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第9讲 乘法公式
问题情境
【生活情境】华罗庚教授曾说：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”这充分体现了数形结合的思想.数形结合思想是初中数学学习的重要思想，利用数形结合思想可以解决一些与整式运算有关的试题，例如平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，就可以通过几何图形来进行验证，验证过程如下：
【问题提出】你能利用准备的卡片来验证完全平方公式吗？若能，请画出图形；如果准备的卡片有若干张，你能利用它们拼出新的图形吗？若能，根据你所拼成的图形写出相应的代数恒等式.
【问题分析】用“形”来解决乘法公式的相关问题，最关键的是要先将图形的整体和局部分别表示出来，再建立等式关系，从而得到相关公式.因此我们必须要学会构造图形，其重点在于
进行敏锐的观察和合理的联想，通过研究其几何特征，使抽象的数量关系通过图形直观地表达出来，让问题变得简单.
【问题解决】
【问题反思】构图法是数形结合思想的一个重要形式，它是一种创造性的解题方法，重在“构造图形”.在数学学习中，同学们如果能从多角度、多渠道进行广泛的联想，便能得到更多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，这对于培养多元思维，提高学习兴趣，以及发挥独创钻研精神都是十分有利的.
问题情境
【生活情境】华罗庚教授曾说：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”这充分体现了数形结合的思想.数形结合思想是初中数学学习的重要思想，利用数形结合思想可以解决一些与整式运算有关的试题，例如平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，就可以通过几何图形来进行验证，验证过程如下：
【问题提出】你能利用准备的卡片来验证完全平方公式吗？若能，请画出图形；如果准备的卡片有若干张，你能利用它们拼出新的图形吗？若能，根据你所拼成的图形写出相应的代数恒等式.
【问题分析】用“形”来解决乘法公式的相关问题，最关键的是要先将图形的整体和局部分别表示出来，再建立等式关系，从而得到相关公式.因此我们必须要学会构造图形，其重点在于
进行敏锐的观察和合理的联想，通过研究其几何特征，使抽象的数量关系通过图形直观地表达出来，让问题变得简单.
【问题解决】
【问题反思】构图法是数形结合思想的一个重要形式，它是一种创造性的解题方法，重在“构造图形”.在数学学习中，同学们如果能从多角度、多渠道进行广泛的联想，便能得到更多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，这对于培养多元思维，提高学习兴趣，以及发挥独创钻研精神都是十分有利的.
答案
解：能利用卡片验证完全平方公式，以验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$为例：
拼图形：构造边长为$(a+b)$的正方形，该正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$、宽为$b$的长方形组成。
整体面积：$(a+b)^2$；
各部分面积之和：$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
因此得到代数恒等式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
拼图形：构造边长为$(a+b)$的正方形，该正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$、宽为$b$的长方形组成。
整体面积：$(a+b)^2$；
各部分面积之和：$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
因此得到代数恒等式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
解析
【分析】
要验证完全平方公式，可利用面积相等的思路推导：首先观察公式左边$(a+b)^2$，它可对应边长为$(a+b)$的正方形的面积，接下来我们用现有卡片拼接出这个大正方形，再分别计算大正方形的总面积和所有拼接卡片的面积和，二者相等即可得到对应的完全平方公式。
【解析】
我们以验证完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$为例：
1. 拼接图形：构造边长为$(a+b)$的大正方形，该正方形由1张边长为$a$的正方形卡片、2张长为$a$宽为$b$的长方形卡片、1张边长为$b$的正方形卡片组成。
2. 计算整体面积：大正方形边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2$。
3. 计算各部分面积和：边长为$a$的正方形面积为$a^2$，2张长方形的面积和为$ab+ab=2ab$，边长为$b$的正方形面积为$b^2$，各部分面积总和为$a^2+2ab+b^2$。
4. 建立等式：因为整体面积等于各部分面积之和，因此可得代数恒等式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
【答案】
能利用卡片验证完全平方公式，以验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$为例：
拼图形：构造边长为$(a+b)$的正方形，该正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$、宽为$b$的长方形组成。
整体面积：$(a+b)^2$；
各部分面积之和：$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
因此得到代数恒等式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
【知识点】
完全平方公式、数形结合思想、面积法
【点评】
本题通过几何拼图验证代数公式，将抽象的整式运算转化为直观的图形面积关系，既帮助大家理解乘法公式的几何意义，也能锻炼构图能力和逻辑推导能力，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.8
要验证完全平方公式，可利用面积相等的思路推导：首先观察公式左边$(a+b)^2$，它可对应边长为$(a+b)$的正方形的面积，接下来我们用现有卡片拼接出这个大正方形，再分别计算大正方形的总面积和所有拼接卡片的面积和，二者相等即可得到对应的完全平方公式。
【解析】
我们以验证完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$为例：
1. 拼接图形：构造边长为$(a+b)$的大正方形，该正方形由1张边长为$a$的正方形卡片、2张长为$a$宽为$b$的长方形卡片、1张边长为$b$的正方形卡片组成。
2. 计算整体面积：大正方形边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2$。
3. 计算各部分面积和：边长为$a$的正方形面积为$a^2$，2张长方形的面积和为$ab+ab=2ab$，边长为$b$的正方形面积为$b^2$，各部分面积总和为$a^2+2ab+b^2$。
4. 建立等式：因为整体面积等于各部分面积之和，因此可得代数恒等式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
【答案】
能利用卡片验证完全平方公式，以验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$为例：
拼图形：构造边长为$(a+b)$的正方形，该正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$、宽为$b$的长方形组成。
整体面积：$(a+b)^2$；
各部分面积之和：$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
因此得到代数恒等式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
【知识点】
完全平方公式、数形结合思想、面积法
【点评】
本题通过几何拼图验证代数公式，将抽象的整式运算转化为直观的图形面积关系，既帮助大家理解乘法公式的几何意义，也能锻炼构图能力和逻辑推导能力，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.8
