1. 计算：
(1) $(x+3)(x+4)=$ .
(2) $(x-3)(x-4)=$ .
(3) $(x+3)(x-4)=$ .
(4) $(x-3)(x+4)=$ .

1. （1）$x^2+7x+12$ （2）$x^2-7x+12$ （3）$x^2-x-12$ （4）$x^2+x-12$

【分析】
这组题目考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘法法则：两个多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果。计算时要特别注意含负号的项相乘时的符号处理，也可以通过计算总结$(x+p)(x+q)$类运算的规律，简化计算过程。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x+3)(x+4)&=x· x + x·4 + 3· x + 3×4\\&=x^2+4x+3x+12\\&=x^2+7x+12\end{aligned}$
(2) 同理计算，注意负号：
$\begin{aligned}(x-3)(x-4)&=x· x + x·(-4) + (-3)· x + (-3)×(-4)\\&=x^2-4x-3x+12\\&=x^2-7x+12\end{aligned}$
(3) 运算时关注符号：
$\begin{aligned}(x+3)(x-4)&=x· x + x·(-4) + 3· x + 3×(-4)\\&=x^2-4x+3x-12\\&=x^2-x-12\end{aligned}$
(4) 按法则逐步计算：
$\begin{aligned}(x-3)(x+4)&=x· x + x·4 + (-3)· x + (-3)×4\\&=x^2+4x-3x-12\\&=x^2+x-12\end{aligned}$
【答案】
（1）$x^2+7x+12$ （2）$x^2-7x+12$ （3）$x^2-x-12$ （4）$x^2+x-12$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式符号运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础训练题，主要考查多项式乘法运算规则的掌握情况，易错点是带负号的项相乘时符号计算错误，熟练掌握后可总结$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$的运算规律，提升同类题的计算效率。
【难度系数】
0.85

2. 发现：
$(x+a)(x+b)=$。

2. $x^2+(a+b)x+ab$

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题时先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。我们先将两个多项式的项逐一相乘，再合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+a)(x+b)&=x· x + x· b + a· x + a· b\\&=x^2 + bx + ax + ab\end{aligned}$
其中$bx$和$ax$是同类项，合并同类项后可得：
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
【答案】
$x^2+(a+b)x+ab$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，熟练掌握多项式乘多项式的运算规则是解题的关键，本题的结论也是后续学习十字相乘法因式分解的重要基础公式。
【难度系数】
0.9

3. 应用：
（1）$(y+4)(y-5)=$.
（2）$(t+2)(t+5)=$.
（3）$($$)($$)=a^2+a-6$.
（4）$($$)($$)=b^2-5b+6$.

3. （1）$y^2-y-20$ （2）$t^2+7t+10$ （3）$(a+3)(a-2)$ （4）$(b-3)(b-2)$

【分析】
本题前两问考查多项式乘多项式的正向运算，后两问考查多项式乘多项式的逆向应用。解题思路：①正向运算时，依据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项即可得到结果；②逆向运算时，二次三项式的二次项系数为1，因此两个因式的一次项都为单个字母，再将常数项拆分为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数，即可确定两个因式的常数项。
【解析】
（1）根据多项式乘多项式法则展开计算：
$(y+4)(y-5)=y· y + y· (-5) + 4· y + 4× (-5)=y^2 -5y +4y -20=y^2 -y -20$
（2）同理展开计算：
$(t+2)(t+5)=t· t + t·5 +2· t +2×5=t^2 +5t +2t +10=t^2 +7t +10$
（3）对于$a^2 +a -6$，二次项为$a× a$，常数项$-6$需拆为两个数的乘积，且两数之和等于一次项系数1，符合要求的数为3和-2（$3×(-2)=-6$，$3+(-2)=1$），因此两个因式为$(a+3)$和$(a-2)$。
（4）对于$b^2 -5b +6$，二次项为$b× b$，常数项6需拆为两个数的乘积，且两数之和等于一次项系数-5，符合要求的数为-3和-2（$(-3)×(-2)=6$，$-3+(-2)=-5$），因此两个因式为$(b-3)$和$(b-2)$。
【答案】
（1）$y^2-y-20$；（2）$t^2+7t+10$；（3）$a+3$，$a-2$；（4）$b-3$，$b-2$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式乘法逆运算
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，既考查正向运算的计算准确性，也考查逆向推导的逻辑能力，计算时要注意符号的处理，拆分常数项时要验证两数之和是否与一次项系数一致，避免符号错误。
【难度系数】
0.85

4. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法$(2x+a)(3x+b)$，甲抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到的结果为$6x^2+11x-10$；而乙错抄了第二个多项式中的$x$的系数，得到的结果为$2x^2-9x+10$。请你计算出$a$，$b$的值，并写出这道整式乘法的正确结果。

4. 解：由题意得：
∵$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab=6x^2+11x-10$
∴$2b-3a=11$，
∵乙错抄了第二个多项式中x的系数，设第二个多项中的x的系数为Z，
∴$(2x+a)(Zx+b)=2Zx^2+2bx+aZx+ab=2x^2-9x+10$，
∴$Z=1$，
∴$2b+a=-9$，
∴$b=-2$，$a=-5$
∴$(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x^2-19x+10.$

【分析】
这道题属于整式乘法的错解求参数问题，解题思路如下：①先分析甲的错误：甲仅抄错a的符号，所以他计算的多项式是$(2x - a)(3x + b)$，将其展开后和甲得到的结果对比，一次项系数对应相等，可得到第一个关于a、b的方程；②再分析乙的错误：乙仅抄错第二个多项式中x的系数，展开后x²的系数是错的，但通过x²的系数可求出乙抄错的系数，进而得到第二个关于a、b的方程；③联立两个方程解出a、b的值，最后代入原式计算正确的整式乘法结果即可。
【解析】
解：根据题意分步计算：
1. 由甲的错误列方程：
甲抄错第一个多项式中a的符号，计算的式子为$(2x - a)(3x + b)$，展开得：
$(2x - a)(3x + b)=6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
已知甲的结果为$6x^2 + 11x - 10$，对应一次项系数相等，可得：
$2b - 3a = 11$ ---①
2. 由乙的错误列方程：
设乙抄错的第二个多项式x的系数为$Z$，则他计算的式子为$(2x + a)(Zx + b)$，展开得：
$(2x + a)(Zx + b)=2Zx^2 + (2b + aZ)x + ab$
已知乙的结果为$2x^2 - 9x + 10$，对应x²系数得$2Z=2$，解得$Z=1$，因此一次项系数满足：
$2b + a = -9$ ---②
3. 联立求解a、b：
用②-①得：$(2b + a)-(2b - 3a)=-9-11$，化简得$4a=-20$，解得$a=-5$
将$a=-5$代入②得：$2b-5=-9$，解得$b=-2$
4. 计算正确结果：
代入原式得$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
【答案】
$a=-5$，$b=-2$，正确结果为$6x^2-19x+10$
【知识点】
整式乘法运算；多项式系数对应相等；二元一次方程组解法
【点评】
本题是整式乘法的典型错解应用题，解题核心是抓住错抄过程中不变的系数，通过对应系数相等建立方程求解，既考查整式乘法的运算能力，也锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.65