【解析】
设1件甲商品的价格为x元，1件乙商品的价格为y元，1件丙商品的价格为z元，根据题意得：
$\begin{cases} 3x + 2y + z = 315 \quad ① \\ x + 2y + 3z = 285 \quad ② \end{cases}$
将①+②，可得：
$3x + 2y + z + x + 2y + 3z = 315 + 285$
合并同类项得：$4x + 4y + 4z = 600$
等式两边同时除以4，得：$x + y + z = 150$
即购买甲、乙、丙各1件共需150元。
【答案】
150
【知识点】
三元一次方程组的应用；整体思想求值
【点评】
本题考查方程组的实际应用，当未知数个数多于等量关系个数时，无需单独求出每个未知数的取值，巧用整体思想求解可大幅简化计算过程，是这类题的核心解题技巧。
【难度系数】
0.7
我们可以先设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题目给出的两个购买总价的条件，可列出两个含三个未知数的方程。由于题目要求的是x+y+z的整体值，无需单独求解每个未知数，因此可以将两个方程左右两边分别相加，得到x+y+z的倍数关系，进而直接计算出三者各买1件的总费用。
【解析】
设1件甲商品的价格为x元，1件乙商品的价格为y元，1件丙商品的价格为z元，根据题意得：
$\begin{cases} 3x + 2y + z = 315 \quad ① \\ x + 2y + 3z = 285 \quad ② \end{cases}$
将①+②，可得：
$3x + 2y + z + x + 2y + 3z = 315 + 285$
合并同类项得：$4x + 4y + 4z = 600$
等式两边同时除以4，得：$x + y + z = 150$
即购买甲、乙、丙各1件共需150元。
【答案】
150
【知识点】
三元一次方程组的应用；整体思想求值
【点评】
本题考查方程组的实际应用，当未知数个数多于等量关系个数时，无需单独求出每个未知数的取值，巧用整体思想求解可大幅简化计算过程，是这类题的核心解题技巧。
【难度系数】
0.7
10. 一辆汽车从A地驶往B地，前$\frac{1}{3}$路段为普通公路，其余路段为高速公路. 已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h. 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出解题过程.
答案
10. 问题：普通公路段和高速公路段的长度各为多少?
设普通公路段长为x km，高速公路段长为y km.
由题意可得:$\begin{cases} 2x=y, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=120. \end{cases}$
答：普通公路段长为60km，高速公路段长为120km.
设普通公路段长为x km，高速公路段长为y km.
由题意可得:$\begin{cases} 2x=y, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=120. \end{cases}$
答：普通公路段长为60km，高速公路段长为120km.
解析
【分析】
本题为开放型行程应用题，我们可先提出问题：普通公路段和高速公路段的长度各为多少？解题时首先要找准两个等量关系：第一，普通公路占总路程的$\frac{1}{3}$，因此高速公路长度是普通公路长度的2倍；第二，普通公路行驶时间与高速公路行驶时间之和为总行驶时间2.2h，其中行驶时间=路程÷行驶速度。再根据两个等量关系设未知数列二元一次方程组，最后求解即可。
【解析】
问题：普通公路段和高速公路段的长度各为多少?
设普通公路段长为$x$ km，高速公路段长为$y$ km。
根据题意，可得方程组：
$\begin{cases} 2x=y \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2 \end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得：
$\dfrac{x}{60}+\dfrac{2x}{100}=2.2$
等式两边同时乘300消去分母，得：
$5x + 6x = 660$
合并同类项得$11x=660$，解得$x=60$。
将$x=60$代入$y=2x$，得$y=2×60=120$。
经检验，$x=60$、$y=120$符合题意。
答：普通公路段长为60km，高速公路段长为120km。
【答案】
普通公路段长为60km，高速公路段长为120km。
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程问题公式
【点评】
本题是开放类应用题，需要先结合题干信息提出符合要求的合理问题，再准确提取题干中的等量关系列方程组求解，既考查了信息梳理和问题设计能力，也考查了二元一次方程组的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
本题为开放型行程应用题，我们可先提出问题：普通公路段和高速公路段的长度各为多少？解题时首先要找准两个等量关系：第一，普通公路占总路程的$\frac{1}{3}$，因此高速公路长度是普通公路长度的2倍；第二，普通公路行驶时间与高速公路行驶时间之和为总行驶时间2.2h，其中行驶时间=路程÷行驶速度。再根据两个等量关系设未知数列二元一次方程组，最后求解即可。
【解析】
问题：普通公路段和高速公路段的长度各为多少?
设普通公路段长为$x$ km，高速公路段长为$y$ km。
根据题意，可得方程组：
$\begin{cases} 2x=y \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2 \end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得：
$\dfrac{x}{60}+\dfrac{2x}{100}=2.2$
等式两边同时乘300消去分母，得：
$5x + 6x = 660$
合并同类项得$11x=660$，解得$x=60$。
将$x=60$代入$y=2x$，得$y=2×60=120$。
经检验，$x=60$、$y=120$符合题意。
答：普通公路段长为60km，高速公路段长为120km。
【答案】
普通公路段长为60km，高速公路段长为120km。
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程问题公式
【点评】
本题是开放类应用题，需要先结合题干信息提出符合要求的合理问题，再准确提取题干中的等量关系列方程组求解，既考查了信息梳理和问题设计能力，也考查了二元一次方程组的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 用列二元一次方程组的方法可以解决我国古代数学名著《孙子算经》上记载的“鸡兔同笼”问题.
类比联想列二元一次方程组解应用题的方法，请用列三元一次方程组的方法尝试解决我国古代数学另一名著《九章算术》上记载的一道趣题：用卖2头牛、5头羊的钱来买13头猪，还余钱1000；用卖3头牛、3头猪的钱来买9头羊，钱刚好够；用卖6头羊、8头猪的钱来买5头牛，钱还差600. 问每头牛、羊、猪的售价分别是多少？
类比联想列二元一次方程组解应用题的方法，请用列三元一次方程组的方法尝试解决我国古代数学另一名著《九章算术》上记载的一道趣题：用卖2头牛、5头羊的钱来买13头猪，还余钱1000；用卖3头牛、3头猪的钱来买9头羊，钱刚好够；用卖6头羊、8头猪的钱来买5头牛，钱还差600. 问每头牛、羊、猪的售价分别是多少？
答案
1. 解：设每头牛、羊、猪的售价分别是x，y，z.
由题意可得:$\begin{cases} 2x+5y-13z=1000, \\ 3x-9y+3z=0, \\ 5x-6y-8z=600, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=1200, \\ y=500, \\ z=300. \end{cases}$
答：每头牛、羊、猪的售价分别是1200，500，300.
由题意可得:$\begin{cases} 2x+5y-13z=1000, \\ 3x-9y+3z=0, \\ 5x-6y-8z=600, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=1200, \\ y=500, \\ z=300. \end{cases}$
答：每头牛、羊、猪的售价分别是1200，500，300.
解析
【分析】
这是一道三元一次方程组的实际应用题，可按“设-列-解-答”的思路解题：①设未知数：题目要求三个未知量，我们分别设每头牛、羊、猪的售价为x、y、z；②找等量关系列方程：逐句翻译题干条件：第一句“卖2牛、5羊的钱买13猪余1000”，即2牛总价+5羊总价=13猪总价+1000；第二句“卖3牛、3猪的钱买9羊钱刚好”，即3牛总价+3猪总价=9羊总价；第三句“卖6羊、8猪的钱买5牛差600”，即6羊总价+8猪总价+600=5牛总价，整理得到三元一次方程组；③解方程组：先化简第二个方程，用代入消元法把三元方程组转化为二元方程组，求解后再回代得到第三个未知量的值，检验符合实际后作答即可。
【解析】
解：设每头牛、每头羊、每头猪的售价分别为x、y、z。
根据题意列方程组并整理得：
$\begin{cases} 2x+5y-13z=1000 \quad \mathrm{①} \\ 3x-9y+3z=0 \quad \quad \quad \mathrm{②} \\ 5x-6y-8z=600 \quad \quad \mathrm{③} \end{cases}$
化简方程②，两边同时除以3得$x-3y+z=0$，变形为$z=3y-x$ ---④
把④分别代入①和③消去z：
代入①得：$2x+5y-13(3y-x)=1000$，整理得$15x-34y=1000$ ---⑤
代入③得：$5x-6y-8(3y-x)=600$，整理得$13x-30y=600$ ---⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组：
⑤×15得$225x-510y=15000$ ---⑦
⑥×17得$221x-510y=10200$ ---⑧
⑦-⑧得$4x=4800$，解得$x=1200$
把$x=1200$代入⑥得：$13×1200-30y=600$，解得$y=500$
把$x=1200$、$y=500$代入④得：$z=3×500-1200=300$
经检验，结果符合题意。
【答案】
每头牛、羊、猪的售价分别是1200，500，300。
【知识点】
1.三元一次方程组的应用 2.消元法解方程组
【点评】
本题结合古代数学名著命题，既考查了学生将实际问题转化为数学方程的建模能力，又能让学生感受我国传统数学文化的魅力。解题核心是准确提炼等量关系列出方程组，再通过消元法降阶逐步求解即可。
【难度系数】
0.7
这是一道三元一次方程组的实际应用题，可按“设-列-解-答”的思路解题：①设未知数：题目要求三个未知量，我们分别设每头牛、羊、猪的售价为x、y、z；②找等量关系列方程：逐句翻译题干条件：第一句“卖2牛、5羊的钱买13猪余1000”，即2牛总价+5羊总价=13猪总价+1000；第二句“卖3牛、3猪的钱买9羊钱刚好”，即3牛总价+3猪总价=9羊总价；第三句“卖6羊、8猪的钱买5牛差600”，即6羊总价+8猪总价+600=5牛总价，整理得到三元一次方程组；③解方程组：先化简第二个方程，用代入消元法把三元方程组转化为二元方程组，求解后再回代得到第三个未知量的值，检验符合实际后作答即可。
【解析】
解：设每头牛、每头羊、每头猪的售价分别为x、y、z。
根据题意列方程组并整理得：
$\begin{cases} 2x+5y-13z=1000 \quad \mathrm{①} \\ 3x-9y+3z=0 \quad \quad \quad \mathrm{②} \\ 5x-6y-8z=600 \quad \quad \mathrm{③} \end{cases}$
化简方程②，两边同时除以3得$x-3y+z=0$，变形为$z=3y-x$ ---④
把④分别代入①和③消去z：
代入①得：$2x+5y-13(3y-x)=1000$，整理得$15x-34y=1000$ ---⑤
代入③得：$5x-6y-8(3y-x)=600$，整理得$13x-30y=600$ ---⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组：
⑤×15得$225x-510y=15000$ ---⑦
⑥×17得$221x-510y=10200$ ---⑧
⑦-⑧得$4x=4800$，解得$x=1200$
把$x=1200$代入⑥得：$13×1200-30y=600$，解得$y=500$
把$x=1200$、$y=500$代入④得：$z=3×500-1200=300$
经检验，结果符合题意。
【答案】
每头牛、羊、猪的售价分别是1200，500，300。
【知识点】
1.三元一次方程组的应用 2.消元法解方程组
【点评】
本题结合古代数学名著命题，既考查了学生将实际问题转化为数学方程的建模能力，又能让学生感受我国传统数学文化的魅力。解题核心是准确提炼等量关系列出方程组，再通过消元法降阶逐步求解即可。
【难度系数】
0.7
